TPC02 - Derivacao e Integracao Numerica 2020

Prévia do material em texto

FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 1 
 
 
Universidade Zambeze 
Faculdade de Engenharia Ambiental e dos Recursos Naturais 
Apostila de Métodos Numéricos Semestre 3 Nível 2 
Tema III: Derivação e Integração Numérica 
I. Derivação Numérica 
1. Revisão - Definição da Derivação 
O cálculo é a matemática da variação. Como os engenheiros devem lidar continuamente com 
sistemas e processos que variam, o cálculo é uma ferramenta essencial de sua profissão. 
No centro do cálculo estão os conceitos matemáticos relacionados de derivação (ou 
diferenciação) e integração. De acordo com a definição do dicionário diferenciar significa 
“marcar por diferenças; distinguir;... perceber a diferença entre”. Matematicamente, a derivada, 
que serve como o veículo fundamental da derivação, representa a taxa de variação de uma 
variável dependente com relação a uma variável independente. 
A derivação e a integração de uma função têm tantas aplicações em engenharia que foi 
necessário incluir este tópico na Disciplina de Métodos Numéricos disciplina do segundo ano na 
faculdade para quase todos cursos. Muitos exemplos específicos de tais aplicações podem ser 
dados em todos os campos da engenharia. 
A derivação é rotineira na engenharia porque muitos trabalhos envolvem a caracterização da 
mudança das variáveis no tempo e no espaço. De fato, muitas das leis e outras generalizações 
que desempenham um papel tão importante em trabalho de engenheiro são baseadas na forma 
previsível pelas quais as variações se manifestam no mundo físico. Um exemplo importante é a 
segunda lei de Newton, que não é enunciada em termos da posição de um objecto, mas, em vez 
disso, em termos da variação da posição com relação ao tempo. Além de tais exemplos 
temporais, diversas leis que governam o comportamento espacial das variáveis são expressas em 
termos de derivadas. Entre as mais comuns estão as leis envolvendo potenciais ou gradientes. Por 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 2 
 
exemplo, a lei de Fourier de condução de calor quantifica a observação de que o calor flui de 
regiões de alta para regiões de baixa temperatura. 
 
Leis parecidas fornecem modelos práticos em muitas outras áreas da engenharia, incluindo a 
modelagem da mecânica dos fluidos, a transferência de massa e o fluxo eletromagnético. 
Ahabilidade de obter estimativas acuradas para as derivadas é uma faceta importante em nossa 
capacidade de trabalhar eficientemente nessas áreas. 
A definição da Derivada é dada pela formula: 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥𝑖 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥𝑖)
∆𝑥
 
 
em que y e f (x) são representações alternativas para a variável dependente e x é a variável 
independente. Se for permitido que x se aproxime de zero, a diferença se torna a derivada como 
mostra a figura 1 abaixo. 
 
Figura 1: A definição gráfica de uma derivada: conforme x se aproxima de zero ao passar de 
(a) para (c), a aproximação por diferença 
se torna a derivada. 
𝑓′(𝑥) = 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥𝑖 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥𝑖)
∆𝑥
 
 
Exemplo 1: Use a definição da derivada via limite para calcular f’(x). 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 3 
 
a) 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟐
𝒙 −
𝟑
𝟓
 
Segundo a definição 
𝑓′(𝑥) = 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥𝑖 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥𝑖)
∆𝑥
 
 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
1
2
(𝑥 + ∆𝑥) −
3
5
− (
1
2 𝑥 −
3
5
)
∆𝑥
 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
1
2 𝑥 −
1
2 𝑥 +
1
2 ∆𝑥 −
3
5
+
3
5
)
∆𝑥
 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
1
2 ∆𝑥
∆𝑥
=
𝟏
𝟐
 
b) 𝒇(𝒙) = 𝟒 − √𝒙 + 𝟑 
𝑓′(𝑥) = 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
4 − √(𝑥 + ∆𝑥) + 3 − (4 − √𝑥 + 3)
∆𝑥
 
Lembrando que A
2
-B
2
 = (A-B)(A+B) 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
√𝑥 + 3 − √𝑥 + ∆𝑥 + 3
∆𝑥
∙
√𝑥 + 3 + √𝑥 + ∆𝑥 + 3
√𝑥 + 3 + √𝑥 + ∆𝑥 + 3
 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
(√𝑥 + 3)2 − (√𝑥 + ∆𝑥 + 3)2
∆𝑥(√𝑥 + 3 + √𝑥 + ∆𝑥 + 3)
 
𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0
𝑥+3−(𝑥+∆𝑥+3)
∆𝑥(√𝑥+3+√𝑥+∆𝑥+3)
 𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥(√𝑥+3+√𝑥+∆𝑥+3)
 
 
𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
−1
(√𝑥 + 3 + √𝑥 + ∆𝑥 + 3)
 
𝑓′(𝑥) =
−1
(√𝑥 + 3 + √𝑥 + 3)
= −
𝟏
𝟐√𝒙 + 𝟑
 
 
Exercícios Propostos 
Determine a primeira derivada com base na definição ou via de limite das funções abaixo 
a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 − 3𝑥 + 7 b) 𝑔(𝑥) = 
𝑥+1
2−𝑥
 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 4 
 
 
2. Derivação aproximada ou numérica 
A derivação numérica é aplicada no caso de dados discretos onde não se conhece a sua função ou 
quando a função analítica é conhecida mas é muito complexa para a sua derivação, Exemplo 
determinar a segunda derivada a expressão abaixo. 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥+ln (sin (𝑥
2+𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛√1+𝑥3)+1)𝑥
 
O problema de diferenciação/derivação numérica aparentemente é semelhante ao de integração 
numérica, ou seja, obtendo-se um polinómio interpolador (ou outra função interpoladora) seja de 
Newton ou Lagrange (estudado no tema anterior) da função f(x), a aproximação das derivadas 
podem ser obtidas derivando-se esse polinómio. Infelizmente deve-se tomar cuidado. A 
diferenciação tende a magnificar as pequenas discrepâncias ou erros na função aproximada como 
mostrado na figura abaixo. 
Pela figura, o polinómio 𝑃𝑛(𝑥) parece ser uma excelente função aproximadora para aproximar o 
valor da integral ∫ 𝑃𝑛(𝑥)
𝑏
𝑎
dx por ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. No entanto 
𝑑𝑃𝑛(𝑥)
𝑑𝑥
 que representa a inclinação da 
recta tangente à 𝑃𝑛(𝑥), pode ser significativamente diferente em magnitude do que 
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
, mesmo 
nos pontos onde Pn (x) e f(x) têm o mesmo valor. Derivadas de ordem superior tendem a 
magnificar a discrepância. Assim, a diferenciação numérica é um processo menos preciso do que 
a integração numérica e deve ser evitada toda vez que possível. Na verdade, engenheiros e 
cientistas fazem testes de diferenciação em dados de laboratório como indicação da precisão 
experimental. 
 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 5 
 
 
Uma forma de reduzir o erro de diferenciação é utilizar um polinómio aproximador obtido pelo 
método dos mínimos quadrados. No entanto, isso é um tanto trabalhoso, e como na prática nem todas 
as derivadas são necessárias (geralmente somente a primeira e a segunda) derivam-se fórmulas de 
aproximação das primeiras derivadas, denominadas “diferenças aproximadas”. Essas diferenças 
aproximadas e seus respectivos erros podem ser obtidos utilizando-se a expansão de Taylor .Existem 
3 fórmulas da expansão de Taylor para aproximação das derivações dependendo do ponto onde se 
pretende o valor da derivação. Veja a figura a baixo. 
 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 6 
 
1. Diferença Aproximada Progressiva 
Na diferença aproximada progressiva o ponto onde se pretende a derivada (na figura é Xi) é o 
ponto inferior e o superior é o ponto a seguir (no caso Xi+1) este dois pontos resultam na recta 
cuja inclinação é a derivada no ponto Xi 
 
Diferença da Primeira Ordem 
A fórmula da derivada aproximada pela fórmula de Taylor nesse ponto (Xi) é dada como: 
𝑓(𝑥𝑖)
′ =
𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖)
ℎ
+ 𝐸 
 
Onde: E – Erro de truncamento representado pelo seu termo dominante 𝐸 ≈ −
ℎ
2
 𝑓", h é a 
diferença entre dois pontos em que um deles é o analisado, ou é a a mínima divisão 
entre os pontos em analise h = (x1 – x2). 
 
