Probabilidade Cap. 3

Prévia do material em texto

Capítulo III – Valores esperados 
 
3.1- Valor médio ou Média de uma Variável Aleatória. 
 Representa a média aritmética ponderada dos valores que a variável aleatória 
assume, tendo como peso a função densidade de probabilidade. 
 
3.1.1- Valor médio para uma Variável Aleatória Discreta. 
 Para equacionar o valor médio vamos realizar o seguinte experimento aleatório: 
Lança-se uma moeda duas vezes. A variável aleatória X é definida como sendo o 
número de caras que aparecem nos dois lançamentos. 
 
  
E[X] =  X =  xi p(xi) 
 xi= - 
 
Ex. 3.1.1.1- Um dado é lançado uma única vez. A variável aleatória X representa o nº 
na face superior do dado. Determine o valor médio de X. 
 
3.1.2- Valor médio para uma Variável Aleatória Contínua. 
 Por analogia com a equação anterior tem-se que: 
  
E[X] = X =  x f(x) dx 
 - 
Ex 3.1.2.1- Determine o valor médio da variável aleatória X que apresenta a seguinte 
função densidade de probabilidade: 
f(x) = { 2x 0  x 1 
 { 0 para outros x 
 
 
3.2 - Momento 
 É a media dos valores que a variável aleatória assume elevados a uma potência r. 
3.2.1- Momento para uma V. A. Discreta 
 r  
E[ X ] = mr =  xir p(xi) 
 xi = -  
Ex 3.2.1.1- Determine o 2 o momento da V. A. X que representa o número da face 
superior de um dado em um único lançamento 
 
3.2.2 - Momento para uma V. A. Contínua. 
 r  
E[X] = mr =  xr f(x) dx 
 - 
 
Ex. 3.2.2.1 – Determine o 2º momento para a variável aleatória X que apresenta uma 
função densidade de probabilidade dada por: 
f(x) = { 2x/9 0  x 3 
 { 0 para outros x 
 
 
3.3 - Momento Central 
 É o valor médio do desvio da média da V. A. elevado a uma potência r. 
 O desvio da média é a diferença entre os valores que a V. A. assume e a sua média 
(xi-X) ou (x-X) para o caso de uma V. A. discreta ou contínua, respectivamente. 
 
 
3.3.1- Momento Central para uma V. A. Discreta 
  
E[ (X-X)r ] = mcr =  (xi-X) r p(xi) 
 xi = -  
 
Ex 3.3.1.1- Determine o 2 o momento central da V. A. X . considerando o experimento 
do lançamento de um dado uma única vez, visto anteriormente. 
 
 
3.3.2- Momento Central para uma V. A. Contínua 
  
E[ (X-X)r ] = mcr =  (x-X) r f(x) dx 
 -  
Ex. 3.3.2.1 – Determine o 2º momento central para a variável aleatória definida no Ex. 
3.2.2.1. 
3.4 – Valor Médio Conjunto. 
 Para uma variável aleatória conjunta (X,Y), deseja-se obter o valor médio 
conjunta dessas variáveis aleatórias. 
3.4.1- Valor Médio Conjunto para Variável Aleatória Discreta. 
   
E[XY ] =   xi yJ p(xi ,yJ) 
 yj = - xi = - 
3.4.2- Valor Médio Conjunto para Variável Aleatória Contínua. 
   
E[XY] =   xy f(x,y) dx dy 
 - - 
Ex. 3.4.2.2 – Suponha que em um circuito elétrico, tanto a resistência R, como a 
corrente I, variem de algum modo de forma aleatória, tendo uma função densidade de 
probabilidade conjunta dada por: 
f(r,i) = { 2r2i/9 0  r 3 , 0  i  1 
 { 0 para outros intervalos de r e i 
Determine o valor médio conjunto das variáveis aleatórias. 
 
