APOSTILA GEOMETRIA ESPACIAL

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Dimensões do 
Conhecimento 
Espacial
2
Dimensões do 
Conhecimento 
Espacial
2
GRUPO B 
Autores: 
José Laurentino Vieira Ruivo 
141748 
Lucas Angelo Hernandes 
172558 
Otávio de Nadae 
156899 
Paulo César de Oliveira Rodrigues 
185451 
Diagramação: 
José Laurentino Vieira Ruivo 
Lucas Angelo Hernandes 
Conteúdo: 
Otávio de Nadae 
Paulo César de Oliveira Rodrigues 
Editor de Conteúdo: 
Lucas Angelo Hernandes 
Editores de Layout: 
José Laurentino Vieira Ruivo 
Lucas Angelo Hernandes
3
Apresentação
O presente livro faz parte da Coleção Dimensões do Conhecimento que contempla os 3 anos do Ensino Médio. A Coleção se
dispõe a apresentar cada capítulo de maneira clara e objetiva, buscando uma linguagem acessível a todos os envolvidos, isto é,
professores e estudantes.
A intenção é que os livros didáticos desta coleção sustentem e consolidem a exposição dos objetos matemáticos em sala de
aula, oferendo recursos flexíveis para atender diferentes tipos de ensino-aprendizagem presentes na aula de Matemática.
4
Manual do Livro
As interações que este livro proporciona são indicadas por ícones. Para entender o que cada ícone representa, consulte
este manual. As interações e seus respectivos ícones estarão presentes em todos os capítulos e ajudam na assimilação dos
conteúdos! Vamos conhecer cada um deles?
Objetivos
O início de cada capítulo conta com uma lista de seus
Objetivos. Espera-se que, ao fim dele, todos os objetivos
tenham sido alcançados pelos estudantes.
Observação
As Observações indicam uma informação adicional so-
bre o tema em questão.
Reflita
Reflita
A interação Reflita alerta para um exercício de reflexão
que será proposto, a fim de dar noções mais aprofun-
dadas dos objetos estudados.
5
Mentes Brilhantes
Mentes Brilhantes
Esta interação apresenta informações sobre grandes pen-
sadores e pensadoras que estão envolvidos nos assuntos
de cada capítulo.
Pesquisa
Pesquisa
Nesta interação, propõe-se que os alunos façam uma
pesquisa e obtenham informações que complementem o
que está sendo estudado.
Exemplos
Exemplos
Esta interação apresenta a solução de exercícios com
comentários que apontam como proceder passo a passo
e chegar na resolução desejada.
Exercícios
Exercícios
Esta interação propõe que os estudantes pratiquem o
que foi aprendido dos conteúdos através de diversos
exercícios.
Exercícios Complementares
Exercícios Complementares
Ao fim de cada capítulo, a interação de Exercícios Com-
plementares possui uma seleção de exercícios variados
que amarram toda a teoria vista nas páginas anteriores.
Ligação Interdisciplinar
Ligação Interdisciplinar
No fim de cada módulo, a Ligação Interdisciplinar esta-
belece conexões entre a Matemática e outras áreas do
conhecimento.
Fechamento de Módulo
Fechamento de Módulo
Após um módulo de capítulos relacionados, uma ativi-
dade abordará os temas estudados com um experimento
ou jogo para mobilizar os alunos a aplicarem o que foi
aprendido.
Níveis de dificuldade
Todos os exercícios deste livro estão classificados em três
níveis de dificuldade: fácil, médio e difícil. Eles são indica-
dos por ícones com uma, duas ou três marcações, respecti-
vamente.
Definições
Definições serão destacadas
por caixas como essa.
Resultados e Propriedades
Resultados importantes e propriedades serão
destacadas por caixas como essa.
Sumário
1 Poliedros, Prismas e Pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Poliedros 11
1.1 Poliedros convexos e não convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Relação de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Soma dos ângulos das faces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Poliedros de Platão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Poliedros Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Prismas 17
2.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Elementos de um prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Classificações de um prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Paralelepípedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Áreas de um prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Pirâmides 29
3.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Classificações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Áreas de uma Pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.6 Sólidos semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7 Tronco de Pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
REVISÃO E RESUMO 45
45
2 Cilindros, Cones e Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Cilindros 50
6.1 Cilindro Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2 Cilindro Reto e Oblíquo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3 Cilindro Equilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4 Área Lateral e Área Total do Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.5 Volume do Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Cones 57
7.1 Retos e Oblíquos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Secção Meridiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3 Cones Equiláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.4 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.5 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.6 Troncos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Esferas 68
8.1 Esfera de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.2 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.3 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.4 Fuso e Cunha Esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
REVISÃO E RESUMO 77
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Poliedros, Prismas 
e Pirâmides 
O mel sempre foi utilizado como 
alimento pelo homem, e inicialmente 
sua obtenção era feita a partir dos 
favos de mel encontrados nas 
colmeias. Esses favos de mel são 
formados por diversos alvéolos 
hexagonais, cujo formato auxilia no 
preenchimento do espaço otimizando 
o armazenamento do mel. 
Com o passar do tempo, o homem 
desenvolveu através da apicultura 
novas técnicas de manejo e 
armazenamento do mel produzido 
pelas abelhas. 
Essas técnicas contaram com a 
criação de equipamentos apropriados 
para o desenvolvimento de uma 
colônia de abelhas possibilitando a 
produção de mel. Entre esses
equipamentos, está o chamado quadro 
de ninho, como ilustrado abaixo:
1
Um apicultor coletou todo o mel de um quadro de 
ninho de comprimento 40cm, largura 20cm e 
espessura 2cm. Quantos ml de mel ele coletou? 
Considere que o alvéolo hexagonal dos favos de mel 
de uma colmeia tem o formato de um bloco 
hexagonal de altura 15 mm e cuja base é um 
hexágono regular de lados 2 mm. Quantos desses 
alvéolos seriam necessários para armazenar a 
mesma quantidade de mel armazenada pelo quadro 
de ninho? 
A resposta está neste capítulo. 
10
No nosso cotidiano, podemos observar figuras geométricas em diversos utensílios
ao nosso redor: na bola de vôlei, na caixa de chocolates, no cone de trânsito, nas latas
de alimentos, entre outros. A essas figuras damos o nome de sólidos geométricos. Esses
sólidos possuem três dimensões. A importância do estudo desses objetos é a presença
deles em todos os ambientes por onde passamos. Por isso, eles acabam se tornando
ferramentas muito importantes em diversas ciências aplicadas, como a Arquitetura
e a Engenharia e também em áreas como as Artes Visuais. Podemos dividir os sóli-
dos geométricos em três grupos: os poliedros, os corpos redondos e outros (que não
se encaixam nos dois primeiros grupos). Vamos estudar os poliedros e os corpos re-
dondos, pois conseguimos classificá-los e determinar suas principais características e
propriedades.
Objetivos
. Identificar poliedros, prismas, pirâmides, troncos de pirâmides e seus elemen-
tos.
. Reconhecer propriedades dos poliedros e relacionar seus elementos.
. Calcular medidas de comprimento de elementos de poliedros, suas áreas e seu
volume.
Poliedros 11
Poliedros
Os poliedros são sólidos geométricos limitados por superfícies planas, que são
polígonos. Em um poliedro, temos os seguintes elementos: face, aresta e vértice.
As superfícies poligonais que limitam um poliedro são as faces. O encontro de duas
faces é sempre um segmento de reta, que chamamos de aresta. Os vértices são os pontos de
encontro de três ou mais arestas.
1.1 Poliedros convexos e não convexos
Um poliedro é dito convexo quando todo plano que contém uma de suas faces
deixa todas as outras faces em um mesmo semiespaço. Caso isso não ocorra,
o poliedro em questão é dito não convexo.
Poliedros convexos Poliedros não convexos
Reflita
O que é semi-
espaço?
1.2 Relação de Euler
Veja a tabela a seguir, onde temos alguns poliedros, a quantidade de cada um de seus
elementos e o valor de uma relação entre os elementos.
12
Poliedro Vértices (V) Arestas (A) Faces (F) V - A + F
8 6 12 2
6 6 10 2
6 5 9 2
Podemos observar que em todos os poliedros da tabela ocorre a igualdade V −A+F = 2.
O matemático Leonhard Euler (1707-1783) observou essa igualdade e foi o primeiro a
verificar que ela é válida para todos os poliedros convexos. Assim, essa relação entre os
elementos de um poliedro convexo ficou conhecida como relação de Euler. Os poliedros que
satisfazem essa relação são chamados poliedros eulerianos.
A relação de Euler, válida para todo poliedro convexo, relaciona o número de
vértices, arestas e faces do poliedro: V −A+F = 2.
Observe ao lado que, apesar de todos os poliedros convexos serem eulerianos, existem
poliedros não convexos que também satisfazem a relação de Euler.
Observação
Observe o poliedro
abaixo:
Contando a
quantidade de seus
elementos, vemos
que ele possui 24
vértices (V = 24),
14 faces (F = 14) e
36 arestas (A = 36).
Assim:
V − A + F =
24−36+14 = 2
Exemplo
Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadran-
gulares. Calcule o número de arestas e de vértices do poliedro.
Solução
Número de arestas: nas seis faces triangulares temos 6 ·3 arestas e nas cinco faces
quadrangulares temos 5 ·4 arestas.
Como cada aresta é comum a duas faces, contamos cada aresta duas vezes. Assim:
2A = 6 ·3+5 ·4→ 2A = 38→ A = 19.
Número de vértices: como o poliedro em questão é convexo, ele satisfaz a relação de
Euler.
V −A+F = 2 =⇒ V −19+11 = 2 =⇒ V = 10.
Poliedros 13
Exercícios
1. Dados os poliedros representados abaixo:
(a) classifique-os em convexo ou não convexo;
(b) determine o número de vértices, de arestas e
de faces em cada um deles;
(c) diga quais são eulerianos.
2. Calcule o número de faces de um poliedro con-
vexo que possui 16 vértices e que em cada vértice
concorrem 3 arestas.
3. O “cubo-octaedro” possui seis faces quadradas
e oito triangulares. Determine o número de
faces, arestas e vértices desse sólido euleriano.
4. (U.F.Pelotas-RS-Adaptado) No país do México,
há mais de mil anos, o povo Asteca resolveu o prob-
lema da armazenagem da pós-colheita de grãos com
um tipo de silo em forma de uma bola colocado
sobre uma base circular de alvenaria. A forma desse
silo é obtida juntando 20 placas hexagonais e mais
12 placas pentagonais. Com base no texto, é correto
afirmar que esse silo tem:
(a) 90 arestas e 60 vértices.
