Lista 3 - Vetores, Produtos com Gabarito

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Lista de Exerc´ıcios 3 - Gex102 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
UFLA - Departamento de Cieˆncias Exatas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vetores
0. Responda:
(a) Qual a diferenc¸a entre um segmento orientado e um vetor?
(b) Quando que dois vetores sa˜o iguais?
(c) Quando que dois vetores sa˜o paralelos ou colineares?
1. Escreva as combinac¸o˜es de vetores como um u´nico vetor.
(a)
−→
AB +
−−→
BC
(b)
−−→
BD −−−→AD
(c)
−→
CA+
−−→
AD
(d)
−−→
CD +
−−→
DA+
−→
AB
(e)
−→
AA+
−−→
CD +
−−→
EE
2. Considere os vetores desenhados abaixo. Agora desenhe os seguinte vetores:
(a) ~u+ ~v
(b) ~v + ~w
(c) ~v + ~u+ ~w
(d) ~u+ ~w
(e) ~u− ~v
(f) ~u− ~w − ~v
(g) 1
2
~u
(h) ~u+ 2~w
(i) ~u+ 2~w− 1
2
~v+ 2(−1
2
~u− ~w)
3. (a) Mostre que dado um triaˆngulo qualquer ABC, o segmento MN formado pelos pontos
me´dio M e N de AB e BC, respectivamente, e´ paralelo a AC e tem comprimento igual a
metade de AC.
1
(b) Seja ABCD um quadrila´tero. Mostre que o quadrila´tero MNPQ formado pelos pontos
me´dios dos lados de ABCD determinam um paralelogramo.
4. Considere os vetores no espac¸o −→u = (−1, 4,−2) e −→v = (3, 1,−5). Calcule:
(a) 2−→u − 2−→v (b) −→u −√3−→v (c) −−→v + 2−→u .
5. (a) Defina um versor no espac¸o.
(b) Apresente dois exemplos de versores no espac¸o.
6. Considere um cubo gerado pelos vetores
−→
i = (1, 0, 0),
−→
j = (0, 1, 0) e
−→
k = (0, 0, 1).
(a) Determine o aˆngulo θ formado pela aresta ~i e a diagonal ~d = (1, 0, 1). Os vetores ~i e ~d sa˜o
ortogonais? Justifique a sua resposta.
(b) Determine o aˆngulo θ1 formado pela aresta ~j e a aresta ~k. Os vetores ~j e ~k sa˜o ortogonais?
Justifique a sua resposta.
7. Sejam ~v um vetor na˜o-nulo no espac¸o e α, β e γ a medida dos aˆngulos que ~v forma com os
vetores ~i, ~j e ~k, respectivamente. Demonstre que
cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1.
Observac¸a˜o: cos2(x) = cos(x).cos(x).
8. Esboce graficamente os seguintes vetores:
(a) ~a = (4, 6)
(b) ~b = (−3, 5)
(c) ~c = (2, 2, 0)
(d) ~d = (0,−5, 3)
(e) ~e = (2, 1, 3)
(f) ~f = (−2,−5)
9. Encontre as componentes do vetor de ponto inicial P1 e ponto final P2 .
(a) P1 = (5, 6) e P2 = (3, 2)
(b) P1 = (4,−6) e P2 = (−3,−3)
(c) P1 = (−4, 0, 3) e P2 = (−5, 5, 0)
2
10. Sejam ~u = (4, 2, 1), ~v = (0, 5, 2) e ~w = (−4, 2, 4). Encontre os seguintes vetores:
(a) ~u− ~v
(b) 4~w − 2~v
(c) 3(~u− 2~v)
(d) −3(~v − 8~w)
(e) ~x tal que 2~u− ~v + ~x = 7~x− ~w
11. Sejam ~u = (2,−2, 3), ~v = (0,−3, 4) e ~w = (−4, 4, 4). Calcule as seguintes normas:
(a) ||~u||
(b) ||~v||
(c) ||~w||
(d) ||~u+ ~v||
(e) ||~u||+ ||~v||
(f) ||3~u+−4~v + ~w||
12. A figura a seguir e´ constitu´ıda de nove quadrados congruentes.
Verifique cada afirmac¸a˜o quanto a ser verdadeira ou falsa.
