Resistência dos Materiais

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Resmat
1
Tração e Compressão
entre os Limites Elásticos
TRAÇÃO E COMPRESSÃO ENTRE OS LIMITES ELÁSTICOS
O que é Resistência dos Materiais? 
É o estudo da relação entre as cargas externas que operam em um corpo e a intensidade das 
cargas internas no interior desse corpo. 
Tração e Compressão Entre os Limites Elásticos
Tensão ou Solicitações: Descreve a intensidade de forças internas sobre um plano específico 
(área) que passa por determinado ponto.
As unidades de tensão são: t/cm2, kg/cm2, kg/mm2, e Pa = N/m2.
Tensão Normal: é a intensidade da força que atua no sentido perpendicular a ∆a por unidade 
de área (σ). Elas podem ser:
 Tração σt (-): configura-se pela tendência de alongamento do elemento na direção 
da força atuante.
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F
(a)
TRAÇÃO E COMPRESSÃO ENTRE OS LIMITES ELÁSTICOS
 Compressão σc (+): a tendência é uma diminuição do item na direção da força 
de compressão. 
Tensões Cisalhantes ou de Corte (τ): é a intensidade da força, ou força por unidade de 
área, que atua tangencialmente à seção transversal ∆a (τ).
σ = ± P/A ou τ = ± P/A
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F
(b)
F
F
(f)
TRAÇÃO E COMPRESSÃO ENTRE OS LIMITES ELÁSTICOS
Tensão Estática ou Tensão de Ruptura: tensão calculada com a carga máxima 
que o corpo suporta (Pmax) e a seção transversal original (A0) do mesmo. Quando 
se aumenta gradativamente a força externa que age em um determinado corpo, 
ocorrerá a ruptura ou destruição do corpo. 
σr = ± 
Pmax
 /A0
O cisalhamento acontece pela ação direta da carga aplicada F. Ela normalmente 
ocorre em vários tipos de acoplamentos simples que utilizam material de solda, 
parafusos pinos, entre outros.
Coeficiente de Segurança: relação que acontece entre o carregamento último e o 
carregamento admissível. Ele depende de vários fatores, como: durabilidade do 
material, consistência da qualidade do material, qualidade da mão de obra, etc.
 FS = Pfalha /Padmissível
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TRAÇÃO E COMPRESSÃO ENTRE OS LIMITES ELÁSTICOS
Coeficiente de segurança baixo: pode levar à estrutura a ruptura;
Coeficiente de segurança alto: pode levar a um projeto antieconômico.
Coeficiente de Segurança de alguns materiais:
Aço ------------------------ v= 1,5 a 2 (correlação ao escoamento)
Ferro Fundido --------- v= 4 a 8
Madeira ------------------ v= 2,5 a 7,5
Alvenaria ----------------- v= 5 a 20
Abaixo pode-se visualizar uma tabela de tensões admissíveis e pesos 
específicos para diferentes tipos de materiais.
Materiais p. Espec. (kg/
m3)
Tração
(kg/cm3)
Compressão
(kg/cm3)
Cisalhamento
(kg/cm3)
Flexão
(kg/cm3)
Ferro
Laminado 7650 1250 1100 1000 1250
Fundido 7200 300 800 240 300
Madeiras*
Duras 1050 110 80 65 110
Semi-duras 800 80 70 55 80
Brandas 650 60 50 35 55
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TRAÇÃO E COMPRESSÃO ENTRE OS LIMITES ELÁSTICOS
Alvenaria
Pedra 2200 - 17 - -
Tijolos comuns 1600 - 7 - -
Tijolos furados 1200 - 6 - -
Tij. prensados 1800 - 11 - -
Concretos
Simples 1:3:6 2200 - 18 - -
Armado 1:2:4 2400 - 45 - -
Ciclópico 1:3:6 2200 - 18 - -
* Compressão paralela às de cisallamento perpendicular às fibras
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2
Análise das Tensoes
TRAÇÃO E COMPRESSÃO ENTRE OS LIMITES ELÁSTICOS
Deformação: é a modificação no tamanho e forma de um corpo quando uma força é 
aplicada no mesmo. 