(b) 86 arestas e 56 vértices.
(c) 90 arestas e 56 vértices.
(d) 86 arestas e 60 vértices.
(e) 10 arestas e 60 vértices.
5. (Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas
explorações, um cristal de rocha no formato de um
poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces
triangulares. O número de vértices desse crital é
igual a:
(a) 35.
(b) 34.
(c) 33.
(d) 32.
(e) 31.
14
1.3 Soma dos ângulos das faces
Em um poliedro convexo, a soma dos ângulos de suas faces é
S = (V −2) ·360◦, onde V é o número de vértices do poliedro.
Reflita
Demonstre a pro-
priedade do valor
da soma dos ângu-
los das faces de um
poliedro. Utilize a
relação de Euler e o
fato de que a soma
dos ângulos de um
polígono de n lados
é (n−2) ·180◦.
1.4 Poliedros de Platão
Um poliedro convexo é um poliedro de Platão quando:
todas as faces têm um mesmo número N de arestas;
em todo vértice concorre um mesmo número M de arestas;
a relação de Euler é válida.
Foi demonstrado por Platão que existem exatamente cinco classes de poliedros de Platão,
apresentadas na seguinte tabela:
M N A V F Poliedro
3 3 6 4 4 Tetraedro
3 4 12 8 6 Hexaedro
4 3 12 6 8 Octaedro
3 5 30 20 12 Dodecaedro
5 3 30 12 20 Icosaedro
Mentes Brilhantes
Grande filósofo e matemático da
Grécia Antiga, Platão foi o primeiro matemático a
demonstrar que existem apenas cinco poliedros regulares. Platão escreveu sobre eles
no diálogo “Timeu”, em que ele associou cada um dos quatro elementos com um dos
poliedros regulares. O elemento terra seria o cubo, o elemento fogo seria o tetraedro,
o elemento ar seria o octaedro e o elemento água seria icosaedro. O último poliedro
regular, o dodecaedro, representaria todo o Universo.
1.5 Poliedros Regulares
Um poliedro convexo é regular caso satisfaça as seguintes condições:
todas as faces são polígonos regulares e congruentes entre si;
em todo vértice concorre um mesmo número de arestas.
Comparando essas condições às condições estabelecidas anteriormente para os poliedros
de Platão, podemos observar que todos os poliedros regulares também são poliedros de
Poliedros 15
Platão. Logo, existem exatamente cinco poliedros regulares:
Reflita
O que são polígonos
regulares?
16
Exercícios
1. Calcule em graus a soma dos ângulos das faces
de um:
(a) tetraedro;
(b) hexaedro;
(c) octaedro;
(d) dodecaedro;
(e) icosaedro.
2. (PUC-PR) Um poliedro convexo é formado por
faces quadrangulares e 4 faces triangulares. A soma
dos ângulos de todas as faces é igual a 12 ângulos
retos. Qual o número de arestas desse poliedro?
(a) 8
(b) 6
(c) 4
(d) 2
(e) 1
3. Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces
triangulares e heptagonais. Quantas tem de cada
espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos?
4. Da superfície de um poliedro regular de faces
pentagonais tiram-se as três faces adjacentes a um
vértice comum. Calcule o número de arestas, faces
e vértices da superfície poliédrica que resta.
Prismas 17
Prismas
Os prismas são uma categoria específica de poliedros. Suas formas também estão
presentes em diversos objetos do nosso dia a dia. Observe alguns exemplos de prismas:
Vemos que todos eles possuem um par de faces congruentes e paralelas, e as outras faces
são paralelogramos ligando esse par.
2.1 Definição
Consideramos dois planos paralelos e distintos α e β , uma região poligonal P contida
em α e uma reta r interceptando os dois planos.
Chamamos de prisma a região formada por todos os segmentos de reta
paralelos a r que possuem como uma das extremidades um ponto da região P
e como outra extremidade um ponto do plano β .
2.2 Elementos de um prisma
No prisma representado abaixo, temos que:
18
– as bases do prisma são os polígonos ABCDE e A′B′C′D′E ′, que são polígonos congru-
entes e estão situados nos planos paralelos α e β (chamados planos das bases);
– as arestas das bases são os segmentos AB, BC, CD, DE, EA, A′B′, B′C′, C′D′, D′E ′ e
E ′A′;
– as arestas laterais são os segmentos AA′, BB′, CC′, DD′ e EE ′;
– as faces laterais são os paralelogramos AA′B′B, BB′C′C, CC′D′D, DD′E ′E e EE ′A′A;
– a altura do prisma é a distância entre os planos das bases;
– as diagonais do prisma são todos os segmentos cujas extremidades são vértices que
não pertencem a uma única face do prisma (AC′ e AD′ são diagonais do prisma, mas
AB′ e AE ′ não são);
– seção transversal é qualquer interseção não vazia entre o prisma e um plano paralelo
às bases.
Reflita
Quantas diagonais
possui um prisma
cuja base é um polí-
gono convexo de n
lados?
2.3 Classificações de um prisma
Classificamos os prismas de acordo com o número de lados dos polígonos das bases.
Assim, os prismas podem ser:
– triangulares, se suas bases forem triângulos;
– quadrangulares, se suas bases forem quadriláteros;
– pentagonais, se suas bases forem pentágonos;
– hexagonais, se suas bases forem hexágonos;
– e assim por diante.
Prisma Reto e Oblíquo
Considerando a construção feita na definição de um prisma, podemos separar os prismas
em dois casos levando em conta a inclinação da reta r.
Prismas 19
Se a reta r for perpendicular aos planos α e β , dizemos que o prisma é reto.
Caso contrário, o prisma é dito oblíquo.
Em um prisma reto, as faces laterais são retângulos e perpendiculares ao plano da base.
Em um prisma oblíquo, as faces laterais são paralelogramos.
Prisma Regular
Um caso particular de prisma reto é o prisma regular, cujas bases são polígonos
regulares (como triângulos equiláteros, quadrados, pentágonos regulares, etc) e
cujas faces laterais são retângulos congruentes.
Alguns exemplos de prismas e suas classificações abaixo:
Exemplo
Prove que a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma de n faces
laterais vale S = (n−1) ·720◦.
1a solução
Se o prisma tem n faces laterais, suas bases são polígonos convexos de n lados e a
soma dos ângulos internos de cada uma delas é dada por (n− 2) · 180◦. Cada face
lateral é um paralelogramo e, sendo assim, a soma dos ângulos internos de cada uma
delas é 360◦.
Como o prisma possui 2 bases e n faces laterais, temos:
S = 2 · (n−2) ·180◦+n ·360◦ = n ·360◦−720◦+n ·360◦ = n ·720◦−720◦
S = (n−1) ·720◦
2a solução
Um prisma de n faces laterais possui como bases polígonos de n lados, logo é possível
ver que ele possui 2n vértices. Lembrando que a soma dos ângulos internos das faces
de um poliedro convexo é dada por S = (V −2) ·360◦, temos:
S = (2n−2) ·360◦ = (n−1) ·720◦
20
2.4 Paralelepípedo
Um caso particular de prisma quadrangular muito recorrente e importante no estudo de
primas é o paralelepípedo, que possui paralelogramos como bases. Dessa forma, as seis
faces de um paralelepípedo são paralelogramos.
Quando um prisma quadrangular reto possui retângulos nas bases, ele é chamado
de paralelepípedo reto retângulo, e então suas seis faces são retângulos.
E ainda temos o cubo, que é um paralelepípedo reto retângulo com quadrados em
todas as faces.
Em um paralelepípedo reto retângulo, consideremos suas bases os retângulos com
medidas a e b e sua altura c. Dizemos então que esse paralelepípedo possui dimensões a, b e
c, pois poderíamos tomar os retângulos de medidas b e c ou ainda os retângulos de medidas
a e c como bases desse paralelepípedo.
Reflita
Lembrando-se da
diagonal de um
prisma, determine
o comprimento
da diagonal de
um paralelepípedo
reto retângulo em
função de suas
dimensões a, b e c.
Prismas 21
Exercícios
1. Classifique, em cada caso, o prisma que tem:
(a) 7 faces laterais;
(b) um total de 18 arestas;
(c) 6 vértices;
(d) arestas formando somente ângulos retos, num
total de 24;
(e) arestas formando 20 ângulos retos.
2. Calcule a soma dos ângulos internos de todas as
faces de um prisma que possui 40 diagonais.
3. Em quanto diminui a aresta de um cubo quando
sua diagonal diminui em 3
√
3cm?
4. (U.F.ES-82) Uma formiga mora na superfície de
um cubo de aresta a. O menor caminho que ela deve
seguir para ir de um vértice ao vértice oposto tem
comprimento:
(a) a
√
2
(b) a
√
3
(c) 3a
(d) (1+
√
2)a
(e) a
√
5
5. (IBMEC-RJ-2002) Em um cubo, de aresta 2, a
distância entre o centro de uma face e um vértice da
face oposta é:
(a) 2
√
2
(b) 3
√
2
(c) 2
√
3
(d) 3
√
3
(e)
√
6
22
2.5 Áreas de um prisma
Área da base (Ab)
A área da base de um prisma é a área da região poligonal que constitui a base do prisma.
Área lateral (Al)
A superfície lateral de um prisma é constituída de todas as faces laterais do prisma.
Assim, a soma das áreas das faces laterais do prisma é chamada área lateral do prisma.
Área total (At)
A superfície total de um prisma é toda sua superfície lateral mais a superfície das bases.
A área dessa superfície é chamada de área total do prisma e é calculada por:
At = 2 ·Ab +Al
No caso de um paralelepípedo reto retângulo, como podemos considerar qualquer par de
faces congruentes como base, não falamos em área lateral nem área da base. Dessa forma,
considerando um paralelepípedo de dimensões a, b e c, sua área total é dada por:
At = 2(ab+bc+ab)
O mesmo pode ser considerado para o caso de um cubo de aresta a, cuja área total é dada
por At = 6a2.
Exemplo
Determinar a área da base, a área lateral e a área total de um prisma regular de altura
5cm e base hexagonal de lado
8cm.
Solução
A base é um hexágono regular de lado l = 8cm. Assim, a área da base é Ab =
6 · l
2
√
3
4
= 6 · 8
2
√
3
4
, ou seja, Ab = 96
√
3cm2.
A superfície lateral é constituída de seis retângulos de dimensões 8cm e 5cm. Assim,
Al = 6 ·8 ·5, ou seja, Al = 240cm2.