(a)
−→
AB =
−→
OF (b)
−−→
AM =
−−→
PH (c)
−−→
BC =
−→
OP (d)
−→
BL = −−−→MC (e)−−→DE = −−−→ED
(f)
−→
AO =
−−→
MG (g)
−−→
KN =
−→
FI (h)
−→
AC//
−→
HI (i)
−→
JO//
−→
LD (j)
−→
AJ =
−→
FG
(k)
−→
AB ⊥ −−→EG (l)−−→AM ⊥ −→BL (m)−→PE ⊥ −−→EC (n)−−→PN ⊥ −−→NB (o)−−→PN ⊥ −−→AM
(p)||−→AC|| = ||−→FP || (q)||−→IF || = ||−−→MF || (r)||−→AJ|| = ||−→AC|| (s)||−→AO|| = 2||−−→NP || (t)||−−→AM|| = ||−→BL||
13. Escreva o vetor −→u = (7,−1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor −→v = (1,−1)
e outro paralelo ao vetor −→w = (1, 1).
14. Sendo os pontos A = (1,−1, 3) e B = (3, 1, 5), ate´ que ponto se deve prolongar o segmento
AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor?
15. Mostre que os pontos A = (3,−2), B = (5, 2) e C = (9, 10) esta˜o em linha reta.
Produtos
0. Dados vetores ~u,~v e ~w:
(a) Qual a definic¸a˜o de ~u · ~v sem coordenadas?
(b) Qual a definic¸a˜o de ~u× ~v sem coordenadas?
(c) Se ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2), qual o valor de ~u · ~v? E qual o resultado de ~u× ~v?
(d) Como calcular (~u× ~v) · ~w?
(e) O que sa˜o vetores ortogonais? Como verificar se ~u e ~v sa˜o ortogonais usando produto
escalar?
3
(f) Qual o significado geome´trico de ||~u× ~v||? E de ||(~u× ~v) · ~w||?
(g) O que e´ combinac¸a˜o linear entre os vetores ~u, ~v e ~w?
(h) Como verificar se treˆs vetores com mesma origem esta˜o num mesmo plano usando produto
misto?
(i) Qual a projec¸a˜o ortogonal de ~u sobre ~v, sendo ~v um vetor na˜o-nulo?
(j) O que e´ um vetor unita´rio? Como construir o versor de um vetor na˜o-nulo ~u?
1. Calcule os produtos abaixo se fizer sentido.
(a) ~u · ~s, com ~u = (−2, 3) e ~s = (0, 7);
(b) ~a ·~b, com ~a = 2i+ 3j − 2k e ~b = i− 2j + k;
(c) ~w · ~s, com ~w = (1, 2,−1) e ~s = (0, 6);
(d) ~u · ~v, com ||~u|| = 6, ||~v|| = 2 e aˆngulo entre ~u e ~v e´ 2pi/3.
(e) ~i ·~i, ~i · ~k, ~j · ~k, ~j ·~j, onde ~i,~j e ~k sa˜o os vetores canoˆnicos do espac¸o.
(f) ~u · ~u, onde ||~u|| = 2;
(g) ~u · −→0 ;
(h) (~u · ~v)× ~w, onde ~u = (1, 1, 1), ~v = (1, 2, 3) e ~w = (0,−1, 2).
(i) ~u× ~v e ~v × 2~u, onde ~u = (2,−, 3) e ~v = (4, 2, 1).
(j) ||~u× ~v||, quando ||~u|| = 2, ||~v|| = 3 e o aˆngulo entre ~u e ~v e´ 30 graus.
(k) ~u× ~v, quando ~u = 2~v.
2. Considere o paralelep´ıpedo abaixo. Sabendo que
−→
AB = (1, 0, 1) ,
−−→
BE = (1, 1, 1) e
−−→
AD =
(0, 3, 3). Calcule o volume do paralelep´ıpedo e o volume do tetraedro EABD.
3. Calcule o produto escalar entre os seguintes vetores. Quais sa˜o ortogonais? Justifique.
(a) −→u = (0, 0, 0) e −→v = (−√7, 3√−4, 7)
(b) −→u = (1, 1, 1) e −→v = (0,−7,−8)
(c) −→u = (1, 2, 3) e −→v = (−7,−1,−3)
4. Decomponha o vetor ~w = −−→i + 10−→j − 2−→k como soma de −→w1 e −→w2, sendo −→ω1 paralelo ao vetor−→v = ~j −−→k e −→w2 ortogonal a −→v .
4
5. Determine a a´rea do triaˆngulo em R3 dado pelos ve´rtices A = (0, 0,−1), B = (4,−1, 5) e
C = (−2, 7, 3). Esse triaˆngulo e´ equila´tero? Justifique.