Deformação Normal: é o alongamento ou a contração de um segmento de reta por 
unidade de comprimento. Quando a deformação normal for conhecida, pode-se utilizar 
a equação 1 abaixo para calcular o comprimento final aproximado, da seguinte maneira: 
∆s´≈ (1+�) ∆s
Fórmula 1: � = ∆s´- ∆s
 ∆s
Elasticidade e Plasticidade: as deformações lineares, que acontecem na compressão 
e na tração, são apresentadas em razão da variação do comprimento (∆L) e do 
comprimento original (L), o que resultam na deformação relativa (�).
� = ∆L/L
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TRAÇÃO E COMPRESSÃO ENTRE OS LIMITES ELÁSTICOS
Abaixo, podem-se ver as deformações que corresponde cada tipo de esforços:
Se o corpo volta ao seu estado original, fala-se que o corpo é elástico, como o 
aço, borracha, madeira (até um determinado limite), entre outros. Entretanto, 
se o corpo continua em sua forma atual, diz-se que o corpo é plástico, como a 
argila e o chumbo.
Normalmente, os corpos possuem as duas características, dependendo da 
magnitude dos esforços a que estão submetidos. Eles atuam como elásticos e 
depois como plásticos. Não existe um corpo perfeitamente elástico, pois sempre 
conservar-se uma deformação residual, quase nula, que é conhecida como 
deformação permanente ou residual.
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a1 L
b1
a2
Ȩ/1
Ȩ/2 b2
P
a1 L
b1
a2
Ȩ/1
Ȩ/2
b2
P
a1 L
b1
Ȩ/1 ƀ
Ȩ/2
a2
b2
tração: alongamento compressão: encurtamento cisalhamento: escorregamento
TRAÇÃO E COMPRESSÃO ENTRE OS LIMITES ELÁSTICOS
Deformação Transversal
Como mostrado anteriormente, todo corpo sob ação de forças externas mostra uma 
deformação longitudinal (ε) e transversal (εq).
εq=∆d/d
A deformação longitudinal e transversal possui uma relação praticamente constante. 
Esta relação é conhecida como coeficiente de Poisson (m).
m= ε/εq 
Ps.: Para os metais “m” varia de 3 a 4 e para o concreto de 4 a 8.
Deformação no Cisalhamento
A grandeza da deformação no cisalhamento é definida como deformação angular (γ).
γ = ∆y/∆x
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TRAÇÃO E COMPRESSÃO ENTRE OS LIMITES ELÁSTICOS
O escorregamento relativo (γ) nas tensões normais (ε=σ/E) pode ser expresso pelo 
módulo de elasticidade transversal (G) e a pela tensão cisalhante (τ).
γ =τ/G
Existe uma relação entre o Módulo de Elasticidade (E) e o Módulo de Elasticidade 
Transversal (G), por causa da dependência de alongamentos transversais e 
longitudinais, que pode ser percebida com a ajuda do Coeficiente de Poisson (m):
G= m ×E
2(m+1)
Materiais Dúcteis e Quebradiços: ductibilidade é a propriedade apresentada pelos 
materiais que têm grandes alongamentos de ruptura, ou seja, apresentam grandes 
deformações antes de romperem (caso do aço e do alumínio). Quando a ruptura 
acontece de súbito, já com pequenos alongamentos, fala-se que o material é 
quebradiço ou frágil, sendo sensível a pancadas e solicitações do tipo vibratório (caso 
do ferro fundido e do concreto).
Lei de Hooke: relação linear entre tensão e deformação na região de elasticidade. 
Quando a tensão é proporcional a deformação dentro da região elástica, o material é 
chamado de linear-elástico, ou seja, lei de Hooke. O módulo de elasticidade pode ser 
determinado como sendo a tensão imaginária que na tração seria capaz de duplicar o 
comprimento original da peça.