Logo, a área total do prisma é:
At = 2 ·Ab +Al = 2 ·96
√
3+240 = (192
√
3+240)cm2
Prismas 23
Exercícios
1. Deseja-se revestir um paralelepípedo retângulo
com papel. As arestas de sua base medem 5cm e
4cm e a sua diagonal, 3
√
10cm.
a) Determine a menor área do papel a ser utilizado.
b) Pode-se fazer esse revestimento com uma folha
de papel tamanho A6 (10,5cm×14,84cm)?
2. A medida da diagonal do cubo C1 é o dobro da
do cubo C2. Determine a razão entre as áreas totais
de C1 e C2 nessa ordem.
3. A base de uma caixa, em forma de um prisma
reto, é um trapézio isósceles cujas bases medem
4dm e 12dm e sua altura, 3dm. Se foram utilizados
178dm2 de cartolina para revestir totalmente a caixa,
determine a medida de sua altura.
4. (UF-PB) Foram feitas embalagens de presente
em forma de prisma regular de altura H = 6
√
3cm
e base triangular de lado L = 8cm, conforme ilustra
a figura abaixo.
(a) R$8,16
(b) R$12,30
(c) R$13,60
(d) R$15,20
(e) R$17,30
Sabendo que as embalagens não têm tampa e que o
custo para a sua produção, por cm2, é de R$0,05, en-
tão, considerando a aproximação
√
3≈ 1,7, o custo
total de fabricação de cada unidade é:
5. (FGV-2008) A soma das medidas das 12 arestas
de um paralelepípedo reto retângulo é igual a 140cm.
Se a distância máxima entre dois vértices do par-
alelepípedo é 21cm, sua área total, em cm2, é:
(a) 776
(b) 784
(c) 798
(d) 800
(e) 812
6. Para fazer uma caixa sem tampa com um único
pedaço de papelão, utilizou-se um retângulo de
16cm de largura por 30cm de comprimento. De
cada um dos quatro cantos desse retângulo foram re-
tirados quadrados de área idêntica e, depois, foram
dobradas para cima as abas resultantes. Determine a
medida do lado do maior quadrado a ser cortado do
pedaço de papelão, para que a caixa formada tenha
área lateral de 204cm2.
7. Um prisma triangular regular tem aresta da
base medindo 10dm. Em quanto se deve aumentar
a altura, conservando-se a mesma base, para que a
área lateral do novo prisma seja igual à área total do
prisma dado?
8. (UERJ-2004) Dois primas regulares retos P1
e P2, o primeiro de base triangular e o outro de base
hexagonal, têm a mesma área da base e a mesma
área lateral. A razão entre o volume de P1 e o de P2
equivale a:
(a)
√
2
3
(b)
√
6
3
(c)
√
3
2
(d) 1
24
2.6 Volume
Para podermos calcular o volume de um sólido geométrico, como ocorre com todas as
medições, devemos ter uma unidade de referência com a qual podemos fazer comparações.
Dessa forma, tomamos um cubo unitário, de medida unitária (aresta de comprimento
1u), cujo volume também é unitário (seu volume é 1u3).
Agora, podemos tomar um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 5u, 3u e 4u, como
abaixo:
Podemos decompor cada dimensão desse paralelepípedo em medidas unitárias obtendo
assim 5 unidades em uma dimensão, 2 unidades em outra dimensão e 3 unidades na última
dimensão. Dessa forma, conseguimos decompor o paralelepípedo em 5 ·2 ·3 = 30 cubos
unitários, todos com volume 1u3. Logo o volume desse paralelepípedo é o mesmo volume
dos 30 cubos, que é 30u3.
Em geral, o volume de um parelelepípedo reto retângulo de dimensões a, b e c é dado
pelo produto de suas dimensões:
V = a ·b · c
Se considerarmos o lado de medidas a e b como base desse paralelepípedo, teríamos que
a área da base é Ab = a ·b, enquanto a dimensão c seria a altura desse paralelepípedo. Dessa
forma, o volume de um paralelepípedo reto retângulo também é dado pelo produto da área
da base pela altura.
Do mesmo modo, o volume de um cubo de aresta a é dado por V = a3
O princípio de Cavalieri e o volume de um prisma qualquer
Para explicar o cálculo do volume de um prisma qualquer, utilizamos um princípio
denominado o princípio de Cavalieri.
Como introdução intuitiva, vamos tomar dois blocos de papel, com mesmo número de
folhas, todas idênticas. Observe que o espaço ocupado pelos dois (que nada mais é do que o
volume de cada um deles) é o mesmo, afinal ambos são formados pela mesma coleção de
folhas.
Prismas 25
Agora, deixaremos um dos blocos imóvel enquanto no outro deslizaremos as folhas umas
sobre as outras, podendo obter formas como na figura abaixo:
Observe que, independente do formato dos blocos, os volumes deles se mantiveram
iguais, pois o volume do bloco que foi deformado continua sendo o volume total das folhas.
Considerando cada um dos blocos como um sólido geométrico, é possível ver que
qualquer plano que corte os blocos paralelo ao plano onde eles estão apoiados formará seções
transversais idênticas (que serão retângulos, ou seja, as folhas dos blocos). Como todas as
folhas são idênticas, as duas seções serão congruentes e equivalentes, isto é, de mesma área.
Seguindo essa intuição e expandindo a ideia para outros sólidos, Cavalieri enunciou o
seguinte postulado, que ficou conhecido como princípio de Cavalieri:
Sejam dois sólidos S1 e S2. Se todos os planos numa certa direção, ao interceptarem
S1 e S2, determinam seções de áreas iguais, então S1 e S2 têm mesmo volume.
A1 = A2 =⇒ V1 =V2
Tendo esse princípio em mãos, agora conseguimos determinar o volume de um prisma
qualquer. Sejam h a altura e Ab a área da base de um prisma. E seja um paralelepípedo reto
retângulo de mesma altura h e mesma área da base Ab.
Nessas condições, para os dois primas, todas as seções transversais paralelas ao plano
da base possuem área igual à área da base Ab dos primas. Pelo princípio de Cavalieri, isso
significa que os dois sólidos possuem volumes iguais.
Sabendo que o volume de um paralelepípedo reto retângulo é dado pelo produto da área
26
da base pela altura, o mesmo ocorre com o prisma:
Vprisma = Ab ·h
Mentes Brilhantes
O italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647), discípulo de Galileu Galilei, publicou
em 1635 sua teoria dos indivisíveis, que hoje é conhecida como “princípio de Cava-
lieri”. Essa teoria buscava calcular áreas de figuras planas e volume de figuras sólidas,
dizendo que uma figura plana seria formada por uma infinidade de cordas paralelas
entre si e uma figura sólida por uma infinidade de seções planas paralelas entre si.
Embora funcionasse, sua teoria foi recebida com muitas críticas em sua época
dizendo que ela não possuía rigor matemático adequado. Apesar disso, seu princípio
foi um dos pilares para o desenvolvimento do que é conhecido hoje como cálculo
integral, pois ajudou a definir a noção de integral.
Exemplo
Retomando as questões do início do capítulo:
Solução
O quadro de ninho, por ter formato
de um paralelepípedo reto retângulo,
tem uma capacidade de: 40 · 20 · 2 =
1600cm3. Como 1cm3 = 1ml, o apicul-
tor coletou 1600ml.
Cada alvéolo do favo de mel tem o for-
mato de um prisma hexagonal regular.
Precisamos calcular a área de sua base
para então calcular seu volume:
Ab = 6 ·
22
√
3
4
= 6
√
3mm2
V = Ab · h = 6
√
3 · 15 = 90
√
3mm3 ≈
155,88mm3.
1600cm3
155,88mm3
=
1600 ·103mm3
155,88mm3
≈ 10264
Assim, seriam necessários aproximada-
mente 10264 alvéolos desse tipo para
armazenar a mesma quantidade de mel
armazenada pelo quadro de ninho.
Prismas 27
28
Exercícios
1. Determine o volume de cada um dos prismas
abaixo.
a) Cubo cuja aresta mede 3cm.
b) Paralelepípedo reto retângulo de dimensões 6cm,
8cm e 10cm.
c) Cubo cuja área da base é 100dm2.
d) Prisma hexagonal regular com 10m de altura e
aresta da base medindo 1m.
e) Prisma triangular regular com 4cm de altura e
perímetro da base igual a 21cm.
2. Um pequeno vaso tem a forma de um prisma
triangular regular. Sabe-se que todas as suas arestas
têm a mesma medida e sua área lateral é 192cm2.
Determine seu volume.
3. Um prisma reto tem por base um losango em
que uma de suas diagonais mede 3/4 da outra, e
a soma de ambas é 14cm. Calcule a área total e o
volume desse prisma, sabendo que sua altura é igual
ao semiperímetro da base.
4. (Unifesp-SP) Um cubo de aresta de compri-
mento a vai ser transformado num paralelepípedo
reto retângulo de altura 25% menor, preservando-se,
porém, o seu volume e o comprimento de uma de
suas arestas.
A diferença entre a área total (a soma das áreas das
seis faces) do novo sólido e a área total do sólido
original será:
(a)
1
6
a2
(b)
1
3
a2
(c)
1
2
a2
(d)
2
3
a2
(e)
5
6
a2
5. (U.E. Londrina-PR) Um arquiteto fez um projeto
para construir colunas de concreto que vão sustentar
um viaduto. Cálculos mostram que 10 colunas, com
a forma de um prisma triangular regular de aresta de
1 metro por 10 metros de altura, são suficientes para
sustentar o viaduto. Se 1 metro cúbico de concreto
custa R$200,00, qual será o custo total das colunas?
(a) R$1.000,00
(b) R$5.000,00
(c) aproximadamente R$4.320,00
(d) aproximadamente R$8.650,00
(e) aproximadamente R$17.300,00
6. (PUC-SP-2005) Para obter a peça esboçada
na figura ao lado, um artesão deve recortar 8
cubos iguais, a partir dos vértices de um bloco
maciço de madeira que tem as seguintes dimensões:
25cm× 18cm× 18cm. Se ele pretende que o peso
da peça obtida seja 6,603kg e sabendo que a densi-
dade da madeira é 0,93g/cm3, a aresta de cada cubo
recortado deverá medir, em centímetros:
(a) 6,5
(b) 6
(c) 5,5
(d) 5
(e) 4,5
7. Uma caixa-d’água tem a forma de um prisma
hexagonal regular. Sua altura mede 15
√
3dm e sua
área lateral é o triplo da área da base. Determina sua
capacidade, em litros.
Pirâmides 29
Pirâmides
As pirâmides constituem uma outra classe de poliedros. Apesar de seu formato não estar
tão presente em objetos do nosso dia-a-dia, ele é encontrado em diversas construções da
Antiguidade. Por isso, as pirâmides sempre intrigaram o homem e atualmente são um objeto
geométrico utilizado amplamente no universo artístico.
