Introdução à Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
1. Conceitos Gerais
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo.
A Matemática Financeira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo e da existência de juros. O objetivo da matemática financeira é efetuar análises e comparações de vários fluxos de caixa, de entrada e saída de dinheiro, em diferentes momentos.
1.1 Diagrama de Fluxo de Caixa
Fluxo de Caixa é o conjunto das entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. O fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações da matemática financeira, permitindo que se visualize no tempo o que ocorre com o “capital”. Esquematicamente, pode ser representado da seguinte forma:
A linha horizontal registra a escala de tempo. O ponto zero indica o momento inicial, e os demais pontos representam os períodos de tempo (datas). As setas para cima indicam entradas (ou recebimento) de dinheiro, e as setas para baixo indicam saídas (ou aplicações) de dinheiro. A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidades e custos de operações financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de projetos e investimentos. O acompanhamento do fluxo de caixa permite prever os momentos em que haverá disponibilidade ou falta de recursos. 
1.2. Capital e Juro
Capital é qualquer quantidade de dinheiro que esteja disponível em certa data para ser utilizado numa operação financeira, temporariamente, mediante remuneração. O juro é a remuneração (o dinheiro) que se paga pelo uso da quantia emprestada, ou o dinheiro produzido quando o capital é investido. 
1.3 Principal e Montante
Ao capital inicial empregado dá-se o nome de principal, e a soma do principal mais o juro recebe o nome de montante.
1.4 Taxa de Juros
Os juros são fixados através de uma taxa percentual que se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia.
Exemplos: 
a) 8% ao ano = 8% a.a. 
b) 4% ao semestre = 4% a.s. 
c) 1% ao mês = 1% a.m
As taxas de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:
- o risco envolvido na operação,
- a perda do poder de compra do capital motivada pela inflação,
- o capital emprestado ou aplicado.
 A obtenção dos juros do período, em unidades monetárias será feita através da aplicação da taxa de juros sobre o capital considerado.
Exemplo: Um capital de R$10.000,00 aplicados a uma taxa de 8% ao ano proporcionará, no final de um ano, um total de juros de: 8% de 10.000 = 0,08 x 10.000 = R$ 800,00.
Observe que a taxa de juros de 8% foi transformada em fração decimal (8/100= 0,08) para permitir a operação. Assim as taxas de juros terão duas representações:
· Percentagem (para indicar) ; Fração decimal (para efetuar cálculos)
1.5 Regimes de Capitalização
O regime de capitalização de juros é o processo pelo qual os juros são formados e incorporados ao principal. Podem ser identificados dois regimes de capitalização: juros simples e juros compostos dependendo do processo de cálculo utilizado.
Exemplo:
Juros simples: Considere o caso em que um indivíduo, fez um empréstimo de R$10.000,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros simples, à razão de 10% a.a.. Qual será seu saldo devedor no final de cada um dos próximos 5 anos?
	ANO
	Saldo no início de cada ano
	Juros de cada
ano
	Saldo devedor ao final de cada ano
	Início do 1º ano
Fim do 1º ano
Fim do 2º ano
Fim do 3º ano
Fim do 4º ano
Fim do 5º ano
	--
10.000,00
11.000,00
12.000,00
13.000,00
14.000,00
	--
0,10 x 10.000=1.000,00
0,10 x 10.000=1.000,00
0,10 x 10.000=1.000,00
0,10 x 10.000=1.000,00
0,10 x 10.000=1.000,00
	1.000,00
11.000,00
12.000,00
13.000,00
14.000,00
15.000,00
Observações:
a) Os juros, por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial, apresentam valores idênticos ao final de cada ano.
b) Em conseqüência, o crescimento dos juros no tempo é linear, revelando um comportamento idêntico a uma progressão aritmética. 
c) Se os juros simples, ainda, não forem pagos ao final de cada ano, a remuneração do capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial, não ocorrendo remuneração sobre os juros que se formam no período.
d) Como os juros variam linearmente no tempo, a apuração do custo total da dívida no prazo contratado é processada simplesmente pela multiplicação do número de anos pela taxa anual. No exemplo: 5 x 10% a.a. = 50 % para 5 anos. Se desejar converter a taxa anual em taxa mensal, basta dividir a taxa anual por 12. No exemplo, 10% a.a. / 12 meses = 0,8333% ao mês.
