eletromagnetismo

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2/15/2018
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AULA 1: O MÉTODO CIENTÍFICO
Física Teórica Experimental I
AULA 1: TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
Eletromagnetismo
Análise Vetorial
Engenharia de Telecomunicações
Prof. Msc. Hélio Ferreira
PARTE 01: Análise Vetorial
1.1 Álgebra Vetorial.
1.2 Sistema e Transformação de Coordenadas.
1.3 Cálculo Vetorial.
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1.1.4 – Produto Vetorial
Quando dois vetores, A e B, são multiplicados entre si, o resultado
tanto pode ser um escalar quanto um vetor, dependendo de como eles
são multiplicados. Existem dois tipos de multiplicação vetorial
1. Produto escalar (ou ponto); A . B
2. Produto vetorial (ou cruzado); A X B
1.1.4 – Produto Vetorial
A multiplicação de três vetores, A, B e C, entre si, pode resultar em:
1. Um Produto escalar triplo ; A . (B X C)
2. Um Produto vetorial triplo; A X (B X C)
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1.1.4 – Produto Vetorial
1. Um Produto escalar triplo;
a) Produto Escalar
O produto escalar entre dois vetores, A . B, é definido graficamente
como o produto das magnitudes de A e B e do cosseno do menor
âgulo entre eles quando estiverem a partir do mesmo ponto de
origem.
A . B = |A|.|B|.cos 𝜃AB
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a) Produto Escalar
Sendo dois vetores A=(Ax,Ay,Az) e B=(Bx,By,Bz), o produto escalar
entre eles será feito componente a componente.
A . B =AxBx + AyBy + AzBz
Obs: Se A e B forem vetores ortogonais,
o produto escalar A . B = 0.
a) Produto Escalar
Propriedades do produto Escalar.
1. Comutativa
A . B = B . A
2. Distributiva
A . (B + C) = A . B + A . C
3. A . A = |A|^2 = A^2
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a) Produto Escalar
Propriedades do produto Escalar.
Pode ser observado também que:
ax . ay = ay . az = az . ax = 0
ax . ax = ay . ay = az . az = 1
b) Produto Vetorial (ou Produto Cruzado)
O produto vetorial entre dois vetores, A X B, é uma quantidade
vetorial cuja magnitude é a área do paralelogramo formado por A e B,
e cuja orientação é dada pelo avanço de um parafuso de rosca direita
a medida que A gira em direção a B.
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b) Produto Vetorial (ou Produto Cruzado)
A X B.
b) Produto Vetorial (ou Produto Cruzado)
A X B.
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b) Produto Vetorial (ou Produto Cruzado)
Seja o produto vetorial A X B.
b) Produto Vetorial (ou Produto Cruzado)
Propriedades do produto vetorial
1. Não é comutativo
A X B ≠ B X A
2. É anticomutativa
A X B = - B X A
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b) Produto Vetorial (ou Produto Cruzado)
Propriedades do produto vetorial
3. Não é associativa
A X (B X C) ≠ (A X B) X C
4. É distributiva
A X (B X C) = A X B + A X C
b) Produto Vetorial (ou Produto Cruzado)
Propriedades do produto vetorial
Também se observa que:
ax X ay = az
ay X az = ax
az X ax = ay
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b) Produto Vetorial (ou Produto Cruzado)
Os vetores unitários resultantes de um produto vetorial pode ser
obtido por permutação cíclica.
c) Obtendo a Componente escala de um vetor A ao longo de B, dado
por AB.
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1.1.4 – Produto Vetorial
1. Produto escalar triplo;
d) Obtendo a Componente vetorial de A ao longo de B. Faz-se o
Produto da Componente de AB pelo vetor unitário ao longo de aB
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Exemplo 03:
Dados os vetores A = 3ax + 4ay + az e B = 2ay – 5az, determine o ângulo entre A e B.
Exemplo 03:
Dados os vetores A = 3ax + 4ay + az e B = 2ay – 5az, determine o ângulo entre A e B.
Solução 01:
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Exemplo 03:
Dados os vetores A = 3ax + 4ay + az e B = 2ay – 5az, determine o ângulo entre A e B.
Solução 02:
Exemplo 04:
Três campos vetoriais são dados por:
P = 2ax - az;
Q = 2ax – ay + 2az;
R = 2ax – 3ay + az;
a) (P + Q) X (P – Q);
b) Q . (R X P);
c) P . (Q X R);
d) Sen
e) P X (Q X R)
f) Um vetor unitário perpendicular a Q e a R, simultaneamente;
g) A componente de P ao longo de Q.
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Exemplo 04:
Três campos vetoriais são dados por:
P = 2ax - az; Q = 2ax – ay + 2az; R = 2ax – 3ay + az;
a) (P + Q) X (P – Q);
Exemplo 04:
Três campos vetoriais são dados por:
P = 2ax - az; Q = 2ax – ay + 2az; R = 2ax – 3ay + az;
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Exemplo 04:
Três campos vetoriais são dados por:
P = 2ax - az; Q = 2ax – ay + 2az; R = 2ax – 3ay + az;
Obs:
Exemplo 04:
Três campos vetoriais são dados por:
P = 2ax - az; Q = 2ax – ay + 2az; R = 2ax – 3ay + az;
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Exemplo 04:
Três campos vetoriais são dados por:
P = 2ax - az; Q = 2ax – ay + 2az; R = 2ax – 3ay + az;
Exemplo 04:
Três campos vetoriais são dados por:
P = 2ax - az; Q = 2ax – ay + 2az; R = 2ax – 3ay + az;
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EXERCÍCIO 02:
1)Se , determine .
Resposta: 120,6°
2) Sejam , determine:
a) A componente E ao longo de F;
b) Um vetor unitário ao longo de E e F, sumultaneamente.