3.1 Definição
Consideramos uma região poligonal P situada em um plano α e consideramos um ponto
V situado fora desse plano.
Chamamos de pirâmide a região formada por todos os segmentos de reta que
possuem como uma extremidade um ponto da região P e como outra extremidade
o ponto V .
3.2 Elementos
Na pirâmide representada abaixo, temos que:
– a base da pirâmide é o polígono ABCDE, que está situado em um plano que chamamos
plano da base;
– o vértice da pirâmide é o ponto V ;
– as arestas da base são os segmentos AB, BC, CD, DE e EA;
– as arestas laterais são os segmentos AV , BV , CV , DV e EV ;
– as faces laterais são os triângulos ABV , BCV , CDV , DEV e EAV ;
– a altura da pirâmide é a distância entre o ponto V e o plano da base.
3.3 Classificações
Classificamos as pirâmides de acordo com o número de lados do polígono de sua base.
Assim, uma pirâmide pode ser:
30
– triangular, se sua base for um triângulo;
– quadrangular, se sua base for um quadrilátero;
– pentagonal, se sua base for um pentágono;
– assim por diante.
Pirâmide regular
Chamamos de pirâmide regular uma pirâmide cuja base é um polígono
regular e cuja projeção ortogonal O do vértice V sobre o plano da base é o
centro desse polígono.
Em uma pirâmide regular, as arestas laterais são congruentes entre si e portanto todas as
faces laterais são triângulos isósceles congruentes. Podemos também destacar dois elementos
importantes em uma pirâmide regular: o apótema da pirâmide e o apótema da base.
O apótema de uma pirâmide (indicado por g) é a altura de uma face lateral relativa à
aresta da base. Enquanto o apótema da base (indicado por m é a distância do centro do
polígono da base a um de seus lados.
Podemos observar uma relação entre a altura da pirâmide (h), o apótema da pirâmide (g)
e o apótema da base (m):
g2 = h2 +m2
Pirâmides 31
3.4 Áreas de uma Pirâmide
Área da base (Ab)
A área da base de uma pirâmide (Ab) é a área do polígono de sua base.
Área lateral (Ab)
A superfície lateral de uma pirâmide é constituída de todas as suas faces laterais. A área
dessa superfície é chamada área lateral da pirâmide.
Al = soma das áreas de todas as faces laterais
Área total (At)
A superfície total de uma pirâmide é constituída tanto da superfície da sua base quanto
da superfície lateral. Assim, a área total é a soma da área da base com a área lateral.
At = Ab +Al
32
Pirâmides 33
Exercícios
1. Determine, em cada item, o número de faces
laterais, arestas e vértices de uma pirâmide:
a) hexagonal.
b) octogonal.
c) cuja base tem n lados.
2. Classifique, em cada caso, o polígono da base de
uma pirâmide que tem:
a) 5 faces laterais.
b) um total de 20 arestas.
c) 10 vértices.
d) a soma das medidas dos ângulos das faces lat-
erais é 1080◦
e) a soma das medidas dos ângulos das faces late-
rias com os da base a 2520◦.
3. A soma das medidas de todas as arestas de uma
pirâmide triangular regular é igual a 72
√
3cm. Se
seu apótema mede 17cm e as arestas da base me-
dem o dobro das arestas laterais, quanto mede a sua
altura?
4. Calcule a medida do raio da base, a altura e a
medida do apótema de uma pirâmide quadrangular
regular cuja aresta da base mede 8cm e aresta lateral
mede
√
41cm.
5. Calcule a área total da superfície de uma
pirâmide triangular regular cuja aresta lateral mede
82mm e a aresta da base mede 36mm.
6. Em uma pirâmide quadrangular regular, as me-
didas em centímetros da aresta da base, da altura e
do apótema formam, nessa ordem, uma progressão
aritmética de razão 1. Determine sua área lateral.
7. A base de uma pirâmide coincide com uma face
de um cubo de aresta 10cm e o vértice principal
desta pirâmide é um dos vértices da face do cubo,
oposta à base da pirâmide. Calcule a área lateral
desta pirâmide.
8. Uma indústria irá fabricar uma peça no formato
de uma pirâmide de base triangular com as medidas
indicadas na figura. Sabendo que serão fabricadas
500 peças, determine a área total da lamina de aço
que será gasto na produção dessas peças.
9. (Vunesp) O prefeito de uma cidade pretende colo-
car em frente à prefeitura um mastro com uma ban-
deira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base
quadrada feita de concreto maciço, como mostra a
figura.
Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3m
e que a altura da pirâmide será de 4m, quanto é área
superficial (em m2) após construído da pirâmide?
34
3.5 Volume
Para calcularmos o volume de uma pirâmide, devemos conhecer inicialmente algumas
propriedades dos tetraedros.
Dado um tetraedro e uma seção transversal paralela à sua base, temos que:
– as arestas laterais e a altura ficam divididas na mesma razão;
– a seção e a base são triângulos semelhantes;
– a razão entre as áreas da seção e da base é igual ao quadrado da razão de suas distâncias
ao vértice.
Dadas duas pirâmides triangulares (tetraedros) de bases de áreas
iguais e alturas congruentes, seus volumes são iguais.
Reflita
Tente demonstrar as
propriedades relati-
vas à seção par-
alela de um tetrae-
dro. Depois, uti-
lizando essas pro-
priedades, demon-
stre a propriedade
da equivalência dos
tetraedos. Lembre-
se da semelhança de
triângulos e propor-
cionalidade.
Volume do tetraedro
Considere um prisma triangular ABCDEF.
Podemos cortar esse prisma com um plano contendo os pontos A, C e E, obtendo assim
o tetraedro T1 = E(ABC) e a pirâmide quadrangular E(ACFD).
Agora, cortaremos a pirâmide quadrangular com um plano contendo os pontos C, D e E,
obtendo o tetraedro T2 =C(DEF)[ou T2 = E(CDF)] e o tetraedro T3 = E(ACD).
Assim, temos que o prisma triangular ABCDEF foi decomposto em três tetraedros (T1,
T2 e T3), ou seja, Vprisma =VT1 +VT2 +VT3 .
Observe que os tetraedros T1 = E(ABC) e T2 =C(DEF) possuem bases congruentes (os
triângulos ABC e DEF) e mesma altura (que é a altura do prisma). Então, pela propriedade
vista anteriormente, sabemos que seus volumes são iguais (VT1 =VT2).
Pirâmides 35
Agora, olhando para os tetraedros T2 = E(CDF) e T3 = E(ACD), vemos que
suas bases
(CDF e ACD) são congruentes, pois CD é a diagonal do paralelogramo ACFD, e que os dois
possuem mesma altura (distância do vértice E ao plano ACFD). Logo, seus volumes são
iguais (VT2=VT3).
Podemos concluir que os três tetraedros possuem mesmo volume:
VT1 =VT2 =VT3
Considere que o prisma que foi decomposto tenha área da base Ab e e altura h. Podemos
observar que o tetraedro T1 também possui área da base Ab e altura h.
Assim, tendo em vista o resultado que encontramos, temos:
Vprisma =VT1 +VT2 +VT3 =⇒ 3VT = Ab ·h =⇒
VT =
1
3
Ab ·h
Volume de uma pirâmide qualquer
Consideremos uma pirâmide qualquer, cuja base é um polígono de n lados, com área da
base igual a Ab e altura h. Podemos decompor essa pirâmide em (n−2) tetraedros (basta
dividir a base em n−2 triângulos).
Assim, o volume da pirâmide é igual à soma do volume desses (n−2) tetraedros.
V =VT1 +VT2 + . . .+VTn−2 =⇒ V =
1
3
Ab1 ·h+
1
3
Ab2 ·h+ . . .+
1
3
Abn−2 ·h =⇒
=⇒ V = 1
3
(Ab1 +Ab2 + . . .+Abn−2) ·h =⇒ V =
1
3
Ab ·h
O volume de uma pirâmide é um terço do produto da área da base
pela medida da altura: V =
1
3
Ab ·h.
Tetraedro Regular
O tetraedro regular é uma pirâmide triangular regular em que as quatro faces são congru-
entes. Um tetraedro regular possui as seis arestas.
Note que, no tetraedro regular ABCD abaixo, que as quatro faces ABC, ABD, ACD e
BCD do tetraedro são triângulos equiláteros e qualquer uma das faces pode ser considerada a
36
base do tetraedro regular.
Pesquisa
Considerando um
tetraedro regular
com arestas de
medida a, calcule
sua área total, altura
e volume em função
de a.
Pirâmides 37
Exercícios
1. Determine o volume de uma pirâmide regu-
lar com 9m de altura e cuja base quadrada tem
perímetro 8m.
2. Uma pirâmide tem por base um triângulo equi-
látero de lado 6m. Uma de suas faces laterais é per-
pendicular à base. Essa face é um triângulo isósceles
não retângulo, cujos lados congruentes medem 5cm.
Determine o volume da pirâmide.
3. Uma pirâmide regular hexagonal tem aresta lat-
eral de medida 4
√
2dm. Se o perímetro da base tem
24dm, qual é seu volume?
4. Determine a área total e o volume do tetraedro
regular em que a altura de uma face é 2
√
3cm.
5. Um colecionador comprou um objeto com a
forma de uma pirâmide. Ela é triangular regular,
sua altura mede 15cm e seu apótema, 25cm. Deter-
mine seu volume.
6. A base de um prisma é um quadrado de lado
de medida 2m, e a base de uma pirâmide é um
quadrado de lado de medida 1m. Se o prisma e
a pirâmide têm mesmo volume, qual é a razão entre
suas alturas?
7. (U.F. São Carlos - SP) As bases ABCD e ADGF
das pirâmides ABCDE e ADGFE são retângulos e
estão em planos perpendiculares. Sabe-se também
que ABCDE é uma pirâmide regular de altura 3cm
e apótema lateral 5cm, e que ADE é face lateral
comum às duas pirâmides.
Se a aresta AF é 5% maior que a aresta AD, então o
volume da pirâmide ADGFE, em cm3, é:
a) 67,2
b) 80
c) 89,6
d) 92,8
e) 96
8. (UEL-PR) As maiores pirâmides egípcias são
conhecidas pelo nome de “Pirâmides de Gizé” e es-
tão situadas nas margens do Nilo. A maior e mais
antiga é a de Quéops que tem a forma aproximada
de uma pirâmide de base quadrada com 230 met-
ros de lado e cujas faces laterais se aproximam de
triângulos equiláteros. Com essas informações, de-
termine:
a) Qual é a medida de cada aresta da pirâmide de
Queóps?
b) Qual é a altura de cada face da pirâmide de
Queóps?
c) Qual é a altura da pirâmide de Queóps?
d) Qual é o volume da pirâmide de Queóps?