σ=Eε
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TRAÇÃO E COMPRESSÃO ENTRE OS LIMITES ELÁSTICOS
Valores aproximados de Módulo de Elasticidade (em kg/cm2):
Aço ----------------------- 2.100.000
Ferro Fundido --------- 1.000.000
Concreto ----------------- 20.000 à 400.000
Alvenaria de Tijolo ---- 20.000 à 200.000
Variação de Comprimento devido à Variações de Temperatura
O aquecimento das estruturas causa dilatação das mesmas, enquanto o 
arrefecimento causa contração. Tais deformações podem originar tensões internas 
nos materiais dos elementos estruturais, semelhantes as que acontecem pelos 
esforços externos. A compressão ou dilatação das peças estruturais pode ser 
encontrada pela equação:
∆L = ±αt.t . ∆t. L
L = comprimento do elemento estrutural
∆t = variação de temperatura do elemento estrutural, e
αt = coeficiente de dilatação térmica
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3
Estado Plano
de Tensoes
ESTADO PLANO DE TENSÕES
Estado Triplo ou Tri-Axial: as tensõesque agem nas faces do paralelepípedo 
elementar aceitam componentes nas direções de todas as suas arestas. 
Estado Plano, Duplo, ou Bi-Axial: as tensões no paralelepípedo exibem componentes 
paralelas a apenas dois eixos. 
Estado Simples ou uniaxial: nas faces do paralelepípedo operam tensões na direção 
de uma única aresta 
Estado de Cisalhamento Puro: nas faces do paralelepípedo atuam apenas tensões 
tangenciais. O simples valor τxy=τyx é suficiente para a definição do estado de tensão 
no ponto. 
Equações Gerais de Transformação de Tensão para o Estado Plano: componente das 
tensões normal ou de cisalhamento vai ser positivo caso opere na direção positiva 
da coordenada da face positiva do elemento, ou caso opere na direção negativa da 
coordenada da face negativa do elemento. 
Ps.: A tensão normal é positiva quando age para fora de todas as faces e a tensão de 
cisalhamento é positiva quando age para cima na face direita do elemento. 
Ângulo 2θ: orientação do plano inclinado onde devem ser determinados os 
componentes da tensão normal e de cisalhamento (positivo no sentido anti-horário).
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ESTADO PLANO DE TENSÕES
σx’ = σx + σy + σx - σy cos(2θ) + τxy sen(2θ)
 2 2
τx’y’’ = - (σx - σy) sen(2θ) + τ’xy cos(2θ)
 2
σy’ = σx + σy - σx - σy cos(2θ) - τxy sen(2θ) 2 2
Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano: a tensão de 
cisalhamento é nula nos planos onde atuam os valores mínimo e máximo das tensões 
normais.
Importante:
1- Tensões Principais - Tensões normais máxima e mínima
σmax = σ1
σmin = σ2
2- Planos Principais - Planos de atuação das tensões principais
3- Direções Principais - Definem os planos principais
Tensões principais:
σ1,2 = σx + σy ± (σx - σy)2 + τxy2
 √ 2 
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ESTADO PLANO DE TENSÕES
Tensão cisalhante máxima no plano:
τmax, min = ± (σx - σy)2 + τxy2
 √ 2
Tensão normal nos planos de tensão cisalhante máxima:
σméd = σx + σy
 2
Círculo de Tensões de Mohr: é usado para conseguir graficamente uma solução mais 
veloz para os problemas de transformação de tensões (análise das tensões no ponto).
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C σ
τ
σavg=σx+σy
 2
σx-σy
 2
τmax, min = ± (σx - σy)2 + τxy2
 √ 2σx
τxy
ESTADO PLANO DE TENSÕES
Traçado do Círculo de Mohr
1 - Estabelecer um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a tensão 
normal σ, com sentido positivo para a direita, e a ordenada represente a tensão de 
cisalhamento τ, com sentido positivo para baixo.