6. Calcule ||2−→u × 4−→v ||2, sabendo que −→u e´ unita´rio, ||−→v || = 17 e a medida do aˆngulo entre −→u e
−→v e´ 2pi
3
.
7. Sabendo que ~x e´ ortogonal a (1, 1, 0) e a (−1, 0, 1), tem norma √3 e, sendo θ a medida do
aˆngulo entre ~x e (0, 1, 0), tem-se cos θ > 0. Ache ~x.
8. Dados os vetores −→u = (0, 1, 2), −→v = (4,−1, 3) e −→ω = −→i + 3−→j −−→k , calcule
(a) (−→u ×−→v ).−→ω
(b) (2−→u × 3−→v ).(−−→ω ).
9. Encontre o volume do cubo determinado pelos vetores canoˆnicos
−→
i ,
−→
j e
−→
k .
10. Sejam ~u = (3, 2,−1), ~v = (0, 3, 2) e ~w = (2, 2, 3). Calcule:
(a) ~v.~u
(b) ~u.(~v.~w)
(c) (~u.~v).(~v.~w)
(d) Calcule o aˆngulo aproximado entre os ve-
tores ~v e ~u,~v e ~w, ~u e ~w
11. Encontre um vetor ortogonal a ~a e ~b, sendo :
(a) ~a = (−2,−5, 3) e ~b = (3, 2, 2)
(b) ~a = (−1, 1, 2) e ~b = (1,−1, 4)
12. Sejam ~u = (3, 2,−1), ~v = (0, 3, 2) e ~w = (2, 2, 3). Calcule:
(a) ~v × ~u
(b) ~u× (~v × ~w)
(c) (~u× ~v)× (~v × ~w)
13. Encontre a a´rea do paralelogramo determinado por ~a e ~b :
(a) ~a = (1,−1, 2) e ~b = (0, 3, 1)
(b) ~a = (2, 4, 0) e ~b = (−1, 2,−3)
14. Encontre o produto misto ~u.(~v × ~w) para:
(a) ~u = (−1, 2, 4), ~v = (3, 5, 2) e ~w = (−1, 2, 5)
(b) ~u = (3,−1, 6), ~v = (2, 2, 4) e ~w = (5,−1, 2)
15. Suponha ~u.(~v × ~w) = 6. Encontre (~v × ~w).~u e ~v.(~w × ~w).
5
16. Considere o paralelep´ıpedo formado pelos vetores ~u = (3, 2, 1), ~v = (1, 1, 2) e ~w = (1, 3, 3):
(a) Encontre a a´rea da face determinada por ~u e ~v ;
(b) Obtenha o volume deste paralelep´ıpedo.
17. Use o produto vetorial para encontrar o seno do aˆngulo entre os vetores:
~u = (2, 3,−6), ~v = (2, 3, 6)
6
GABARITO Lista de Exerc´ıcios 3
UFLA - Departamento de Cieˆncias Exatas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vetores
1. (a)
−→
AC
(b)
−→
BA
(c)
−−→
CD
(d)
−−→
CB
(e)
−−→
CD
2. No item i) desenvolva primeiro a expressa˜o usando as propriedades de vetores.
3. (a) Vetorize todos os segmentos. Por exemplo, os segmento AB representa o vetor
−→
AB, etc.
Devemos justificar a relac¸a˜o
−−→
MN = 1
2
−→
AC ou 2
−−→
MN =
−→
AC. Temos
−−→
AM +
−−→
MN =
−−→
AN (1)−−→
AN +
−−→
NC =
−→
AC (2).
Logo, substituindo
−−→
AN de (1) na expressa˜o (2), obtemos
−−→
AM +
−−→
MN +
−−→
NC =
−→
AC (3).
Do enunciado, sabemos que
−−→
AM =
−−→
MB e que
−−→
NC =
−−→
BN , pois M e´ ponto me´dio de AB
e N e´ ponto me´dio de BC. Substituindo na expressa˜o (3), teremos:
−−→
MB +
−−→
MN +
−−→
BN =
−→
AC (4).
Mas
−−→
MB +
−−→
BN =
−−→
MN . Com isso, em (4) teremos 2
−−→
MN =
−→
AC.
Obs: Na˜o existe um u´nico caminho para a resposta!
(b) Considere o triaˆngulo ABD. Os pontos M e Q sa˜o pontos me´dios de AB e AD, respec-
tivamente. Pelo item (a), sabemos que MQ e´ paralelo a BD e que 2MD = BD. De
forma inteiramente ana´logo, considerando o triaˆngulo BCD, obtemos que NP e´ paralelo
a BD e que 2NP = BD. Logo os lados MQ e NP sa˜o de mesmo tamanho e paralelos.