38
3.6 Sólidos semelhantes
• 1a situação: Observe os cubos abaixo.
A razão entre a medida das arestas do cubo menor e a medida das arestas do cubo
maior é de
2
3
.
A razão entre a medida da diagonal da face do cubo menor e a medida da diagonal da
face do cubo maior é:
DB
D′B′
=
2
√
2cm
3
√
2cm
=
2
3
A razão entre a medida da diagonal do cubo menor e a medida da diagonal do cubo
maior é:
HB
H ′B′
=
2
√
3cm
3
√
3cm
=
2
3
• 2a situação:
Observe os dois cilindros abaixo.
Como fizemos na 1a situação, vamos calcular a razão entre as medidas de um segmento
do cilindro da esquerda e o segmento correspondente no cilindro da direita:
BC
B′C′
=
20cm
10cm
= 2;
OB
O′B′
=
4cm
2cm
= 2;
AB
A′B′
=
8cm
4cm
= 2.
• 3a situação
Pirâmides 39
Observe os dois paralelepípedos abaixo, ambos são reto retângulos:
Novamente, vamos calcular a razão entre uma dimensão do paralelepípedo de cima e
a dimensão correspondente do paralelepípedo de baixo:
AB
A′B′
=
15cm
10cm
=
3
2
;
BC
B′C′
=
3cm
1,2cm
=
5
2
;
CG
C′G′
=
2cm
1cm
= 2.
Dizemos que dois sólidos são semelhantes quando a razão entre
a medida de um segmento qualquer do primeiro sólido e a do segmento
correspondente (ou segmento homólogo) do segundo sólido é constante.
Observe que na 1a e na 2a situação os sólidos representados são semelhantes, mas os
dois sólidos da 3a situação não são semelhantes.
Pirâmides semelhantes
Ao secionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, ela fica dividida em dois sólidos:
Uma nova pirâmide, posicionada acima do plano que secionou a pirâmide original, e um
tronco de pirâmide (que estudaremos mais adiante), entre o plano da base e o plano secante.
Vamos comparar a nova pirâmide e a pirâmide original.
Note que:
• os polígonos das bases têm o mesmo número de lados;
• os ângulos de duas faces homólogas são dois a dois congruentes;
40
• os elementos lineares homólogos são proporcionais.
Assim, vemos que as duas pirâmides são semelhantes.
Vamos agora estudar a relação entre a razão das medidas de segmentos dessas duas
pirâmides, a razão entre suas áreas e a razão entre seus volumes.
Chamemos de k a razão entre dois segmentos homólogos das duas pirâmides, essa razão
k é chamada razão de semelhança entre as pirâmides. Escrevendo essa razão de semelhança
entre a pirâmide nova e a original, nessa ordem, temos:
ai
Ai
=
li
Li
=
h
H
= k
Considerando duas pirâmides semelhantes, temos as seguintes propriedades:
• A razão entre as áreas das bases é igual ao quadrado da razão de semelhança.
Essa propriedade decorre do fato de que as duas bases são polígonos semelhantes.
Chamando de Ab a área da base da pirâmide nova e AB a área da base da pirâmide
original, temos:
Ab
AB
= k2
• A razão entre as área laterais é igual ao quadrado da razão de semelhança.
Como duas faces laterais homólogas são triângulos semelhantes, sabemos que a razão
entre suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança.
Sendo Al a área lateral da pirâmide nova e AL a área lateral da pirâmide original, e
lembrando que a área lateral de uma pirâmide é igual à soma das áreas de suas faces
laterais, temos:
Al
AL
= k2
• A razão entre as áreas totais é igual ao quadrado da razão de semelhança.
Como
Ab
AB
= k2 e
Al
AL
= k2, decorre que
Ab +Al
AB +AL
= k2, e assim:
At
AT
= k2
• A razão entre os volumes é igual ao cubo da razão da semelhança.
Chamando de v o volume da nova pirâmide e V o volume da pirâmide original.
Já vimos das outras propriedades que
Ab
AB
= k2 e
h
H
= k.
Dessa forma, podemos obter a razão entre seus volumes:
Pirâmides 41
v
V
=
1
3
·Ab ·h
1
3
·AB ·H
=
Ab
AB
· h
H
= k2 · k =⇒
v
V
= k3
Observação
Sabemos que a
razão de semel-
hança entre o cubo
menor e o cubo
maior é k =
2
3
, pois
o menor possui
arestas de 2cm e
o maior possui
arestas de 3cm. A
área total do cubo
menor é: 6 · 22 =
6 · 4 = 24cm2; a
área total do cubo
maior é: 6 · 32 =
6 · 9 = 54cm2. A
razão entre a área
do cubo menor e a
área do cubo maior
é:
24cm2
54cm2
=
4
9
=
(
2
3
)2 = k2
O volume do
cubo menor é 23 =
8cm3; o volume do
cubo maior é 33 =
27cm3. A razão
entre o volume do
cubo menor e o vol-
ume do cubo maior
é:
8cm3
27cm3
=
(
2
3
)3 = k3
As propriedades estudadas acima podem ser estendidas para dois sólidos semelhantes
quaisquer.
Retornando aos dois cubos apresentados na 1a situação dos sólidos semelhantes, observe
ao lado as razões entre os segmentos, as áreas e os volumes
deles.
3.7 Tronco de Pirâmide
Definição
Tronco de pirâmide de bases paralelas constitui-se da base, de uma
seção transversal a ela e de todos os pontos da pirâmide compreendidos
entre o plano da base e o plano da seção transversal.
A pirâmide original é repartida pela seção transerval em dois sólidos: uma nova pirâmide
(semelhante à primeira e com mesmo vértice V ) e um tronco de pirâmide de bases paralelas.
Elementos
Na pirâmide mostrada acima, destacamos os seguintes elementos:
– a base maior do tronco é o polígono ABCDE, que é a base da pirâmide original;
– a base menor do tronco é o polígono A′B′C′D′E ′, que é a seção transversal da
pirâmide;
– a altura do tronco é a distância entre os planos das duas bases;
– as arestas laterais são os segmentos AA′, BB′, CC′, DD′ e EE ′;
– as faces laterais são os trapézios ABB′A′, BCC′B′, CDD′C′, DEE ′D′ e EAA′E ′.
Tronco de pirâmide regular
Tronco de pirâmide regular é o tronco de pirâmide de bases parelelas obtido de uma
pirâmide regular. Em um tronco regular, temos que:
– as arestas laterais são congruentes entre si;
– as bases são polígonos regulares semelhantes;
– as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre si;
– a altura de qualquer desses trapézios chama-se apótema do tronco.
Áreas
A área da base maior é indicada por AB e a área da base menor é indicada por Ab.
42
A superfície lateral de um tronco de pirâmide constitui-se de suas faces laterais. A área
da superfície lateral é chamada área lateral e é indicada por Al .
Al = soma das áreas das faces laterais
A superfície total do tronco de pirâmide é a reunião da superfície lateral com a base
maior e com a base menor. A área dessa superfície é chamada de área total e indicamos por
At .
Assim:
At = Al +AB +Ab
Volume
O volume de um tronco de pirâmide de bases paralelas é obtido calculando a diferença
entre o volume de duas pirâmides: a de base AB e a de base Ab.
V =V1−V2
Sejam x a altura da pirâmide de área da base Ab e h a altura do tronco. Então, pela razão
de semelhança entre a pirâmide de área da base Ab e a pirâmide de área da base AB:
x2
(x+h)2
=
Ab
AB
=⇒ x
x+h
=
√
Ab√
AB
=⇒ x ·
√
AB = x ·
√
Ab +h ·
√
Ab =⇒
=⇒ x = h
√
Ab√
AB−
√
Ab
=⇒ x
h
=
√
Ab√
AB−
√
Ab
Observe que a altura da pirâmide de área da base AB é x+hm e lembre que o volume de
uma pirâmide é dado por um terço do produto da área da base pela medida da altura. Assim,
desenvolvendo a diferença V1−V2:
V =
1
3
Ab · (x+h)−
1
3
Ab · x =
1
3
(ABx+ABh−Abx) =
Pirâmides 43
=
1
3
[AB ·h+ x(AB−Ab)] =
h
3
[
AB +
x
h
(AB−Ab)
]
=
=
h
3
[
AB +
√
AB√
AB−
√
Ab
· (AB−Ab)
]
=
h
3
[
AB +
√
Ab · (
√
AB +
√
Ab)
]
Por fim, temos que:
V =
h
3
(AB +
√
AB ·Ab +Ab)
é a fórmula do volume de um tronco de pirâmide, em função da sua altura e das áreas
das suas bases.
Exemplo
Calcule o volume do tronco de pirâmide regular abaixo, com medidas indicadas na
figura, em cm:
1a solução
Podemos calcular o volume do tronco de pirâmide acima utilizando a fórmula ap-
resentada anteriormente: V =
h
3
(AB +
√
AB ·Ab +Ab). Nesse caso, temos: h = 3cm,
AB = 62 = 36cm2 e Ab = 42 = 16cm2.
Utilizando a fórmula, obtemos:
V =
3
3
(36+
√
36 ·16+16) = 1 · (36+6 ·4+16) = 36+24+16 = 76cm3
2a solução
Sabemos que a pirâmide maior é semelhante à pirâmide menor, e a razão de semel-
hança entre elas é k =
6
4
=
3
2
.
Assim, podemos descobrir o valor de x: k =
3
2
=
x+3
x
⇒ 2(x+3) = 3x⇒ x = 6cm
Com isso, sabemos que a altura H da pirâmide maior é H = 3+6= 9cm, e seu volume
é dado por Vmaior =
1
3
H ·AB =
1
3
9 ·36 = 108cm3.
Lembrando que a razão entre os volumes é
Vmaior
Vmenor
= k3 =
(
3
2
)3
=
27
8
, temos:
Vmaior
Vmenor
=
27
8
⇒Vmenor =
8 ·108
27
= 8 ·4 = 36cm3
Portanto, o volume do tronco é V =Vmaior−Vmenor = 108−36 = 72cm3
44
Exercícios
1. Um tronco de pirâmide quadrangular regular
tem áreas das bases iguais a 100cm2 e 64cm2. Se o
apótema do tronco mede 6cm, qual é a área total do
tronco?
2. Cada trapézio que serve como face lateral de um
tronco de pirâmide regular quadrangular tem bases
de medidas 3cm e 5cm. Sabendo que a altura do
tronco mede 4cm, determine a área total e o volume
do tronco.