Exemplo 1: Dados valores da Tabela, Determine a derivada aproximada da Primeira Ordem no 
ponto x=3.5 Considere uma aproximação de uma função interpoladora de segundo grau. 
Considere h=0.1; 0.05 e 0.001;. Desconsidere o erro de truncamento. 
X 0 4 6 
F(x) -3 1 0 
 
Resolução: 
1. Determina –se o polinómio Interpolador usando qualquer um dos métodos estudados. 
Neste caso concreto tem –se 𝑷𝒏(𝒙) = − 
𝟏
𝟒
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 
 
No aplicativoGEOGEBRA pode se traçar o gráfico a seguir 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 7 
 
 
NO Excel pode se traçar o Gráfico e a linha de tendência. Verificando a R
2
 =1 o que significa 
que todos pontos discretos dados pertencem à função interpolador. 
 
 
O ponto onde se pretende a derivada (inclinação da recta) é o ponto Xi =3.5 e pela diferença 
progressiva Xi+1 = Xi+ h (proveniente de h = (Xi+1 – Xi) = ∆𝑥). 
Aplicando a formula têm – se: 
y = -0.25x2 + 2x - 3 
R² = 1 
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8
y 
y
Polinomial (y)
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 8 
 
𝑓(𝑥𝑖)
′ =
𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖)
ℎ
 
A função a ser diferenciada é 𝑷𝒏(𝒙) = − 
𝟏
𝟒
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 
 Para h=0.1 
Então: 𝑓(𝑥𝑖+1) = 𝑓(3.5 + 0.1) = − 
1
4
(3.6)2 + 2(3.6) − 3 = 0.96 
𝑓(𝑥𝑖) = 𝑓(3.5) = − 
1
4
(3.5)2 + 2(3.5) − 3 = 0.9375 
Substituindo na formula obtêm - se: 
𝑓(3.5)
′ =
0.96 − 0.9375
0.1
= 𝟎. 𝟐𝟐𝟓 
O valor da deriva é positiva indicando o crescimento da linha como mostra a figura no ponto 
(x=3.5). 
Para h=0.05 
𝑓(3.5)
′ =
0.949375 − 0.9375
0.05
= 0.2375 
Para h=0.001 
𝑓(3.5)
′ =
0.93775 − 0.9375
0.001
= 𝟎. 𝟐𝟒𝟗𝟕𝟓 ≈ 𝟎. 𝟐𝟓 
Neste exemplo pode se notar que o valor da derivada altera com a variação da diferença entre os 
pontos, o mesmo vai se ajustando a medida que h tende a zero conforme a definição. O valor real 
pode ser obtida analiticamente da seguinte forma: 
𝑓′(𝑥) = 𝑝′(𝑥) = −
1
4
2𝑥 + 2 = −
1
2
𝑥 + 2 
Para o ponto em referência 𝑓′(3.5) = −
1
2
(3.5) + 2 = 𝟎. 𝟐𝟓 
Isto mostra que a aproximação é valida desde que a variação entre os pontos (h) tenda a Zero. 
 
Diferença da Segunda Ordem 
Fazendo h = x1 – x0 = x2 – x1, donde x2 – x0 = x2 – x1 + x1 – x0 =2h pode- se escrever 
 
𝑓"(𝑥) =
𝑓(𝑥 + 2ℎ) − 2𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑓(𝑥)
ℎ2
 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 9 
 
Isto é a segunda derivada é determinada sem ter de passar pela primeira derivada. Desde que os 
os pontos de analise estejam equidistantes. 
Exemplo determine a segunda derivada da função 𝑷𝒏(𝒙) = − 
𝟏
𝟒
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 no ponto 3.5 e h = 
0.001. 
𝑓"(𝑥) =
𝑓(𝑥 + 2ℎ) − 2𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑓(𝑥)
ℎ2
 
𝑓"(𝑥) = 
[−
1
4
(𝑥 + 2ℎ)2 − 2(𝑥 + 2ℎ) − 3] − 2[−
1
4
(𝑥 + ℎ)2 + 2(𝑥 + ℎ) − 3] + [−
1
4
𝑥2 + 2𝑥 − 3]
ℎ2
 
 
𝑓"(3.5) = 
−6.14 − 2 ∗ −1.34 + 0.9375
0.0012
= −𝟎, 𝟓 
Pode – se verificar o resultado utilizando o cálculo analítico (nem sempre é possível fazer a 
verificação depende da complexidade da função): 
𝑓′(𝑥) = 𝑝′(𝑥) = −
1
4
2𝑥 + 2 = −
1
2
𝑥 + 2 
𝑓"(𝑥) = [𝑓′(𝑥)]′ = −
𝟏
𝟐
 os resultados são iguais validando assim a fórmula aproximada 
 
O resultado obtém - se facilmente no excel desde que seja introduzido a formula: 
x f(x) f(x+h) f(x+2h) h f"(x) 
3.5 0.9375 0.93775 0.937999 0.001 -0.5 
 
Para Ordem Superiores Pode se Utilizar a tabela abaixo 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 10 
 
 
Nota: das duas equações em cada ordem a segunda apresenta integração do erro de truncamento 
assim é mais precisa. 
 