3.5 - Propriedades do Valor Esperado 
a) Se k é uma constante, então E[k]= k; 
b) E[k X] = k E[X]; 
c) E[X1 + X2] = E[X1] + E[X2]; 
 n n 
d) E[  ki Xi] =  ki E[ Xi]; 
 i=1 i=1 
 
e) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então: 
 E[XY] = E[X] E[Y]; 
3.6 Variância 
 É definida como sendo o segundo momento central da variável aleatória, ou seja, 
Var[X] = x2 = E[(X-x)2] 
 
x2 = E[X2] - x2 
3.6.1- Variância para uma Variável Aleatória Discreta 
  
x2 =  (xi-X)2 p(xi) 
 xi = -  
Ex 3.6.1.1- A variável aleatória X apresenta a seguinte função densidade de 
probabilidade: 
 
 xi 2 3 4 
 p(xi) 1/4 1/2 1/4 
 
Determine sua variância. 
3.6.2- Variância para uma Variável Aleatória Contínua 
  
x2 =  (x-X) 2 f(x) dx 
 -  
Ex 3.6.2.1- Determine a variância de uma variável aleatória uniformemente distribuída 
entre 0 e 4. 
Obs. A variância é uma medida de dispersão da variável aleatória e terá um grande 
valor (será mais dispersa) quanto mais distante da média X, a variável aleatória assumir 
valores com grandes probabilidades e terá um pequeno valor (será menos dispersa ou 
mais concentrada) quanto mais próximo da média a variável aleatória assumir valores 
com grandes probabilidades. 
 
3.6.3- Propriedades da Variância 
a) Var[ k X] = k2 Var[X] = k2 x2 
b) Var[X1+X2 + ... + Xn] = Var[X1]+Var[X2]+...+ Var[Xn], se X1, X2,...,Xn são 
independentes. 
c) Var[k]=0 
 
 
 
 
 
Ex 3.6.3.1- A variável aleatória Y = 2 X, onde X é uma variável aleatória que apresenta 
a seguinte função densidade de probabilidade: 
 
 xi 2 3 4 
 p(xi) 1/4 1/2 1/4 
Encontre a variância de Y 
 
 
 
 
 
3.7- Desvio Padrão 
 ____ 
x =  x2 
 
3.8- Covariância e Coeficiente de Correlação 
 
3.8.1- Covariância 
 É a variância entre duas variáveis aleatórias e representa o valor médio do 
produto dos desvios das médias das variáveis aleatórias e dá uma medida da relação 
linear entre duas variáveis aleatórias. 
 
XY = E[(X-X) (Y-Y)]  XY = E[XY] - X Y 
 
Ex.3.8.1.1- Determine a covariância das variáveis aleatória X e Y, cuja função 
densidade de probabilidade conjunta é dada na tabela abaixo 
 
 
 X 
Y 
0 1 2 
1 3/20 3/20 2/20 
2 1/20 1/20 2/20 
3 4/20 1/20 3/20 
 
 
3.8.2- Coeficiente de Correlação 
 É o parâmetro que mede o grau de linearidade entre duas variáveis aleatórias ou 
a dependência linear entre elas. 
XY = XY / X Y , onde: X é o desvio padrão da V. A. X; 
 Y é o desvio padrão da V. A. Y; e 
 -1  XY 1 
Observações: 
- Valores de XY iguais a 1 indicam alto grau de linearidade, ou seja, as variáveis 
aleatórias estão perfeitamente relacionadas de forma linear. 
 
- Valores de XY menor do que 1 em valor absoluto indica que a relação não é 
completamente linear e que pode haver uma relação não-linear bastante forte. 
 
- Valor de XY igual a zero não implica que as variáveis aleatórias são independentes, 
mas apenas que há ausencia completa de relação linear e, desta forma, as variáveis 
aleatórias são ditas não-correlacionadas. 
 
- Duas variáveis podem ser não-correlacionadas, porém altamente dependentes, pois 
pode existir uma forte relação não-linear entre elas.. 
 