3. Uma pirâmide tem 12cm de altura e base com
área de 81cm2. Secionando-se a pirâmide por um
plano paralelo ao plano da base, exatamente à distân-
cia de 8cm da base, obtemos um tronco de pirâmide.
Calcule o volume desse tronco.
4. No preparo de um vaso para plantio de uma
muda de árvore, um funcionário da prefeitura enche-
o completamente de terra. O vaso tem a forma de
um tronco de pirâmide quadrangular regular inver-
tido; suas arestas das bases medem 80cm e 120cm.
Quantos metros cúbicos de terra foram colocados
no vaso, se a distância entre duas arestas paralelas
de uma face lateral do tronco é de 140cm? Use
√
3≈ 1,7.
5. Uma caçamba de entulho tem 1m de altura e a
forma de um tronco de pirâmide regular quadran-
gular invertido. A superfície apoiada no solo tem
área de 4m2. Se o volume de entulho necessário
para enchê-la até a borda é 6m3, qual é a medida da
aresta da superfície superior da caçamba?
6. (Vunesp-SP) Para calcularmos o volume aprox-
imado de um iceberg, podemos compará-lo com
sólidos geométricos conhecidos. O sólido da figura,
formado por um tronco de pirâmide regular de
base quadrada e um paralelepípedo reto retângulo,
justapostos pela base, representa aproximadamente
um iceberg no momento em que se desprendeu da
calota polar da Terra. As arestas das bases maior
e menor do tronco de pirâmide medem, respectiva-
mente, 40dam e 30dam, e a altura mede 12dam.
Passado algum tempo do desprendimento do ice-
berg, o seu volume era de 23100dam3, o que corre-
spondia a
3
4
do volume inicial. Determine a altura
H, em dam, do sólido que representa o iceberg no
momento em que se desprendeu.
REVISÃO E RESUMO 45
REVISÃO E RESUMO
Poliedros são os sólidos geométricos limitados por superfí-
cies planas. Seus elementos são os vértices, as arestas e as
faces.
Poliedros convexos são os poliedros em que cada plano que
contém uma face do poliedro posiciona as demais faces em
um mesmo semiespaço.
A relação de Euler, que vale para todo poliedro convexo,
relaciona o número de vértices, arestas e faces do poliedro:
V −A+F = 2.
A soma dos ângulos das faces de um poliedro é dada por:
S = (V −2) ·360◦
Os poliedros de Platão têm como faces polígonos do mesmo
e vértices em que concorrem o mesmo número de arestas.
Há cinco classes de poliedros de Platão: tetraedro, hexaedro,
octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Prisma é o poliedro formado por todos os segmentos de reta
paralelos a uma reta r dada tais que uma extremidade é um
ponto numa região poligonal contida num plano e a outra ex-
tremidade é um ponto num plano paralelo ao plano da região
poligonal.
Um prisma é reto quando a reta r for perpendicular aos planos,
caso contrário ele é oblíquo.
Prisma regular é um prisma reto cujas bases são polígonos
regulares.
Paralelepípedo reto retângulo é um prisma reto com bases
retangulares. Um paralelepípedo reto retângulo com faces
quadradas é chamado cubo.
Área Total do Prisma é dada por:
At = 2Ab +Al
Volume do Prisma é dado por:
V = Ab ·h
Pirâmide é o poliedro formado por todos os segmentos de
reta tais que uma extremidade é um ponto de uma região polig-
onal contida num plano e a outra extremidade é um ponto V
fora desse plano.
Pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono
regular e a projeção do vértice no plano do base é o centro
desse polígono.
Área Total da Pirâmide é dada por:
At = Al +Ab
Volume da Pirâmide é dado por:
V = 13 Ab ·h
Tronco de Pirâmide: se um plano paralelo ao plano da base
seciona uma pirâmide, ele a divide em dois sólidos, uma
pirâmide menor acima do plano e um tronco de pirâmide
situado entre os dois planos.
Área da superfície do tronco de pirâmide é dada por:
At = Ab +AB +Al
Volume do tronco de pirâmide é dado por:
V =
h
3
(AB +
√
AB ·Ab +Ab)
*
46
Exercícios
Complementares
1. (Cefet-SP)Leia atentamente as afirmativas a
seguir.
I Em um poliedro, a soma do número de vértices
com o número de faces é igual ao número de
arestas mais dois.
II O número de diagonais de um hexágono regu-
lar é igual a nove.
III A soma dos ângulos internos de um paralelo-
gramo é 360◦.
Das afirmativas anteriores, está(ão) correta(s):
a) a I, a II e a III.
b) apenas a II.
c) apenas I e II.
d) apenas I e III.
e) apenas II e III.
2. (CEFET-2001) Ari Qui Teto, projetista famoso,
pretendendo construir o prédio de um centro de con-
venções, inspirou-se em formas poliédricas com
bases regulares. Inicialmente pensou num prédio
com o formato de um poliedro de base quadrada,
depois evoluiu para um poliedro de base hexagonal
(veja esboços abaixo) e finalmente concluiu que o
mais adequado seria o formato poliédrico com base
igual a um polígono regular de 32
lados (não esboçado). Calculando-se a soma S = no
de vértices + no de arestas desse “prédio poliédrico”,
finalmente definido por Ari Qui Teto, obtém-se:
a) 130
b) 200
c) 193
d) 128
e) 224
3. (Fuvest 97) No paralelepípedo reto retângulo
mostrado na figura, AB = 2cm e AD = AE = 1cm.
Seja X um ponto de segmento AB e x a medida do
segmento AX .
a) Para que valor de x, CX = XH?
b) Para que valor de x, o ângulo CX̂H é reto?
47
4. (MACKENZIE-2001) As dimensões a, b e c
de um paralelepípedo reto retângulo são tais que
a > b > c. Aumentando-se a de 25% e mantendo-se
b constante, para que o volume do paralelepípedo
mantenha-se o mesmo, a dimensão c deve ser dimin-
uída de:
a) 15%
b) 18%
c) 20%
d) 25%
e) 28%
5. (ESPM-2004) Um prisma regular hexagonal
tem arestas da base medindo 2m e arestas laterais
medindo 5m. Uma formiga dá uma volta completa
em torno da sua superfície lateral, partindo de um
vértice da base de baixo e chegando no vértice cor-
respondente da base de cima. A menor distância
percorrida pela formiga foi:
a) 17m
b) 16m
c) 15m
d) 14m
e) 13m
6. (UEL-2002) Aumentando-se em 1m a altura de
um paralelepípedo, seu volume aumenta 35m3 e sua
área total aumenta 24m2. Se a área lateral do par-
alelepípedo original é 96m2, então o volume original
é:
a) 133m3
b) 135m3
c) 140m3
d) 145m3
e) 154m3
7. Remove-se, do cubo da figura, a pirâmide trian-
gular ABCD.
Obtém-se, dessa forma, um sólido de volume:
a)
14
3
b)
11
5
c)
18
5
d)
20
3
e)
16
5
8. As arestas laterais de uma pirâmide triangular
regular medem 8
√
3cm e formam ângulos de 60◦
com o plano da base. Determine o seu volume.
9. (PUC-RS-2002) O volume de uma pirâmide
quadrangular regular cujas faces laterais são triân-
gulos equiláteros de lado a é:
a)
a3
√
2
2
b) a3
√
2
c)
a3
√
3
2
d)
a3
√
2
6
e)
a3
√
3
6
10. De cada vértice de um tetraedro regular de aresta
3a, retira-se um tetraedro de aresta a. Calcule a área
total e o volume do sólido resultante.
48
11. Calcule a área total e o volume de um octaedro
regular de aresta a.
12. Os pontos médios das arestas de um tetraedro
regular são vértices de um octaedro regular. Qual
a razão entre o volume do octaedro regular e do
tetraedro regular?
13. (UF-ES) Um reservatório de água tem a forma
de uma pirâmide regular de base quadrada. O vér-
tice do reservatório está apoiado no solo, e seu eixo
está posicionado perpendicularmente ao solo. Com
o reservatório vazio, abre-se uma torneira que de-
speja água no reservatório com uma vazão constante.
Após 10 minutos, o nível da água, medido a partir
do vértice, atinge
1
4
da altura do reservatório. O
tempo que ainda falta para encher completamente o
reservatório é de:
a) 6 horas e 10 minutos.
b) 8 horas e 15 minutos.
c) 8 horas e 20 minutos.
d) 10 horas e 30 minutos.
e) 10 horas e 40 minutos.
14. (CESGRANRIO-79-adaptado) Uma cesta de
lixo (Figura I) tem por faces laterais trapézios isósce-
les (Figura II) e por fundo um quadrado de 19cm de
lado. A altura da cesta em cm é:
a) 30× 19
25
b) 9
√
11
c) 7
√
19
d) 5
√
13
e) 30
√
19
25
Cilindros, Cones 
e Esferas 
Em 1173, o engenheiro Bonnano Pisano, 
iniciou a construção da famosa 
torre de Pisa para abrigar o sino da 
catedral de Pisa, no norte da Itália. 
Antes que seus três primeiros 
andares tivessem sido erguidos por 
completo, foi notado uma ligeira 
inclinação para o sul devido o 
afundamento e a irregularidade em 
um terreno de argila e areia. 
Tentativas para compensar a 
inclinação deixando os próximos 
andares mais altos do lado que a 
estrutura tendia para baixo, mas o 
excesso de peso fez com que a 
torre afundasse ainda mais. Durante 
a metade do século XIV, muitas 
outras tentativas foram feitas para 
aprumar a torre. No século XX sua 
inclinação foi de 1,2 mm/ano. 
Em 1990 ela foi fechada ao público 
devido os riscos, e iniciou novamente 
propostas para salvar a torre. A 
reforma foi concluída e reaberta ao 
público em 2001. 
2
Que sólido geométrico melhor se aproxima 
à torre de pisa? 
Sabendo que esse monumento possui 57m 
de altura, qual é o seu volume em função 
do raio? 
A resposta está neste capítulo.
50
Objetivos
. Identificar corpos redondos em paisagens cotidianas.
. Construir diferentes sólidos geométricos.
. Calcular área e volumes de corpos redondos.
Cilindros
Em nosso cotidiano encontramos muitos objetos cilíndricos, que muitas vezes passam
despercebidos, por exemplo o rolo do papel higiênico.
Reflita
Considerando o
papel higiênico um
objeto cilíndrico,
quais objetos do
seu cotidiano você
identifica com a
mesma forma?
6.1 Cilindro Circular
Considere α e β dois planos paralelos e distintos e tomemos sobre eles dois círculos de
centro O e O′ respectivamente e mesmo raio r, considere a reta que passa por OO′.