2 - Usando a convenção de sinal positiva para σx, σy e σxy, marcamos o centro do 
círculo, localizado no eixo σ a uma distância σméd=(σx - σy)/2 da origem.
3 - Marcar o “ponto de referência” A de coordenadas A(σx, τxy ). Esse ponto representa 
os componentes da tensão normal e de cisalhamento na face vertical direita do 
elemento e, como o eixo x’ coincide com o eixo x, isso significa que θ=0°.
4 - Unir o ponto A ao centro C e determinar CA usando trigonometria. Essa distância 
representa o raio R do círculo.
5 - Traçar o círculo.
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ESTADO PLANO DE TENSÕES
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C
E
R
A
B
F
D
σ
σx
σx’
σavg
τxy
θ = 0O 
τx’y’
2θs1
2θ
p1
2θ
τ
4
Força Cortante e 
 Momento Fletor
FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR
Deflexão de Vigas
Deflexão de vigas: equações diferenciais da curva de deflexão
Estruturas encontradas na vida diária sofrem pequenas variações na forma enquanto 
estão em serviço e não são percebidas por um observador casual. Dessa forma, a curva 
de deflexão da maioria das vigas e colunas tem ângulos de rotação muito pequenos, 
deflexões muito pequenas e curvaturas muito pequenas.
Se o material é elástico e linear e segue a Lei de Hooke, a curvatura é dada por:
1 = M
� EI
A deflexão da viga em qualquer ponto ao longo de seu eixo é o deslocamento desse 
ponto em relação à sua posição original, medida na direção de y. 
Flexão Pura e Flexão Não-Uniforme
Flexão Pura: refere-se à flexão na viga submetida a um momento fletor constante. 
Acontece nas regiões na qual a força de cisalhamento é zero, pois V = dM / dx. 
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FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR
Flexão Não-Uniforme: flexão na presença de forças de cisalhamento, ou seja, o 
momento fletor varia quando nos movemos ao longo do eixo da viga.
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A B
(a)
(b)
M1
M1 M1
M
0
A
P P P
-P
V
B
(a)
(b)
Pa
M
0
0
a a
A B
(a)
(b)-M2
M2
M2
M
0
FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR
Tensões normais em vigas (Materiais Elásticos Lineares)
A equação do material linear e elástico é a relação tensão e deformação mais comum 
achada na engenharia.
 σx = Eεx = -Ey = - Eky
 �
 
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5
Problemas de Flexão 
Estatisticamente Indeterminados
PROBLEMAS DE FLEXÃO ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
Carregamentos hiperestáticos ou estaticamente indeterminados acontecem quando 
as equações fundamentais da estática, ∑F = 0 (ou ∑Fx = 0 e ∑Fy = 0) e ∑M = 0, não 
são suficientes para calcular os esforços atuantes. Ou seja, o número de incógnitas 
extrapola o número de equações de equilíbrio. 
Viga horizontal com três apoios
A figura a ilustra uma viga horizontal de seção transversal constante com três apoios e 
submetida às forças externas conhecidas F e H em cada vão. As reações dos apoios são 
A, C e B. As distâncias horizontais são todas conhecidas, valendo naturalmente a + b = α 
+ β = m + n = L.
Desde que só há forças verticais, de ∑Fy = 0 tem-se em módulo
A + C + B = F + H
De ∑M = 0 em relação a A, por exemplo, tem-se em módulo
mC + LB = aF + αH
Há, portanto três valores desconhecidos (A, C, B) e duas equações, caracterizando um 
carregamento hiperestático. Pode-se resolver o problema considerando o fato de ser 
nulo o valor da linha elástica em C.
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PROBLEMAS DE FLEXÃO ESTATICAMENTE INDETERMINADOS
Usando o método da superposição, 
considera-se a situação (a) igual à soma 
dos carregamentos listados a seguir.
b - só com atuação da força F, que produz 
um deslocamento yF em C.
c - só com atuação da força H, que produz 
um deslocamento yH em C.
d - só com atuação da força de reação C, 
que produz um deslocamento yC em C.
