1ªFrequência1617

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Escola Superior de Tecnologia e Gestão - Instituto Politécnico de Viseu
Matemática Aplicada à Engenharia
Mestrado em Engenharia de Construção e Reabilitação
1a Frequência 31/10/16 Duração: 1h
Observação: Deve indicar todos os cálculos e justificar convenientemente as suas respostas.
1. [4.5] Considere o campo escalar f(x, y) = x2y + x sin y e o campo vetorial
G(x, y) = yexy i+ xexy j definidos em IR2.
(a) Determine o gradiente de f . Em seguida averigue se f é uma solução da equação diferencial xux+uyy =
2x2y (onde u é uma função de x e y).
(b) De entre as seguintes representações (obtidas no Maple) uma corresponde ao gradiente de f e outra
corresponde ao campo vetorial G. Indique-as justificando convenientemente.
x
K10 K5 0 5 10
y
K10
K5
5
10
x
K2 K1 0 1 2
y
K2
K1
1
2
x
K1.0 K0.5 0 0.5 1.0
y
K1.0
K0.5
0.5
1.0
A B C
(c) Calcule o rotacional de G, conclua que é posśıvel determinar um campo escalar g tal que G = ∇g, e
determine um tal g.
(d) Seja C o arco de circunferência de centro na origem orientada no sentido positivo desde o ponto (
√
2, 0)
até ao ponto (−1, 1). Use a aĺınea anterior para obter o valor do integral de linha
∫
C
G · dr.
2. [2] Relativamente ao campo vetorial R(x, y, z) = xyi+ yzj+ xk
(a) determine a divergência;
(b) Calcule o trabalho realizado pela força R ao longo do segmento de reta orientado com ińıcio no ponto
P (1, 1, 1) e a terminar em Q(2,−1, 3).