- XY positivo indica que Y cresce com valores crescentes de X 
 
- XY negativo indica que Y decresce com valores crescentes de X 
 
 
Ex 3.8.2.1- suponha que a variável aleatória Y esteja relacionada com a variável 
aleatória X pela expressão Y = -3X/2, onde a V. A. X é uniformemente distribuída entre 
0 e 2. Determine o coeficiente de correlação. 
 
3.9 - Esperança Condicional. 
 É o valor médio dos valores que a variável aleatória X assume dado que a variável 
aleatória Y assumiu um determinado valor a priori. 
 
3.9.1- Esperança Condicional para Variável Aleatória Discreta 
  
E[X/Y= yJ ] =  xi pX/Y(xi/yJ) 
 xi = - 
3.9.2-Esperança Condicional para VariávelAleatória contínua 
  
E[X/Y= yJ ] =  x fX/Y(x/y) dx 
 - 
Ex 3.9.2.1- Se a função densidade de probabilidade conjunta das Variáveis aleatórias X 
e Y é dada por: 
 f(x,y) = { (x + y) / 3 0 x 1 ; 0 y 2 
 { 0 para outros intervalos de x e y 
determine o valor médio condicional E[X/Y=1]. 
 
3.10 – Função Característica 
 Suponha que g(X) seja uma variável, função de uma variável aleatória X, através de 
uma expressão complexa, onde g(X) = e jX. Denomina-se de função característica, 
representada por X (), ao valor médio de g(X), isto é, X () = E[e jX]. 
 
3.10.1 – Função Característica para uma Variável Aleatória Discreta. 
  
X () =  e jxi p(xi) 
 xi = -  
3.10.2 – Função Característica para uma Variável Aleatória Contínua 
  
X () =  e jx f(x) dx 
 -  
3.10.3 – Aplicação da Função Característica no Cálculo de Momentos 
 Expandindo-se X () em uma série de potência, mais precisamente na série de 
Mclaurin, tem-se: 
 
 
X () = 0 + 1  + 2 2 + . . . + k k eq. A 
 
 Os coeficientes podem ser obtidos da seguinte maneira: 
0 = X () =0 1 = dX () / d =0 2 = (1/ 2 ) d2X () / d2 =0 
 
k = (1/ k ) dkX () / dk =0 
 Expandindo-se na série de Mclaurin o termo e jX tem-se: 
 
e jx = 1 + j  x + (j  x)2 / 2 + . . . + (j  x)k / k 
 
 Usando-se o termo e jx expandido na série de Mclaurin obtém-se : 
  
X () = E[e jX] =  [1 + j  x + (j  x)2 / 2 + . . . + (j  x)k / k ] f(x) dx 
 -  
     
X () =  f(x)dx +  j  x f(x) dx +  [(j  x)2 / 2 ] f(x) dx +  [(j  x)k / k ] f(x) dx 
 -  -  -  -  
 
X () = 1 + j  E[X] + (j2 2 / 2) E[X2 ]+ . . . + (jk k / k) E[Xk ] eq. B 
X () = 0 + 1  + 2 2 + . . . + k k eq. A 
 
 Comparando-se as equações A e B, tem-se: 
 0 = 1 
 
1 = j E[X]  E[X] = 1 / j 
 
2 = j2 E[X2] / 2  E[X2] = 2 2 / j2 
 
k = jk E[Xk] / k  E[Xk] = k k / jk 
 
 A última expressão, E[Xk] = k k / jk , possibilita o cálculo do k-ésimo momento 
de uma variável aleatória X a partir do conhecimento da sua função característica. 
Ex. 3.9.1 – Ache a função característica da variável aleatória X cuja função densidade 
de probabilidade é dada por f(x) = (1/2) e-x/2 x≥0 
 0 x<0 
 
Ex. 3.9.2 – Determine o valor médio da V. A. X, usando a função característica.