Chamamos de cilindro ou cilindro circular, o conjunto de todos
os segmentos paralelos à reta que passa por OO′ que possuem
extremidades sob a circunferência de raio r e centros O e O′.
Observação
Sólidos geométri-
cos são os objetos
tridimensionais
definidos no
espaço.
A reta OO′ é chamada de eixo.
Cilindros 51
Os círculos de centro O e O′ chamamos de base.
A circunferência de centro O chamamos de diretriz.
A distância mínima entre os planos α e β chamados de altura.
Os segmentos que unem as circunferências e são paralelos ao eixo chamamos de gera-
trizes.
6.2 Cilindro Reto e Oblíquo
Quando a projeção ortogonal do centros das bases coincidem uma sobre a outra,
chama-se cilindro reto.
Quando a projeção ortogonal do centros das bases não coincidem uma sobre a outra,
chama-se cilindro oblíquo.
Observação
Projeção Ortogonal
de um objeto em um
plano é a sombra
quando os raios de
luz estão perpendic-
ulares ao plano.
Secção Meridiana de um cilindro reto é a intersecção entre a superfície e
um plano perpendicular aos planos que contém as bases e que contém o eixo.
Reflita
O que é perpendicu-
laridade?
Um cilindro reto também pode ser construído rotacionando 360◦ um retângulo em torno
de uma reta r que contém um de seus lados. O cilindro reto também pode ser nomeado como
cilindro de revolução.
52
6.3 Cilindro Equilátero
Um cilindro reto é cilindro equilátero quando
sua seção meridiana for igual a um quadrado.
Reflita
Dois egípcios
conversavam sobre
cilindros quando
resolveram dividir
dois cilindros em
metades iguais.
Colocaram as
partes cortadas
viradas para a areia
próxima ao rio Nilo,
e seguiram conver-
sando. Passado um
tempo, retiraram
as metades de
cilindros da areia
e notaram que
haviam se formado
quadriláteros. Sou-
beram de cara que
um deles é um retân-
gulo. Quais são
os outros possíveis
quadriláteros?
Justifique sua
resposta.
6.4 Área Lateral e Área Total do Cilindro
Abrindo o cilindro em um plano.
Cilindros 53
Área lateral é comprimento da circunferência (2πr) multiplicado pela altura.
Al = 2πrh
Área das bases é igual a soma da área das duas bases, sendo que a área de uma base é a
area de um cículo de raio r (πr2).
Ab = πr2 +πr2
Ab = 2πr2
Reflita
Como podemos cal-
cular a área lat-
eral de um cilindro
oblíquo?
Área total é igual à área lateral somada à área das bases.
At = Al +Ab
At = 2πr(h+ r)
Exemplo
Quantos centímetros quadrados de um material são usados, aproximadamente, para
construir 12 latas de um refrigerante? Sabendo que este possui 6 cm de diâmetro e 12
cm de altura. (Use: π ≈ 3,14)
Solução
Diâmetro = 6cm; r = 3cm; h = 12cm; π ≈ 3,14
Temos:
Al = 2πrh≈ 2 ·3,14 ·3.12 = 226,08cm3
Ab = 2πr2 ≈ 2 ·3,14 ·32 = 56,52cm2
At ≈ 226,08cm3 +56,52cm2 = 282,6cm2
Como são 12 latas de refrigerante, 12×282,6cm2 = 3391,2cm2 do material.
Há outra forma de resolver esse problema? Com π não sendo aproximado para 3,14,
resolva em função de π .
54
Exercícios
1. (Cefet-PR) Secciona-se um cilindro de revolução
de raio da base de 5cm por um plano paralelo ao seu
eixo, a uma distância de 4cm do mesmo. Se a área
da secção obtida é 12cm2, então a altura do cilindro
é igual a:
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
2. (Mundo Educação) Em uma fazenda estava
sendo realizada uma reforma e foi necessário pintar
um reservatório de água em formato cilíndrico, cuja
base é um círculo de raio igual a 15m e de altura
igual a 7m. Sabendo que o metro quadrado de tinta
custa R$10,00, qual será o valor gasto para pintar
esse reservatório?
3. Um cilindro equilátero de área lateral igual a
200πcm2. Qual é sua altura?
4. Cesgranrio-2012-adaptado). Um cilindro circu-
lar reto possui altura igual ao raio de sua base. Se a
razão entre a circuferência da base, dado em metros,
e a sua área total, dada em metros quadrados, é igual
a
1
8
metros, então a área lateral do cilindro, em m2 ,
é igual a:
(a) 128π
(b) 64π
(c) 48π
(d) 32π
(e) 16π
5. Um cilindro circular reto de altura 7cm tem área
das bases igual a 8πcm2. A área total desse cilindro,
em cm2, é:
(a) 30π
(b) 32π
(c) 34π
(d) 36π
6. (Petrobras – Cesgranrio 2012). Uma fita retangu-
lar de 2cm de largura foi colocada em torno de uma
pequena lata cilíndrica de 12cm de altura e 128πcm2
de area total, dando uma volta completa em torno
da lata, como ilustra o modelo abaixo.
A área da região da superfície da lata ocupada pela
fita é, em cm2 , igual a
(a) 8π
(b) 12π
(c) 16π
(d) 24π
(e) 32π
7. (MSCONCURSOS- 2016) Observe o objeto
cilíndrico que dona Ana deseja revestir, na figura
seguinte:
(a) 34πcm2
(b) 36πcm2
(c) 38πcm2
(d) 40πcm2
Cilindros 55
6.5 Volume do Cilindro
Se utilizarmos o princípio de Cavalieri fazendo uma relação entre um prisma e um
cilindro, ambos de mesma altura h, teremos:
V = Ab ·h
V = πr2h
Observação
Corpos redondos
são aqueles que
possuem curvas em
vez de alguma face,
e que se colocados
sobre um plano com
alguma inclinação
rolam.
Exemplo
Qual o volume aproximado, em litros, de 10 latas de óleo, sabendo que as latas
possuem um formato cilíndrico, com 8cm de diâmetro e 19cm de altura? (Use
π ≈ 3,14 e 1cm3 = 0,001l)
Solução
Diâmetro = 8cm; r = 4cm; h = 19cm; π ≈ 3,14
Temos que: v = πr2h≈ 3,14 ·42 ·19 = 954,56cm3
Como são 10 latas, então 10×954,56cm3 = 9545,6cm3
Sabemos que 1cm3 equivale a 0,001l. Temos que: V = 9545,6 ·0,00l = 9,55l
Portanto o volume das 10 latas de óleo é aproximadamente igual a 9,55l. Há outra
forma de resolver esse problema? Se π não fosse aproximado para 3,14, resolva em
função de π .
Exemplo
Retomando as questões do início do capítulo:
“Que sólido geométrico pode representar a Torre de Pisa?”
Solução:Podemos notar que um cilindro oblíquo representa bem a torre.
“Sabendo que o monumento possui 57 m de altura. Qual seu volume em
função do raio”
Solução: Sabemos que a torre tem 57 m de altura e que volume do cilindro
V = πr2h. Substituindo o valor de h, temos que o volume aproximado é V = 57πr2m3.
56
Exercícios
1. (A CASA DAS QUESTÕES-2015) Se um cilin-
dro equilátero mede 12 m de altura, então o seu
volume em m3 vale:
Sabendo que 1000litros de água ocupam um volume
de 1m3 e adotado π ≈ 3,14, determine a medida do
raio r do cilindro.
2. (A CASA DAS QUESTÕES-2015) O volume
de um cilindro circular reto é 160m3. Se o raio da
base desse sólido mede 4m, a altura mede:
a) 80dm
b) 90dm
c) 100dm
d) 110dm
e) 120dm
3. (Vunesp – SP) Um tanque subterrâneo, que tem
o formato de um cilindro circular reto na posição
vertical, está completamente cheio com 30m3 de
água e 42m3 de petróleo. Considerando que a altura
do tanque é de 12metros, calcule a altura da camada
de petróleo.
(a) 2π
(b) 7
(c)
7π
3
(d) 8
(e)
8π
3
4. (Cefet – SP) A figura indica o tambor cilín-
drico de um aquecedor solar com capacidade de
1570litros.
Sabendo que 1000litros de água ocupam um volume
de 1m34 e adotado π ≈ 3,14, determine a medida
do raio r do cilindro.
5. (FDRH-2008) Se um cilindro tem 1.024πcm3 de
volume e o diâmetro de sua base mede 16cm, então
pode-se afirmar que
I – a medida da altura desse cilindro é igual à me-
dida do diâmetro de sua base.
II – a medida da altura desse cilindro é igual ao
triplo da medida do raio de sua base.
III – o quociente entre a medida do raio da base
desse cilindro e a medida da sua altura é igual a 0,5.
Quais afirmações estão corretas?
(a) Apenas a I
(b) Apenas a II
(c) Apenas a III
(d) Apenas a I e a III
(e) A I, a II e a III
6. Um caldeirão cilíndrico tem 50 cm de
diâmetro e 20 cm de altura e está lotado em
sua capacidade máxima de água doce. Cláu-
dia vai encher potes cilíndricos com esse doce.
Se cada potinho tem 5 cm de altura e 4 cm
de diâmetro da base, quantos potinhos serão
necessários para colocar todo esse doce?
Cones 57
Cones
No cotidiano encontramos alguns objetos cônicos que podem passar despercebidos como,
por exemplo, uma casquinha de sorvete.
Reflita
Considerando
uma casquinha de
sorvete um objeto
cônico e em sua
casa, quais objetos
que possuem a
mesma forma?
Considere um plano α e neste tem-se um círculo de raio r e centro O, e V um ponto fora
de α .
Chamamos de cone circular, ou apenas cone, o conjunto de todo os segmentos com
uma das extremidades na circunferência de centro O e a outra no ponto V .
O círculo de raio r e centro O chama-se base.
O ponto V fora do plano α chama-se vértice.
Os segmentos utilizados para unir a circunferência ao vértice chamam-se geratrizes.
A menor distância entre o vértice V e o plano α chama-se altura.
A reunião de todas as geratrizes chama-se superfície lateral.
A área da superfície lateral chama-se área lateral.
A união entre a superfície lateral e da base chama-se superfície total.
A soma da área da base com a área superficial chama-se área total.
7.1 Retos e Oblíquos
Cone reto é aquele cuja projeção ortogonal do vértice sobre a base coincide com
o centro da mesma.
Cone oblíquo é aquele cuja projeção ortogonal do vértice sobre a base não coincide
com o centro da mesma.
58
Um cone reto também pode ser construído rotacionando em 360◦ um triângulo retângulo
em torno de uma reta r que contém um de seus catetos. O cone reto também pode ser
nomeado como cone de revolução.