2. Diferença Aproximada Central 
Neste caso a linha da derivada é paralela a linha qu passa no ponto médio entre dois 
pontos equidistantes em relação ao ponto central. No caso da figura que se segue, os 
pontos x=3 e x = 5 são os pontos extremos para o ponto central x= 4. A linha que passa 
por estes pontos é paralela a linha que passa pelo poto central. Formula para este caso ë 
dada por: 
𝑓′(𝑥𝑖) = 𝑓
𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖−1)
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖−1
 
 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 11 
 
 
 
3. Diferenças Finitas Regressivas 
Neste caso os dois pontos considerados são o ponto Xi no qual pretende se efectuar a 
derivação e um ponto anterior a este, ou seja Xi-1. Como mostra a figura seguinte. 
𝑓′(𝑥) = 
𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖−1)
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
 
 
 
 
y = -0.25x2 + 2x - 3 
R² = 1 
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8
y 
y
Polinomial (y)
y = -0.25x2 + 2x - 3 
R² = 1 
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8
y 
y
Polinomial (y)
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 12 
 
Revisão - Fundamentos Matemáticos 
Propriedades de derivação analítica 
 
Outras derivadas Usadas Comumente 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 13 
 
II. Integração Numérica 
Do mesmo modo como estimativas acuradas das derivadas são importantes na engenharia, o 
cálculo de integrais é igualmente valioso. Diversos exemplos relacionam directamente a ideia de 
integral com área sob a curva. As figuras abaixo descrevem alguns casos da aplicação da 
integração. 
Exemplo de como a integração é usada para calcular áreas em aplicações de engenharia. 
a) Um inspector pode precisar saber a área de um campo limitado por um riacho sinuoso e duas 
estradas. 
 
b) Um engenheiro de recursos hidráulicos pode precisar saber a área da seção transversal de um 
rio. 
 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 14 
 
c) Um engenheiro de estruturas poderia precisar determinar a força média decorrente de um 
vento não-uniforme soprando contra o lado de um arranha-céu. 
 
Outra aplicação comum da integral se relaciona com a analogia entre integração e soma. Por 
exemplo, uma aplicação comum é determinar a média de uma função contínua 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = 
∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
em que yi são medidas individuais. A determinação da média de pontos discretos é ilustrada na 
seguinte figura. 
 
Para caso de calcular a média de uma função no contínuo y = f (x) no intervalo de a até b. A 
integração é usada para esse propósito, como especificado pela fórmula 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 15 
 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏 − 𝑎
 
Essa fórmula tem centenas de aplicações em engenharia. O gráfico correspondente a seguinte: 
 
Definição no dicionário da Integração 
Integração é o valor total ou a soma de f(x) dx no intervalo de x = a a b. De fato, o símbolo ∫ 
é, na realidade, um S maiúsculo estilizado usado para indicar a conexão íntima entre integração e 
soma. A figura abaixo ilustra a área correspondente integração de f(x) entre os pontos a e b 
 
Figura: Representação gráfica da integral de f(x) entre os extremos x = a e b. A integral é 
equivalente à área abaixo da curva. 
 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 16 
 
Derivação & Integração 
Como já delineado, a “separação” ou “discriminação” da derivação e 
o “juntar” da integração são processos intimamente ligados, que são, 
de fato, inversamente relacionados. Por exemplo, se for dada uma 
função y(t) que especifica a posição de um objecto como uma função 
do tempo, a derivação fornece um meio de determinar sua velocidade 
naquele instante, conforme ilustra a imagem ao lado. 
𝑣(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑡
𝑦(𝑡) 
Reciprocamente, se for dada a velocidade como uma função do 
tempo, a integração pode ser usada para determinar sua posição como mostra a figura a baixo. 
𝑦(𝑡) = ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
0
 
Logo, pode-se fazer a afirmação geral de que o cálculo da 
integral: 𝐼(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 é equivalente à resolução da 
equação diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥) para a determinação de y(b) 
dada a condição inicial y(a) = 0. 
 
