Uma urna contém 3 bolas vermelhas de 5 pretas. Duas bolas são selecionadas ao acaso, uma de cada vez e sem reposição desta urna. Considere os e...

Vamos calcular cada uma das probabilidades solicitadas: (a) A probabilidade de V2 ocorrer, sabendo que V1 ocorreu é dada por: P(V2 | V1) = P(V1 e V2) / P(V1) A probabilidade de V1 e V2 ocorrerem é dada por: P(V1 e V2) = P(V1) * P(V2 | V1) Onde P(V1) é a probabilidade de selecionar uma bola vermelha na primeira jogada, que é 3/8. Já P(V2 | V1) é a probabilidade de selecionar uma bola vermelha na segunda jogada, dado que a primeira bola selecionada foi vermelha. Como não há reposição, a urna agora contém 2 bolas vermelhas e 5 pretas, então: P(V2 | V1) = 2/7 Substituindo na fórmula acima, temos: P(V1 e V2) = (3/8) * (2/7) = 3/28 E a probabilidade de V1 ocorrer é simplesmente 3/8. Então: P(V2 | V1) = (3/28) / (3/8) = 2/7 Portanto, a probabilidade de V2 ocorrer, sabendo que V1 ocorreu, é de 2/7. (b) A probabilidade de V2 ocorrer, sabendo que V1 não ocorreu é dada por: P(V2 | ¬V1) = P(V1' e V2) / P(¬V1) A probabilidade de ¬V1 é a probabilidade de não selecionar uma bola vermelha na primeira jogada, que é 5/8. Já P(V1' e V2) é a probabilidade de não selecionar uma bola vermelha na primeira jogada e selecionar uma bola vermelha na segunda jogada. Como não há reposição, a urna agora contém 3 bolas vermelhas e 4 pretas, então: P(V1' e V2) = (5/8) * (3/7) = 15/56 Substituindo na fórmula acima, temos: P(V2 | ¬V1) = (15/56) / (5/8) = 3/7 Portanto, a probabilidade de V2 ocorrer, sabendo que V1 não ocorreu, é de 3/7. (c) A probabilidade de V2 ocorrer é dada por: P(V2) = P(V1 e V2) + P(V1' e V2) Já calculamos P(V1 e V2) e P(V1' e V2) nos itens anteriores, então: P(V2) = (3/28) + (15/56) = 27/56 Portanto, a probabilidade de V2 ocorrer é de 27/56. (d) A probabilidade de V1 ter ocorrido, sabendo que V2 ocorreu é dada por: P(V1 | V2) = P(V1 e V2) / P(V2) Já calculamos P(V1 e V2) e P(V2) nos itens anteriores, então: P(V1 | V2) = (3/28) / (27/56) = 6/27 = 2/9 Portanto, a probabilidade de V1 ter ocorrido, sabendo que V2 ocorreu, é de 2/9.