7.2 Secção Meridiana
Secção Meridiana de um cone reto é a intersecção entre sua superfície total,
um plano perpendicular ao plano que contém a base e que passa pelo vértice.
Reflita
Que tipo de triân-
gulo é formado pela
secção meridiana?
7.3 Cones Equiláteros
Um cone reto é cone equilátero quando sua seção meridiana
for um triângulo equilátero.
Cones 59
Reflita
Dois babilônicos
conversavam sobre
cones quando
resolveram dividir
dois cones em
metades iguais.
Colocaram as
partes cortadas
viradas para a areia
próxima ao rio
Eufrates. Seguiram
com o diálogo
e, passado um
tempo, retiraram as
metades de cones
da areia e notaram
que formaram-
se triângulos.
Souberam imedi-
atamente que um
deles é isósceles,
quais são os outros
possíveis triângu-
los? Justifique sua
resposta.
7.4 Área
Mentes Brilhantes
Nicolau Copérnico (1473-1543) resgatou os estudos e hipóteses heliocêntricas de
Aristano e construiu toda a teoria dos planetas orbitarem em torno do Sol, partindo da
proporcionalidade de arcos e
semelhança de triângulos.
Abrindo o cone em um plano:
Área da superfície de um cone será um setor circular, de acordo com a figura.
Para o cálculo da área lateral podemos utilizar uma regra de três simples.
Se o comprimento do setor circular de raio g fosse 2πg (circunferência de um círculo de
raio g), sua área seria πg2 (área de um círculo de raio g).
Pesquisa
O que é um setor cir-
cular?
2πg — πg2
2πr — Al
Al =
2πrπg2
2πg
Logo a área lateral é:
Al = πrg
Área da base:
60
Ab = πr2
Área total é igual à área lateral somada à área da base.
At = Al +Ab
At = πrg+πr2
At = πr(g+ r)
Exemplo
Pedro é proprietário de uma fazenda, ele utiliza um funil cuja circunferência mede
aproximadamente 60cm e possui 10cm de altura. Ele precisa de um funil maior, então
decidiu ele mesmo construir, sabe-se que que o maior possui o dobro da circunferência
e com altura 80% maior do que o antigo. Quanto de material será gasto por Pedro?
(Use π ≈ 3)
Solução
C1 = 60cm; h = 10cm;π ≈ 3
Novo funil: C2 = 2 ·60 = 120m; h = 1,8 ·10 = 18cm
Para encontramos o raio: 2πr =C2
Substituindo: C2 ≈ 2 ·3r = 120
Logo r ≈ 20cm
Utilizando Pitágoras: g2 = 182 +202
Logo g≈ 27
Sabemos que aréa lateral é πrg.
Então Al ≈ 3 ·20 ·27 = 1620cm2
Portanto Pedro precisará de aproximadamente 1620cm2 de material.
Há outra forma de resolver esse problema? Se π não fosse aproximado para 3, resolva
em função de π .
Cones 61
Exercícios
1. Determine a área total e o volume de um cone
reto de raio da base medindo 3cm e altura medindo
4cm.
2. (Ufv 2004) Um chapéu, no formato de um cone
circular reto, é feito de uma folha circular de raio
30cm, recortando-se um setor circular de ângulo
θ =
2π
3
radianos e juntando os lados. A área da
base do chapéu, em cm2, é:
(a) 140π
(b) 110π
(c) 130π
(d) 100π
(e) 120π
3. (Uel) Um cone circular reto tem altura de 8cm e
raio da base medindo 6cm. Qual é, em centímetros
quadrados, sua área lateral?
(a) 20π
(b) 30π
(c) 40π
(d) 50π
(e) 60π
4. Um cone de trânsito, é um cone reto, a geratriz é
igual a duas vezes o diâmetro da base. Determine
a quantidade de plástico em função de r utilizado
para fabricar 10cones.
5. Determine a medida da geratriz de um cone cir-
cular reto que apresenta uma área total de 3768cm2
e raio da base medindo 15cm.
6. Quantos centímetros quadrados de cartolina
serão necessários para fazer o chapéu de palhaço cu-
jas medidas são altura igual a 20cm e circunferência
igual 10πcm?
62
7.5 Volume
Pesquisa
Quem foi Aristano?
Utilizando o princípio de Cavalieri, podemos estabelecer uma comparação entre uma
pirâmide e um cone, ambos de mesma altura h. Deste modo, obteremos que o volume do
cone é:
V = 13 Abh
Onde Ab é a área da base.
Substituindo o valor de Ab, obtém:
V =
1
3
πr2h
Exemplo
Um casal foi na sorveteria com seus dois filhos, eles tomaram sorvete em casquinhas
cônicas. Os filhos fizeram o pedido na casquinha menor, cujo raio é 3cm e 10cm de
altura, o casal fez o pedido na casquinha maior, cuja capacidade é
5
8
maior que a
pequena. (Use π ≈ 3,14). Qual é a capacidade, aproximada, da casquinha maior?
Solução
r = 3cm; h = 10cm; π ≈ 3,14
Sabemos que V =
4
3
πr2h
Volume da casquinha pequena: Vp ≈
4
3
·3,14 ·32 ·10 = 94,2cm3
Volume da casquinha grande: Vg =Vp +
5
8
Vp = (1+
5
8
)Vp =
13
8
Vp
Logo: Vg ≈
13
8
·94,2 = 153,08cm3
Portanto a capacidade da casquinha maior é aproximadamente 153,08cm3.
Há outra forma de resolver esse problema? Se π não fosse aproximado para 3,14?
resolva em função de π .
Cones 63
Exercícios
1. Calcule o volume de um cone circular reto cujo
raio da base mede 4m e geratriz 6m.
2. (PUC-MG) Um monte de areia tem a forma de
um cone circular reto, com volume 4V = 4πm3. Se
o raio da base é igual a dois terços da altura desse
cone, pode-se afirmar que a medida da altura do
monte de areia, em metros, é:
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
3. (Fatec) A altura de um cone circular reto mede
o triplo da medida do raio da base. Se o compri-
mento da circunferência dessa base é 8πcm, então o
volume do cone, em centímetros cúbicos, é:
(a) 64π
(b) 48π
(c) 32π
(d) 16π
(e) 8π
4. Observe a ampulheta cujas medidas estão indi-
cadas na figura. Qual é o volume de areia necessária
para encher completamente um cone dessa ampul-
heta?
5. (Cefet-PR) O raio da base de um cone circular
reto mede 3m e o perímetro de sua seção meridiana
mede 16m. O volume desse cone mede:
(a) 8πm3
(b) 10πm3
(c) 14πm3
(d) 12πm3
(e) 36πm3
6. Um coador tem a forma da figura dada. Seu topo
circular tem 13cm diâmetro e a altura da vasilha é
23cm. Qual é a capacidade máxima que essa vasilha
pode conter em litros?
64
7.6 Troncos
Se um plano paralelo à base intersecta um cone, a uma determinada
altura, terá construído um novo sólido, chamado de tronco de cone.
Comparando o tronco de cone com um cone, nota-se que o tronco possui duas bases
circulares, tal que uma seja maior do que a outra. Dessa forma os cálculos envolvendo áreas
de superfície e volume envolverá a medida de ambas as bases.
A geratriz, também está presente na composição do tronco de cone, assim como a altura,
todavia elas não devem ser confundidas porque são elementos distintos, como já visto.
Área da superfície do tronco de cone é dada por:
As = πg(R+ r)
Reflita
Com os conheci-
mentos adquiridos,
explique a fórmula
para área superficial
do tronco de um
cone.
Volume do tronco de cone é dado por:
V =
πh
3
(r2 + rR+R2)
Cones 65
Exemplo
João analisou que um corpo descartável possui a forma de um tronco de cone, cuja
as medidas tiradas por João foi: base menor mede 2cm e base maior mede 50% a
mais, a altura é cinco vezes maior do que a base menor. Qual a quantidade de plástico
utilizado para a fabricação de um copo? Qual o seu volume máximo? (Use π ≈ 3,14)
Solução
r = 2cm; R = 2 ·1,5 = 3cm; h = 10cm
Por Pitágoras, temos que g2 = (R− r)2 +h2
Substituindo, temos que g2 = 102 +12
Logo, g =
√
101cm
Sabemos que Al = πg(R+ r)
Subistituindo, temo que Al ≈ 3,14 ·
√
101(3+1)≈ 126,23cm2
A área da base menor é πr2 ≈ 3,14 ·22 = 12,56cm2
A quantidade de plático em um copo é área da base menor somado a área lateral,
então: 12,56cm2 +126,23cm2 = 138,79cm2
Portanto será utilizado aproximadamente 138,79cm2 de plástico para um copo.
Para cálculo do volume, sabemos que V =
πh
3
(r2 + rR+R2)
Substituindo V ≈ 3,14 ·10
3
(22 +2 ·3+32)≈ 198,67cm3
Portanto o volume do copo é aproximadamente 198,67cm3.
Há outra forma de resolver esse problema? Se π não fosse aproximado para 3,14,
resolva em função de π .
66
Cones 67
Exercícios
1. (Ufg) A figura a seguir representa um tronco
de cone, cujas bases são círculos de raios de 5cm e
10cm, respectivamente, e altura 12cm.
Considerando-se esse sólido,
( ) a área da base maior é o dobro da área da base
menor.
( ) o volume é menor que 2000cm3.
( ) o comprimento da geratriz AB′ é 13cm.
( ) a medida da área da superfície lateral é 195πcm2
2. Um depósito de combustível tem a forma de um
tronco de cone. Suas dimensões são: raios igual
a 5m e 8m e altura é igual a 4m, determine a área
superficial desse depósito.
3. (OBMEP) Um cone circular reto e seccionado
por um plano paralelo a sua base à 23 de seu vértice.
Se chamarmos V o volume do cone, então o volume
do tronco de cone resultante vale:
(a) 8V27 (b)
2V
3 (c)
4V
9 (d)
19V
27
4. (OBMEP) Uma forma de bolo, de 10cm de al-
tura, e formada por dois troncos de cone, conforme
a figura. Determine a quantidade máxima de massa
líquida de bolo que pode ser colocada na forma, se
esta massa deve ocupar apenas 80% de sua capaci-
dade, pois deve existir uma margem para que o bolo
cresça.
Calcule o tronco do cone cujo raio da base maior
mede 25cm, o raio da base menor mede 10cm e a
altura é de 15cm.
5. (PM RJ – IBFC 2012). Um cone reto é sec-
cionado por dois planos paralelos a sua base e que
dividem sua altura em três partes iguais. Os três
sólidos obtidos são: um cone de volume V1, um
tronco de cone de volume V2