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ߙ ߚ
A C B
ba
m
C BA
F
F
yF
H
(a)
(b)
H
yH
(c)
C
yC
(c)
6
Torção e Momento
Torsor
TORÇÃO
Torção
Torção refere-se ao giro de uma barra retilínea quando carregada por momentos 
(ou torques) que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra.
Eixos são membros cilíndricos sujeitos a torques e que transmitem potência por 
meio de rotação.
Deformações de torção de uma barra circular
f(x) f
f
x
L
(a) (b)
q`
q`
q
qr
r
TT
Torção Pura: toda seção transversal está submetida ao mesmo torque interno T. 
Ps.: todas as seções transversais conservam-se planas e circulares e todos os raios 
permanecem retos. Se o ângulo de rotação entre uma extremidade da barra e 
outra é pequeno, nem o comprimento da barra e nem seu raio irão variar. 
Equação para deformação de cisalhamento na superfície externa: γmáx = rθ
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TORÇÃO
Barras Circulares de Materiais Elásticos Lineares
Utiliza-se a lei de Hooke em cisalhamento (τ = Gγ), se o material for elástico-linear.
O estado de cisalhamento puro na superfície de uma barra é equivalente a tensões 
iguais de compressão e tração agindo num elemento orientado num ângulo de 
45°. Se uma barra é feita de um material que é mais frágil emtração do que em 
cisalhamento, a falha irá ocorrer em tração ao longo de uma hélice a 45° do eixo.
A Fórmula de Torção
A tensão de cisalhamento máxima é diretamente proporcional ao torque aplicado, T 
e inversamente proporcional ao momento de inércia polar, J: 
 
τ= T�
 J
Para um círculo de raio r e diâmetro d, o momento de inércia polar é: J = π r4
 2
Tubos circulares: quando um eixo tem uma seção transversal tubular, seu momento 
polar de inércia é:
J = π ( re4 - ri4 )
 2
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TORÇÃO
Torção Não-Uniforme
A barra não precisa ser prismática e os torques aplicados podem agir em qualquer 
lugar ao longo do eixo da barra. Casos assim aplica-se a fórmula de torção pura 
em segmentos individuais da barra e somam-se os resultados, ou aplicam-se as 
fórmulas para elementos diferenciais e integra-se.
Barra consistindo de segmentos prismáticos com torque constante ao longo de 
cada segmento
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T1 T2
T3 T4
A B
C D
T1 T2
T3
TCD TAB
TBC
A B
C
T1 T2
A B
T1
A B
LAB LAB LAB
TORÇÃO
Os torques a seguir são constantes ao longo do comprimento de seu segmento:
TCD = -T1 - T2 + T3
TBC = -T1 - T2
TAB = -T1
Convenção de sinal
Torque interno: positivo quando seu vetor aponta para fora da seção cortada e 
negativa quando seu vetor aponta em direção à seção. Se o torque tiver sinal positivo, 
isso significa que ele está na direção assumida, senão, ele atua na direção oposta.
Fórmula geral do ângulo de torção: 
i - é um índice numérico para os vários segmentos;
Ti - é o torque interno;
Li - é o comprimento;
Gi - é o módulo de cisalhamento;
Ji - é o momento de inércia polar.
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TORÇÃO
Transmissão de Potência por eixos Circulares
A potência é transmitida através do movimento rotatório do eixo e a quantidade de 
potência transmitida depende da magnitude do torque e da velocidade de rotação. 
Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo. 
P = Tω, onde ω = 2πf
Engrenamento: a razão entre o número de dentes nas rodas é diretamente 
proporcional à razão de torque e inversamente proporcional à razão das velocidades 
de rotação. Temos a seguinte equação:
n2 = z1
n1 = z2 
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