Repita este racioc´ınio para os triaˆngulos ABC e ADC, para concluir que MN e QP sa˜o
de mesmo tamanho e paralelos.
4. (a) (−8, 6, 6)
(b) (−1− 3√3, 4−√3,−2 + 5√3)
(c) (−5, 7, 1)
5. (a) Dado um vetor na˜o nulo qualquer ~v, o versor de ~v e´ o vetor unita´rio vˆ = ~v||~v|| .
(b) Considere os vetores ~u = (1, 0,−1) e ~v = (2, 1, 0). Como ||~u|| = √2 e ||~v|| = √5, temos os
versores uˆ = ( 1√
2
, 0, −1√
2
) e vˆ = ( 2√
5
, 1√
5
, 0) .
6. (a) θ = pi/4 e os vetores na˜o sa˜o ortogonais.
1
(b) θ = pi/2 e os vetores sa˜o ortogonais.
7. Da definic¸a˜o de produto escalar sabemos que
cos(α) =
~v.~i
||~v||||~i|| , cos(β) =
~v.~j
||~v||||~j|| e cos(γ) =
~v.~k
||~v||||~k|| .
Sabemos tambe´m que ||~i|| = ||~j|| = ||~k|| = 1. Se escrevermos ~v = (a, b, c), temos ~v.~i = a,
~v.~j = b e ~v.~k = c. Logo,
cos(α) =
a
||~v|| , cos(β) =
b
||~v|| e cos(γ) =
c
||~v|| .
Segue que cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) =
a2 + b2 + c2
||~v||2 =
a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2
= 1.
8. Utilize por exemplo o site https://www.geogebra.org/3d?lang=pt para se autochecar. Exemplo:
no canto esquerdo, onde esta´ escrito Entrada digite ”u=(1,2,3)”e o vetor sera´ desenhado.
9. (a) −→v = (−2,−4)
(b) −→v = (−7, 3)
(c) −→v = (−1, 5,−3)
10. (a) (4,−3,−1)
(b) (−16,−2, 12)
(c) (12,−24,−9)
(d) (−96, 33, 90)
(e) (2
3
, 1
6
, 2
3
)
11. (a)
√
17
(b) 5
(c) 4
√
3
(d)
√
78
(e) 5 +
√
17
(f)
√
113
12. (a) V
(b) V
(c) F
(d) V
(e) V
(f) V
(g) F
(h) V
(i) F
(j) F
(k) V
(l) V
(m) F
(n) V
(o) V
(p) V
(q) V
(r) F
(s) V
(t) V
13. ~u1 = (4,−4) e ~u2 = (3, 3)
14. Ate´ o ponto (9, 7, 11).
15.
−→
AB = (2, 4) e
−→
AC = (6, 12) sa˜o dois vetores formados pelos pontos dados comec¸ando em A.
Note que sa˜o mu´ltiplos um do outro com mesma origem, logo sa˜o paralelos e por isso pertencem
a mesma reta.
2
Produtos
1. (a) 21
(b) -6
(c) Na˜o faz sentido.
(d) -6
(e) 1, 0, 0, 1
(f) 4
(g) 0
(h) Na˜o faz sentido.
(i) Com vetor u = (2, 0, 3) teremos (−6, 10, 4) e (−12, 20, 8)
(j) 3
(k) (0,0,0)
2. Volume do paralelep´ıpedo = 3; Volume do tetraedro= 1
2
.
3. (a) 0. Sa˜o ortogonais.
(b) −15
(c) −18
4. ~w1 = (0, 6,−6) e ~w2 = (1, 4, 4).
5.
√
894
6. 13,872
7. (−1, 1,−1)
8. (a) 33
(b) −198
9. 1 u.V.
10. (a) 4
(b) (36, 24,−12)
(c) 48
(d) Entre ~v e ~u: 73o. Entre ~v e ~w: 36o. Entre ~u e ~w: 63o.
11. (a) (−16, 13, 11)
(b) (6, 6, 0)
12. (a) (−7, 6,−9)
(b) (−8, 13, 2)
(c) (0, 87, 58)
13. (a)
√
59 u. A.
(b)
√
244 u. A.
14. (a) −11
3
(b) −64
15. (~v × ~w) · ~u = 6 e ~v · (~w × ~w) = 0
16. (a)
√
35
(b) 9
17. θ = 61, 98o
4