 
Fundamento Matemáticos de Integração 
Fórmulas parecidas estão disponíveis para integração definida, que trata da determinação de uma 
integral entre extremos especificados, como em 
𝐼(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
De acordo com o teorema fundamental do cálculointegral, essa equação pode ser calculada por 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)|𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 17 
 
em que F(x) é uma primitiva de f (x) — isto é, qualquer função tal que F’(x) = f (x). Na qual 
𝐹(𝑥)|𝑎
𝑏 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏) 
Exemplo: Determine analiticamente a integral do polinómio simples de [0;0.8]. 
 𝒇(𝒙) = ∫(𝟎. 𝟐 + 𝟐𝟓𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝟕𝟓𝒙𝟑 − 𝟗𝟎𝟎𝒙𝟒 + 𝟒𝟎𝟎𝒙𝟓) 𝒅𝒙 
A expressão da Integração é 
𝐼 = ∫ (𝟎. 𝟐 + 𝟐𝟓𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝟕𝟓𝒙𝟑 − 𝟗𝟎𝟎𝒙𝟒 + 𝟒𝟎𝟎𝒙𝟓)𝒅𝒙
0.8
0
 
De acordo com a regra: 
∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
|𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
 
Onde: n não pode ser igual a -1. 
Aplicando essa regra para cada termo resulta em: 
𝐼 = (0.2𝑥 +
25
2
𝑥2 −
200
3
𝑥3 +
675
4
𝑥4 −
900
5
𝑥4 +
400
6
𝑥6) |0
0.8 = 1,64 
Esse valor é igual à área sob o polinómio original dado entre x = 0 e 0,8. 
No app Geogebra pode - se confirmar segundo ilustra o Prinscreen 
 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 18 
 
Para o cálculo analítico no exemplo anterior é necessário o conhecimento da regra. Essas 
“regras” são todas meros exemplos de primitivação, isto é, de encontrar F(x) tal que F’(x) = f (x). 
Consequentemente, a integração analítica depende do conhecimento anterior da resposta. Esse 
conhecimento é adquirido por treinamento e experiência. Muitas das regras estão resumidas em 
manuais e em tabelas de integrais. A seguir são listadas algumas integrais comumente 
encontradas. 
 
Entretanto, muitas funções de importância prática são muito complicadas para estarem contidas 
em tais tabelas. Uma razão pela qual é necessário conhecer as técnicas valiosas aqui apresentadas 
que fornecem uma maneira de calcular relações tais como do polinómio do exemplo anterior sem 
conhecimento das regras. 
Técnicas de Integração 
1. Fórmulas de Integração de Newton-Cotes 
As fórmulas de Newton-Cotes são os esquemas mais comuns de integração numérica. Elas são 
baseadas na estratégia de substituir uma função complicada ou dados tabulados por uma função 
aproximadora simples que seja fácil de integrar: 
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅ ∫ 𝑃𝑛(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 19 
 
Onde: Pn(x) é o polinómio de forma: 
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛𝑥
𝑛 
e n é o grau de polinómio. 
Na figura (a) a baixo um polinómio de primeiro grau (uma recta) é usado como uma 
aproximação. Na figura (b), é usada uma parábola para o mesmo propósito. 
 
A integral também pode ser aproximada usando uma série de polinómios aplicados por partes à 
função ou dados em segmentos de comprimento constante. Por exemplo, na figura abaixo. Três 
segmentos de recta são usados para aproximar a integral. Polinómios de grau mais alto podem 
ser usados para o mesmo propósito. Com esse cenário, reconhecemos que o “método das faixas” 
na empregava uma série de polinómios de grau zero (isto é, constantes) para aproximar a 
integral. 
 
