Imagem e gráficos logaritmicos

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Matemática 
 
 
 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARITMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
1. Gráfico da função logarítmica .............................................................................................. 2 
1.1. Domínio, imagem e restrições. ........................................................................................ 2 
1.2. Gráfico de função logarítmica .......................................................................................... 2 
1.3. Gráfico de função logarítmica crescente ......................................................................... 4 
1.4. Gráfico de função logarítmica decrescente..................................................................... 5 
Exercícios ...................................................................................................................................... 6 
Gabarito ........................................................................................................................................ 7 
Resumo ......................................................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila anterior, Função Logarítmica, aprendemos o que é uma função 
logarítmica, determinamos seu domínio e conhecemos suas propriedades. Desta 
forma também foi acrescentado ao nosso conhecimento, que a função logarítmica 
pode ser crescente ou decrescente em todo seu domínio. 
Nesta apostila, iremos elaborar o gráfico de uma função logarítmica, vendo 
também sua imagem. Assim veremos que em um gráfico de uma função logarítmica, 
o eixo y nunca será tocado. 
Objetivo 
• Esboçar gráficos da função logarítmica; 
• Interpretar gráficos da função logarítmica. 
 
1. Gráfico da função logarítmica 
1.1. Domínio, imagem e restrições. 
O domínio e a imagem do logaritmo estão baseados na imagem e no domínio 
da função exponencial, pois aquela é inversa desta. 
Desta maneira, para que o logaritmo esteja bem definido, é necessário 
restringir seu domínio para os reais positivos e não nulos, pois esta é a imagem da 
função exponencial. 
D(f) = {x∈R|x > 0} 
Sua imagem é o domínio da função exponencial, ou seja, todos os números 
reais. 
Im(f) = R 
Novamente, para garantir que o logaritmo esteja bem definido, a sua base, 
assim como a base da função exponencial, deve ser positiva e diferente de 1. 
b > 0 e b ≠ 1. 
1.2. Gráfico de função logarítmica 
Observe os gráficos abaixo de uma função logarítmica para que possamos 
verificar as consequências da definição de função logarítmica e analisar o gráfico 
exposto. 
 
3 
 
 
Gráficos de função logarítmica 
 
Como consequência da definição de função logarítmica e da análise dos 
gráficos podemos concluir que: 
• o gráfico da função logarítmica passa pelo ponto (1,0), ou seja f(1)=0, 
ainda logb 1 = 0; 
• o gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III; 
• quando b > 1, a função logarítmica é crescente (x1 > x2 logb x1 > logb 
x2); 
• quando 0 < b< 1, a função logarítmica é decrescente (x1 > x2 logb x1 < 
logb x2) 
• somente números positivos possuem logaritmo real, pois a função x → 
bx assume somente valores positivos; 
• se b > 1, os números maiores do que 1 têm logaritmo positivo e os 
números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritmo negativo; 
• se 0 < b < 1, os números maiores do que 1 têm logaritmo negativo e os 
números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritmo positivo; 
• a função logarítmica é ilimitada, superior e inferiormente. 
x y = f(x)
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
x y = f(x)
1/4 2
1/2 1
1 0
2 -1
4 -2
f(x) = log2 x
f(x) = log1/2 x
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5
 
4 
 
No caso de b > 1 ser ilimitada superiormente significa que se pode dar a logb x 
um valor tão grande quanto se queira, desde que tomemos x suficientemente grande; 
• ao contrário da função exponencial f(x) = bx com b > 1, que cresce 
rapidamente, a função logarítmica logb x com b > 1 cresce muito 
lentamente. Veja, por exemplo, que, se log10 x = 1.000, então x = 101.000. 
Assim, se quisermos que log10 x seja maior do que 1.000, será preciso 
tomar um número x que tenha pelo menos 1.001 algarismos; 
• a função logarítmica é injetiva, pois números positivos diferentes têm 
logaritmos diferentes. Ela é também sobrejetiva, pois, dado qualquer 
número real b, existe sempre um único número real positivo x tal que 
loga x = b. Portanto, ela é bijetiva (há uma correspondência biunívoca 
entre R+* e R). 
 
DICA 
 
 
 
 
 
 
1.3. Gráfico de função logarítmica crescente 
Para que uma função logarítmica, seja crescente, devemos ter a base b maior 
que 1, ou seja, x2 > x1⇔ logb x2 >logb x1, ∀ {x1, x2, b} C |R+* e b > 1. 
 Tomando por exemplo, a função f (x) = log2 x é uma função crescente, 
pois a base é igual a 2. 
De uma forma exemplificada, vamos mostrar que essa função é crescente, 
atribuindo valores para x na função. Desta forma, calculamos a sua imagem e os 
valores encontrados estão na tabela abaixo descrita: 
 
 
Função injetiva: f: A→B é injetiva quando 
elementos diferentes de A são transformados por f em 
elementos diferentes de B. 
Função sobrejetiva: f: A→B é sobrejetiva quando, 
para qualquer y є B, pode-se encontrar um elemento x є 
A tal que f(x) = y. 
Função bijetiva: f: A→B é bijetiva se ela for, 
simultaneamente, injetiva e sobrejetiva. 
 
