AP3 - Métodos Determinísticos 1 - 2019.2 - Gabarito

Prévia do material em texto

AP3 – Métodos Determińısticos I – 2019.2
ORIENTAÇÕES PARA PROVA COM CORREÇÃO ONLINE
Orientações gerais:
I
1. Você está recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questões e uma Folha
de Resposta, para desenvolver suas resoluções.
2. Confira se o Caderno de Questões corresponde à disciplina em que deverá realizar a prova.
Caso contrário verifique com o aplicador a solução cab́ıvel.
3. Após a conferência e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questões no local indicado
para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões,
preencha (pintando os respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF,
o código da disciplina (indicado no cabeçalho da próxima folha) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. É expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com
conexão à Internet durante a aplicação da prova. Qualquer irregularidade será reportada
pelo aplicador à Direção do Polo e à Coordenação para aplicação das sanções devidas.
8. Ao término da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questões e rascunhos.
Orientações para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas:
I
1. Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta, para registro das resoluções
das questões nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluções de forma clara, leǵıvel e organizada. Não se esqueça de numerá-las
de acordo com as questões.
3. As Folhas de Respostas serão o único material considerado para correção. Por-
tanto, quaisquer anotações feitas fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho, serão
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NÃO AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalização e a correção.
Orientação espećıfica:
I1. É expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para cálculo comotambém qualquer material que sirva de consulta.
ATENÇÃO: O descumprimento de quaisquer das orientações poderá implicar em prejúızo na sua
avaliação, o que será de sua inteira responsabilidade.
AP3 – Métodos Determińısticos I – 07/12/2019
Código da disciplina EAD 06075
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula e
Polo.
• É expressamente proibido o uso de qualquer instru-
mento que sirva para cálculo como também qualquer
material que sirva de consulta.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta
para registro das resoluções nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas serão o único material considerado
para correção. Quaisquer anotações feitas fora deste espaço,
mesmo que em folha de rascunho, serão ignoradas.
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
(Este texto é comum às questões 1 a 4 a seguir.)
Os clientes da empresa de telecomunicações Fale-Só podem contratar planos de telefonia móvel,
internet e VoIP (Voice over IP, isto é, telefonia por internet). Cada cliente pode contratar o plano
de telefonia móvel, de internet ou ambos. Apenas os clientes que contratam o plano de internet mas
não contratam o telefonia podem contratar o plano de VoIP. Sabe-se que:
i. 4/5 dos clientes que poderiam contratar VoIP o fazem.
ii. Metade dos clientes que contratam plano de internet contratam o VoIP
iii. O número de clientes que contratam plano de telefonia móvel é o dobro do número de clientes
que não contratam
iv. Todo cliente contrata pelo menos um dos planos
v. A Fale-Só possui 90.000 clientes.
Questão 1 (0.5 pt) Represente a situação por meio de uma diagrama de Venn, chamando de I o
conjunto dos clientes que contratam plano de internet, de T o conjunto dos clientes que contratam
plano de telefonia e de V o conjunto dos clientes que contratam VoIP.
Métodos Determińısticos I AP3 3
Resposta: Todo cliente contrata pelo menos um dos planos. Além disso, só pode contratar o VoIP
o cliente que também contratou plano de internet, mas não contratou a telefonia móvel. Portanto
V ⊂ I − T . Assim, a situação pode ser descrita pelo diagrama abaixo:
Note que não representamos um conjunto-universo U exterior aos conjuntos I e T , uma vez que não
há cliente que não esteja em algum destes conjuntos.
Questão 2 (1.0 pt) Chame de x o número de clientes que contratam VoIP. Escreva, em função de
x, o número de clientes que poderiam ter contratado VoIP mas não o fizeram.
Resposta: Chamando de x o número de clientes que contrataram VoIP, temos, pela afirmação i
que x é 4/5 do número total t de clientes que poderiam ter contratato VoIP, que é o número de
elementos do conjunto I − T . Assim,
x = 45t,
logo, t = 54x. Lembramos que este é o total de clientes que poderiam ter contratado VoIP. Logo, o
número de clientes que poderiam, mas não fizeram, isto é, o número de elementos do conjunto((I −
T )− V ), é dado por
t− x = 54x− x =
5x− 4x
4 =
x
4 .
Representando no diagrama:
Questão 3 (1.0 pt) Escreva, em função de x, o número de clientes que contratam simultaneamente
um plano de telefonia móvel e um de internet.
Resposta: Vamos chamar de i o número total de clientes que contrataram plano de internet. Assim,
pela afirmação ii, temos que
x = i2 ∴ i = 2x.
Assim, o número de clientes que contrataram tanto internet quanto telefonia móvel
i− x− x4 = 2x− x−
x
4 =
8x− 4x− x
4 =
3x
4 .
Representando no diagrama:
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I AP3 4
Questão 4 (1.0 pt) Quantos clientes contratam o plano de VoIP?
Resposta: Observando o diagrama anterior, vemos que o número de clientes que não contrataram
plano de telefonia móvel é dado por
x + x4 =
4x + x
4 =
5x
4 .
Chame de y o número de clientes que contrataram apenas plano de telefonia móvel. Assim, o número
de clientes que contrataram plano de telefonia móvel é dado por y + x4 . Pela afirmação iii, temos
y + 3x4 = 2 ·
5x
4 ∴ y +
3x
4 =
10x
4 ∴ y =
10x
4 −
3x
4 ∴ y =
7x
4 .