Estão disponíveis formas abertas e fechadas das fórmulas de Newton-Cotes. As formas fechadas 
são aquelas nas quais os dados nos extremos iniciais e final de integração são conhecidos. As 
fórmulas abertas têm extremos de integração que se estendem além do intervalo dos dados. 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 20 
 
Nesse sentido, elas são parecidas com a extrapolação. As fórmulas abertas de Newton-Cotes, em 
geral, não são usadas para integração definida. Entretanto, são utilizadas para calcular integrais 
impróprias e na solução de equações diferenciais ordinárias. Com enfatize nas formas fechadas. 
A REGRA DO TRAPÉZIO ou de Newton & Cote 
A regra do trapézio é a primeira fórmula de integração fechada de Newton-Cotes. Ela 
corresponde ao caso no qual o polinómio é de primeiro grau: 
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≅ ∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Lembrando que: 𝑓1(𝑥) = 𝑓
′(𝑎)𝑥 + 𝑏 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑓1(𝑥) = 𝑓(𝑎) +
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
(𝑥 − 𝑎) 
A área sob essa recta é uma estimativa da integral de f (x) entre os extremos a e b: 
𝐼 = ∫ [𝑓(𝑎) +
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
𝑏
𝑎
(𝑥 − 𝑎)]𝑑𝑥 
O resultado da integração é 𝑰 = (𝒃 − 𝒂)
𝒇(𝒂)+𝒇(𝒃)
𝟐
 chama – se regra de trapézio. A descrição 
gráfica da regra de trapézio é ilustrada na figura a baixo. 
 
Nota: O método de trapézio também apresenta um erro de truncatura 𝐸𝑡 = −
1
12
𝑓"(𝜉)(𝑏 − 𝑎)3 
Na forma generalizada afica: 𝐼 =
ℎ
2
[𝑓(𝑥0) + 2 ∑ 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓(𝑥𝑛)]
𝑛−1
𝑖=1 e 
Ou 𝐼 = 
ℎ
2
(𝑦0 + 2𝑦1 + 2𝑦2 … + 𝑦𝑛) 
ℎ =
𝑥𝑛+1 − 𝑥1
𝑛
 
n – numero de intervalos (numero inteiro) 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 21 
 
Nota: O erro é minimizado quanto menor for o valor de h ou quanto maior for o numero de 
intervalos n. 
 Exemplo: 
Determine: ∫ 𝑒−𝑥
2
𝑑𝑥
3
1
 
a) Caso n=1 
b) Caso n=2 
c) Caso n=4 
d) Caso n=6 
Resolução 
a) Caso n=1 (um intervalo) 
𝐼 =
ℎ
2
[𝑓(𝑥0) + 2 ∑ 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓(𝑥𝑛)]
𝑛−1
𝑖=1 ℎ =
3−1
1
= 2 
Na forma simples a equação fica: 𝑰 = (𝒃 − 𝒂)
𝒇(𝒂)+𝒇(𝒃)
𝟐
=
𝒉
𝟐
[𝒇(𝒙𝒐) + 𝒇(𝒙𝟏)] 
𝐼 =
2
2
(𝑒−1
2
+ 𝑒−3
2
) = (0.00012341 + 0.367879441) = 0.368 
h x f(x) I 
2 1 0.367879 0.368003 
 3 0.000123 
 
b) Caso n=2 (dois intervalos) 
𝐼 = 
ℎ
2
(𝑦0 + 2𝑦1 + 𝑦2) ℎ =
3 − 1
2
= 1 
𝐼 =
1
2
[0.367879441 + 2 ∗ (0.018315639) + 0.00012341] = 𝟎. 𝟐𝟎 
h x f(x) I 
1 1 0.367879 0.202317 
 2 0.018316 
 3 0.000123 
 
c) Caso n=4 (quatro de intervalos) 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 22 
 
𝐼 = 
ℎ
2
(𝑦0 + 2𝑦1 + 2𝑦2 + 2𝑦3 + 𝑦4) ℎ =
3 − 1
4
= 0.5 
h x f(x) I 
0.5 1 0.367879 0.154823 
 1.5 0.105399 
 2 0.018316 
 2.5 0.00193 
 3 0.000123 
d) Caso n=6 (Seis de intervalos) 
𝐼 = 
ℎ
2
(𝑦0 + 2𝑦1 + 2𝑦2 + 2𝑦3 + 2𝑦4 + 2𝑦5 + 𝑦6) ℎ =
3 − 1
6
= 1/3 
h x f(x) I 
0.33 1 0.367879 0.146214 
 1.333333 0.169013 
 1.666667 0.062177 
 2 0.018316 
 2.333333 0.00432 
 2.666667 0.000816 
 3 0.000123 
 
