CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS ATIVIDADE 4

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Curso
	GRA1594 CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS PTA - 202010.ead-3676.03
	Teste
	ATIVIDADE 4 (A4)
	Iniciado
	06/04/20 11:42
	Enviado
	06/04/20 11:57
	Status
	Completada
	Resultado da tentativa
	10 em 10 pontos  
	Tempo decorrido
	14 minutos
	Resultados exibidos
	Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
· Pergunta 1
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na forma  , onde   e   são funções contínuas em um dado intervalo. A solução geral para equações diferenciais lineares de primeira ordem é dada pela expressão  .
 
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na sequência, assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s):
 
 
I. A solução geral da equação   é  .
II. A solução geral da equação   é  .
III. A solução geral da equação   é  .
IV. A solução geral da equação   é  .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I, II e IV, apenas.
	Resposta Correta:
	 
I, II e IV, apenas.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando o método de solução para uma equação diferencial linear, temos:
Afirmativa I: correta. Temos que  e , assim,
.
 
Afirmativa II: correta. Dividindo toda a equação por , temos que  e , assim, .
 
Afirmativa IV: correta. Temos que  e , assim, , onde .
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	Um circuito elétrico simples composto por um resistor  , um indutor   e uma força eletromotriz   (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial:  . Sabendo que essa equação é do tipo linear de primeira ordem, considere um resistor de  , uma indutância de   e uma voltagem constante de  .
 
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada.
 
 
	
	
	
	
		
	
	
	
	
	
	
	
	
· Pergunta 3
1 em 1 pontos
	
	
	
	A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, devemos substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira, não é solução.
 
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A função   é solução da equação diferencial  .
II. A função   é solução da equação diferencial  .
III. A função   é solução da equação diferencial  .
IV. A função   é solução da equação diferencial  .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
II e IV, apenas.
	Resposta Correta:
	 
II e IV, apenas.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com a definição de solução de uma equação diferencial, temos que estão corretas as afirmativas II e IV, pois:
Afirmativa II: Correta. Dada a função , temos . Repare que  Trocando  na equação diferencial, temos:
Afirmativa IV: correta. Dada a função , temos  e . Trocando ,  e  na equação diferencial, temos:
.
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial   se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial:  , onde   representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo  . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial   reduzida em 0,043% após 15 anos.
 
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
 
I. O valor da constante de proporcionalidade é  .
II. A função que representa o problema descrito é  .
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos.
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de  .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I e II, apenas.
	Resposta Correta:
	 
I e II, apenas.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial separável , temos que as afirmativas I e II estão corretas, pois
, onde .
Para , concluímos que  e, para  concluímos . Portanto, a função que representa o problema descrito é .
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais escritas na forma   são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade.
 
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A solução da equação   é  .
II. A solução da equação   é   .
III. A solução da equação   é  .
IV. A solução da equação   é  .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I e III, apenas.
	Resposta Correta:
	 
I e III, apenas.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando adequadamente o método de solução nas equações diferenciais separáveis, temos que:
Afirmativa I: correta. Separando as variáveis: . Integrando a equação: , onde .
Afirmativa III: correta. Separando as variáveis: . Integrando a equação: , onde .
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de   um capacitor com capacitância de   e um resistor com uma resistência de  . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial:  , onde   é a carga, medida em coulombs.
 
Dado que  , assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	
	
	
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	Leia o excerto a seguir:
 
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é  . A queda de voltagem por causa do indutor é  . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida  . Então. temos  , que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente no instante  ” (STEWART, 2016, p. 537).
 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Considerando uma resistência de  , uma indutância de   e uma voltagem constante de  , assinale a alternativa que corresponde à expressão da corrente do circuito  quando o interruptor é ligado em  .
 
 
	
	
	
	
	
	
	
	
· Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução   que satisfaça às condições iniciais da forma   e  . Por meio dessas condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na solução geral.
 
Considere o seguinte PVI:  ,   e  . Analise as afirmativas a seguir:
 
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas.
II. A solução do PVI é  .
III. O valor de umas das constantes da solução geral é  .
IV. A EDO dada não é homogênea.
 
É correto o que se afirma em:
 
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I e II, apenas.
	Resposta Correta:
	 
I e II, apenas.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as afirmativas I e II, pois:
Afirmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa por , cujas raízes são  (duas raízes reais e distintas).
Afirmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e distintas, a saber , a solução geral é expressa por . A partir das condições iniciais, obtemos o seguinte sistema:
(i) 
(ii) 
Resolvendo o sistema, obtemos  e . Portanto, a solução do PVI é .
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico simples , o qual pode ser descrito pela equação  , onde   é uma função do tempo   que indica a posição da massa,   é a massa da mola e   é a constante elástica. Para uma mola de comprimento natural de 0,75m e 5 kg de massa, é necessária uma força de 25 N para mantê-la esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola for solta com velocidade nula ao ser esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da massa após   segundos?
 
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke:  ).
 
 
	
	
	
	
	
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m. Para esticá-la até um comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N. Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de 0,8 m e, em seguida, seja liberada com velocidade inicial nula. O movimento realizado obedece à equação diferencial:  , onde   é uma função do tempo   que indica a posição da massa   e   é a constante elástica.
 
Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke:  ).