Representando no diagrama:
Pela afirmação v, temos
x + x4 +
3x
4 +
7x
4 = 90.000 ∴
4x + x + 3x + 7x
4 = 90.000 ∴
15x
4 = 90.000 ∴
∴
x
4 = 6.000 ∴ x = 24.000.
(Este texto é comum às questões 5 a 6 a seguir.)
Um comerciante adquire um produto, junto ao fornecedor, por 500 reais. Ao vender o produto,
o comerciante deverá recolher, como impostos, o equivalente a 40% do valor agregado, isto é, da
diferença V − C entre o preço de venda V e o de compra C.
Questão 5 (1.0 pt) Dê o valor do imposto que deve ser recolhido, caso o preço de venda seja de
750 reais.
Resposta: Com o valor de 750 reais para venda, o imposto será dado por
I = 40% · (V − C) = 40100(750− 500) =
2
5 · 250 = 100.
Logo, o imposto será de 100 reais.
Questão 6 (2.0 pt) Escreva a expressão do imposto I e do lucro L (dado por L = V − C − I),
em função apenas de V . Depois, dê o valor de V para o qual o comerciante obterá um lucro de 120
reais na venda.
Resposta: O imposto é de 40% da diferença V − C, logo é dado por
I = 40% · (V − C) = 25(V − C) =
2
5(V − 500) =
2V
5 − 200.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJMétodos Determińısticos I AP3 5
O lucro do vendedor será dado por
L = V −C − I = V − 500−
(2V
5 − 200
)
= V − 500− 2V5 + 200 = V −
2V
5 − 300 =
3V
5 − 300.
Vamos descobrir então o valor de V para que tenhamos L = 120:
L = 120⇔ 3V5 − 300 = 120⇔
3V
5 = 420⇔ 3V = 2100⇔ V = 700.
O preço de venda deverá ser de 700 reais.
(Este texto é comum às questões 7 a 10 e a seguir.)
Considere que as funções de demanda e oferta de certo produto são dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P 2 + 2 P + 3 e Q(P ) = 2 P − 2,
onde P é o preço do produto em reais e D e Q são a demanda e a oferta, respectivamente, em
milhões de unidades.
Questão 7 (0.8 pt) Qual é o preço máximo do produto (valor acima do qual não há demanda pelo
mesmo)? E qual é o preço ḿınimo (valor abaixo do qual não há oferta)?
Resposta: Preço máximo:
D(P ) = 0⇔ −P 2+2 P+3 = 0⇔ P =
−2±
√
22 − 4(−1)(3)
2(−1) ⇔ P =
−2±
√
16
−2 ⇔ P =
−2± 4
−2 ⇔
⇔ P = −6
−2 = 3 ou P =
2
−2 = −1.
Como P > 0, temos, como preço máximo, P = 3, isto é, R$3,00.
Preço ḿınimo:
Q(P ) = 0⇔ 2P − 2 = 0⇔ 2P = 2⇔ P = 1.
Temos então, como preço ḿınimo, R$1,00
Questão 8 (0.7 pt) A partir de uma análise da função quadrática D, que representa a demanda,
determine a demanda máxima do produto e o preço para o qual ela ocorre.
Resposta: Sabemos que a demanda deste produto é dada por D(P ) = −P 2+2 P +3. Considerando
os coeficientes a = −1, b = 2 e c = 3, a demanda máxima é dada por
Dmax = −
∆
4a = −
b2 − 4ac
4a = −
4− 4(−1)(3)
4(−1) = −
16
−4 = 4.
Ou seja, a demanda máxima é de 4 milhões de unidades. Esta demanda máxima ocorre para
P = − b2a = −
2
2(−1) = 1,
isto é, para o preço de R$1,00.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I AP3 6
Questão 9 (1.0 pt) Qual é o preço de equiĺıbrio para este produto? Considere
√
5 ≈ 2.24.
Resposta: O preço de equiĺıbrio P é tal que
D(P ) = Q(P )⇔ −P 2 + 2P + 3 = 2 P − 2⇔ −P 2 + 5 = 0⇔ P 2 − 5 = 0⇔
⇔ P = ±
√
5⇔ P ≈ −2.24 ou P ≈ 2.24.
Como P não pode ser negativo, o preço de equiĺıbrio será de R$2,24.
Questão 10 (1.0 pt) Esboce em um mesmo plano cartesiano as curvas de demanda e de oferta
deste produto, identificando cada uma delas. Destaque os pontos onde a oferta ou a demanda são
iguais a zero, os pontos de equiĺıbrio e o ponto de demanda máxima.
Resposta: A função demanda, de expressão D(P ) = −P 2 + 2P + 3, é uma função quadrática cujo
gráfico tem concavidade para baixo. Suas ráızes já foram calculadas na questão 7, e são −1 e 5.
Seu máximo, calculado na questão 8, é 4, obtido quando P = 1.
A função oferta, de expressão Q(P ) = 2P − 2 tem como gráfico uma reta. Sabemos, pela questão
7, que Q(1) = 0. Para obtermos outro ponto do gráfico desta função, vamos substituir o preço de
equiĺıbrio:
Q(2.24) = 2 · 2.24− 2 = 2.48.
Assim, podemos traçar os gráficos das duas funções, definidos para 2 6 P 6 5 (preços ḿınimo e
máximo), e que se encontram no ponto de equiĺıbrio, aproximadamente (2.24, 4.48).
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
RASCUNHO
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Resoluções feitas nesta folha não serão corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.