Discussão dos resultados 
Neste exercício que felizmente é possível determinar o valor real do integral com o método 
analítico e gráfico, pode-se determinar o erro em cada caso. 
Determinação do 𝐼𝑡 = ∫ 𝑒
−𝑥2𝑑𝑥
3
1
= 0.14 
Casos n h I It Ea E(%) 
a) 1 2 0.386 0.14 0.246 176% 
b) 2 1 0.202 0.14 0.062 44% 
c) 4 0.5 0.155 0.14 0.015 11% 
d) 6 0.33 0.146 0.14 0.006 4% 
Conclusão: Quanto maior for o numero de intervalos (subintervalo) menor é o numero da 
variação entre dois números consecutivos (h) menor é o erro na aproximação integral. 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 23 
 
Usando o aplicativo GoGebra: 
 
Cálculo de Erro 
a) Caso n=1 𝐸 = | | 
Exercícios Propostos: 
Determine 𝐼 = ∫ 
1
𝑥
𝑑𝑥
3.6
3.0
; usando a regra de trapézios compostos com 6 intervalos. 
 
REGRAS DE SIMPSON 
Na tentativa de melhorar a aproximação trapezoidal poder-se-á utilizar polinómios de ordem superior a 
um. As regras de Simpson obtém-se aproximando a função f por polinómios interpoladores de grau 
superior ou igual a dois. 
a) A regra de Simpson Simples 
𝐼 =
ℎ
3
(𝑦0 + 4𝑦1 + 𝑦2) 
Enquanto a regra trapezoidal aproxima, em cada intervalo de amplitude h, a área sob a curva f(x) 
mediante a área de um trapézio, a regra de Simpson utiliza a área sob uma parábola para aproximar a área 
sob a curva em dois intervalos adjacentes. 
b) Regra de Simpson composta, também conhecida pela regra do 1/3. 
𝐼 =
ℎ
3
(𝑦0 + 4𝑦1 + 2𝑦2 + 4𝑦3 + 2𝑦4 + ⋯ + 2𝑦𝑛−2 + 4𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛) 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 24 
 
Note-se quea regra de Simpson é aplicada a pares de subintervalos, como tal para se poder aplicar a 
referida regra o número de subintervalos disponíveis tem de ser par. 
Exemplo: Calcule o valor de π, dado pela expressão 
𝜋 = 4 ∫
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
1
0
 
Aplicando a regra de Simpson 1/3 com 4 subintervalos. 
n h x f(x) 
4 0.25 0 1 
 0.25 0.941176 
 0.5 0.8 
 0.75 0.64 
 1 0.5 
𝐼 =
0.25
3
(0 + 4 ∗ 9.941 + 2 ∗ 0.8 + 4 ∗ 0.64 + 0.5) = 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟔𝟖𝟔𝟐𝟕 
c) Regra de Simpson Composta ou Regra de 3/8 
Do modo análogo que se deduziu a regra de Simpson anterior, utilizando um polinómio 
interpolador de Gregory-Newton de grau dois, é possível deduzir outras regras utilizando 
polinómios interpoladores de Gregory-Newton de grau superior. 
𝑰 =
𝟑𝒉
𝟖
(𝒚𝟎 + 𝟑𝒚𝟏 + 𝟑𝒚𝟐 + 𝟐𝒚𝟑 + 𝟑𝒚𝟒 + ⋯ 𝟑𝒚𝒏−𝟐 + 𝟑𝒚𝒏−𝟏 + 𝒚𝒏) 
d) Aplicação Múltipla da Regra 1/3 de Simpson 
Do mesmo modo como no caso da regra do trapézio, a regra de Simpson pode ser melhorada 
dividindo-se o intervalo de integração em diversos segmentos de mesmo comprimento. Veja 
a figura a seguir. 
 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 25 
 
A Estimativa do erro é dada pela formula 
Onde f¯(4) é o valor médio da quarta derivada no intervalo. 
 
Exemplo: Com n = 4 para obter uma estimativa da integral de 
𝑓(𝑥) = 𝟎. 𝟐 + 𝟐𝟓𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝟕𝟓𝒙𝟑 − 𝟗𝟎𝟎𝒙𝟒 + 𝟒𝟎𝟎𝒙𝟓 
De a=0 à b=0.8 e lembrar que a integral real é 1,640533. 
 