5 
 
x y = log2 x 
¼ y = log2 ¼ = -2 
½ y = log2 ½ = -1 
1 y = log2 1 = 0 
2 y = log2 2 = 1 
4 y = log2 4 = 2 
Fonte: Dante, 2005 
É bem fácil observar na tabela, que quando o valor de x aumenta, também 
aumenta sua imagem. Então, veja o gráfico desta função. 
Gráfico da função y = log2 x 
 
1.4. Gráfico de função logarítmica decrescente 
Chamamos de decrescentes, as funções cujas bases são valores maiores que 
zero e menores que um, ou seja, x2 > x1 , implica em logb x2 < logb x1, ∀ {x1, x2, b} C |R+* e 
b < 1 
Para uma função decrescente, pegamos como exemplo, f(x) = log ½ x tem como 
base um meio, sendo assim uma função decrescente. 
Vamos então através de uma tabela, mostrar a imagem de alguns valores de x 
desta função. Observe a tabela: 
 
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5
 
6 
 
x y = log1/2 x 
¼ y = log1/2 ¼ = 2 
½ y = log1/2 ½ = 1 
1 y = log1/2 1 = 0 
2 y = log1/2 2 = -1 
4 y = log1/2 4 = -2 
Fonte: Dante, 2005 
Pode-se notar que, enquanto os valores de x aumentam, os valores das 
respectivas imagens diminuem. Assim, é possível perceber que a função f(x)=log1/2 x é 
uma função decrescente. 
Diante dos valores encontrados na tabela, montou-se o gráfico dessa função. 
Perceba que quanto menor o valor de x, mais próximo de zero a curva logarítmica fica, 
porém nunca irá tocar o eixo das ordenadas (y). 
 
Gráfico da função f(x)=log1/2 x 
Exercícios 
1. (Paiva, 1999) Esboce o gráfico de cada uma das funções: 
a) f(x) = log3 x 
b) g(x) = log1/3 x 
 
-2,5
-2
-1,5-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5
 
7 
 
2. (Autor, 2019) A partir da tabela abaixo, construa o gráfico da função f(x) = 
log2 x. 
x log2 x 
1/8 -3 
¼ -2 
½ -1 
1 0 
2 1 
4 2 
8 3 
 
3. (Autor, 2019) Classifique como crescente ou decrescente cada uma das 
funções: 
a) f(x) = log7 x 
b) g(x) = log0,5 x 
c) h(x) = log6√5 x 
d) f(x) = log√0,5 x 
e) f(x) = log3 x 
Gabarito 
1. 
a) f(x) = log3 x 
 
x y = log3 x
 1/9 -2
 1/3 -1
3 1
9 2
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2 4 6 8 10
 
8 
 
b) g(x) = log1/3 x 
 
2. A função f(x) = log2 x é uma função crescente em todo seu domínio. 
* D(f) = R+*; 
* Im(f) = R; 
Atribuindo a x os infinitos valores reais positivos, temos o gráfico. 
 
 
3. Resposta: 
a) crescente 
b) decrescente 
c) crescente 
d) decrescente 
 
x y = log1/3 x
 1/9 2
 1/3 1
3 -1
9 -2
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2 4 6 8 10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 2 4 6 8 10
 
9 
 
e) crescente 
 
Resumo 
Nesta aula aprendemos que uma função logarítmica pode ser crescente ou 
decrescente. 
Uma função logarítmica será crescente quando a base b for maior que 1, ou 
seja, x2 >x1 ⇔ logb x2 >logb x1, ∀ {x1, x2, b} C |R+* e b > 1 
As funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1 são 
decrescentes, ou seja, x2 > x1 ⇔ logb x2 < logb x1, ∀ {x1, x2, b} C |R+* e b < 1 
O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III; 
Somente números positivos possuem logaritmo real, pois a função x → ax 
assume somente valores positivos; 
A função logarítmica é ilimitada, superior e inferiormente. 
Ao contrário da função exponencial f(x) = bx com b > 1, que cresce rapidamente, 
a função logarítmica logb x com b > 1 cresce muito lentamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
DANTE, L.R. Matemática: volume único.1ª.ed.São Paulo, Ática, 2005. 
https://matika.com.br/funcao-logaritmica/dominio-imagem-e-restricoes - acessado em 23/04/2019 às 17h20. 
https://www.todamateria.com.br/funcao-logaritmica/ - acessado em 24/04/2019 as 07h35. 
PAIVA, M.Matemática:volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999.