 
INTEGRAÇÃO COM SEGMENTOS DESIGUAIS 
Até esse ponto, todas as fórmulas para integração numérica foram baseadas em dados igualmente 
espaçados. Na prática, existem muitas situações nas quais essa hipótese não é válida e 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 26 
 
precisamos lidar com segmentos de tamanhos distintos. Por exemplo, dados obtidos 
experimentalmente, muitas vezes, são desse tipo. Para tais casos, um método é aplicar a regra do 
trapézio para cada segmento e somar os resultados: 
𝐼 = ℎ1
𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥1)
2
+ ℎ2
𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)
2
+ ⋯ + ℎ𝑛
𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)
2
 
em que hi é a largura do segmento i. Observe que essa foi a mesma abordagem usada na 
aplicação múltipla da regra do trapézio. A única diferença entre as equações é que os h’s na 
primeira são constantes. 
Exemplo: Dados os valores da tabela abaixo calculados a partir do polinómio: 
 𝑓(𝑥) = 𝟎. 𝟐 + 𝟐𝟓𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝟕𝟓𝒙𝟑 − 𝟗𝟎𝟎𝒙𝟒 + 𝟒𝟎𝟎𝒙𝟓 
x f(x) 
 
x f(x) 
0 0.2 
 
0.5 3.325 
0.12 1.309729 
 
0.58 3.526407 
0.25 1.371875 
 
0.68 2.686559 
0.3 1.607 
 
0.72 1.994401 
0.39 2.358324 
 
0.8 0.232 
0.42 2.651785 
 
𝐼 = 0.12
0.2 + 1.31
2
+ 0.13
1.31 + 1.37
2
+ ⋯ + 0.08
1.99 + 0.232
2
= 1.599402 
x f(x) I 
0 0.2 
 0.12 1.309729 0.090584 
0.25 1.371875 0.174304 
0.3 1.607 0.074472 
0.39 2.358324 0.17844 
0.42 2.651785 0.075152 
0.5 3.325 0.239071 
0.58 3.526407 0.274056 
0.68 2.686559 0.310648 
0.72 1.994401 0.093619 
0.8 0.232 0.089056 
Soma 1.599402 
Valor real 𝟏, 𝟔𝟒𝟎𝟓𝟑𝟑 
Erro ( %) 2.51 
 
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 27 
 
TPC 02 Entrega até sexta Feira dia 02 de Abril as 14:30 (depois dessa Hora o email vai ao 
Spam). Enviar para Chichango@gmail.com com assunto deve ser “ MENU - TPC02” 
Problemas 
21.1 Calcule a seguinte integral 
∫ (1 − 𝑒−2𝑥)𝑑𝑥
4
0
 
(a) analiticamente; (b) por uma única aplicação da regra do trapézio; (c) por aplicações múltiplas 
da regra do trapézio, com n = 2 e 4; (d) uma única aplicação da regra 1/3 de Simpson; (e) 
aplicação múltipla da regra 1/3 de Simpson, com n = 4; (f) uma única aplicação da regra 3/8 de 
Simpson; e (g) aplicação múltipla da regra de Simpson, com n = 5. Para cada estimativa 
numérica de (b) a (g), determine o erro relativo percentual com base em (a). 
21.2 Calcule a seguinte integral: 
∫ (1 − 𝑥 − 4𝑥3 + 2𝑥5)𝑑𝑥
4
−2
 
(a) Analiticamente; (b) por uma única aplicação da regra do trapézio; (c) por aplicações múltiplas 
da regra do trapézio, com n= 2 e 4; (d) uma única aplicação da regra 1/3 de Simpson; (e) regra 
3/8 de Simpson; Para cada estimativa numérica de (b) a (f), determine o erro relativo percentual 
com base em (a). 
21.4 Integre a seguinte função analiticamente e usando a regra do trapézio, com n = 1, 2, 3 e 4: 
 
Use a solução analítica para calcular os erros relativos percentuais verdadeiros para avaliar a 
precisão das aproximações por trapézios. 
21.5 Integre a seguinte função tanto analiticamente quanto usando as regras de Simpson com n = 
4 e 5. Discuta os resultados. 
 
O Teste I será realizado na semana de 06 a 10 de Abril. Preparação problemas de 21. 5 A 21.14 
da pagina 526, (Manual de Métodos Numéricos Para Engenharia; Chapra & Canale; 5ª Edição; 
2011) 
mailto:Chichango@gmail.com
FEARN Métodos Numéricos Derivação e Integração Numérica 
Chichango & Lampião 2020 Página 28 
 
Teste 1 
(em Breve)