Juros compostos: Admitindo-se no exemplo anterior, que a dívida de R$10.000,00 deve ser paga em juros compostos à taxa de 10% ao ano, temos:
	ANO
	Saldo no início de cada ano
	Juros de cada
ano
	Saldo devedor ao final de cada ano
	Início do 1º ano
Fim do 1º ano
Fim do 2º ano
Fim do 3º ano
Fim do 4º ano
Fim do 5º ano
	--
10.000,00
11.000,00
12.100,00
13.310,00
14.641,00
	--
0,10 x 10.000,00=1.000,00
0,10 x 11.000,00=1.100,00
0,10 x 12.100,00=1.210,00
0,10 x 13.310,00=1.331,00
0,10 x 14.640,10=1.464,10
	10.000,00
11.000,00
12.100,00
13.310,00
14.641,00
16.105,10
Observações:
a) Os juros não incidem unicamente sobre o capital inicial de R$10.000,00, mas sobre o saldo total existente no início de cada ano. Este saldo incorpora o capital inicial emprestado mais os juros incorridos em períodos anteriores.
b) O crescimento dos juros se dá em progressão geométrica, evoluindo de forma exponencial ao longo do tempo.
Em juros simples apenas o principal rende juros, ao passo que a juros compostos os rendimentos são calculados sobre os montantes, havendo, portanto, uma incidência de juros sobre juros.
Legalmente deve-se usar o regime de juros simples, mas o mercado financeiro segue integralmente a lei dos juros compostos. Assim as Letras de Câmbio, os Certificados de Depósitos Bancários, o Sistema Financeiro de Habitação, as prestações de crediário, os descontos de duplicatas, e outros intermináveis exemplos do mercado financeiro seguem a lei dos juros compostos e não a dos juros simples. Entretanto, os juros simples são utilizados pela facilidade de cálculo, e também como grande argumento de vendas. O problema é que as contas são feitas a juros simples quando na realidade o fenômeno se comporta a juros compostos. Assim, por exemplo, uma letra de câmbio com rentabilidade de 24% ao ano, é dita no mercado como uma letra “2% ao mês”, pois 24% ÷ 12 meses = 2% ao mês, quando realmente a juros compostos, a sua renda mensal é de 1,81% ao mês (conforme será verificado posteriormente). Evidente que a tarefa de vendas fica facilitada por essa majoração fictícia da renda mensal do papel. A utilização de procedimentos semelhantes ao anterior é bastante comum no mercado e cria muitas dificuldades, pois, o cálculo financeiro correto, sempre se faz a juros compostos, ao passo que a taxa mencionada na negociação (no exemplo 2%) é, na maioria das vezes, obtida através de juros simples, fornecendo, portanto, valores inexatos e induzindo a raciocínios incorretos.
1.6 Simbologia
n prazo ou número de períodos de capitalização de juros, expressos em anos, semestres, trimestres, meses ou dias.
i taxa de juros por período de capitalização, expressada em porcentagem, e sempre mencionando a unidade de tempo considerada (ano, semestre, trimestre, mês ou dia). Sinônimo de rentabilidade.
 PV Valor Presente (Present Value), ou seja, valor do capital inicial (principal) aplicado. Sinônimo de aplicação, investimento, empréstimo, valor hoje, valor líquido.
FV Valor futuro (Future Value), ou seja, valor do montante acumulado no final de n períodos de capitalização, com a taxa de juros i. Sinônimo de valor de resgate, valor nominal, valor em uma data futura.
PMT Valor de cada prestação (Periodic PayMenT). 
Observações: 
- os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais;
- a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve necessariamente coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definiro número de períodos n.
- consideraremos para cálculos envolvendo número de dias, o ano comercial que tem 360 dias, e o mês com 30 dias; salvo menção em contrário.
2. JUROS SIMPLES
O regime de juros simples é utilizado no mercado financeiro, notadamente nas operações de curto prazo, em função da simplicidade de cálculo e também para reduzir ou aumentar ficticiamente a verdadeira taxa de juros das operações financeiras, o que facilita a tarefa de colocação dos produtos junto aos investidores ou tomadores de recursos financeiros.
Em juros simples o crescimento do capital é linear, veja a seguinte tabela:
	Ano
	Saldo inicial
	Juros do ano
	Pagamento
	Saldo final
	1
	1.000,00
	0,08 x 1.000=80,00
	0,00
	1.080,00
	2
	1.080,00
	0,08 x 1.000=80,00
	0,00
	1.160,00
	3
	1.160,00
	0,08 x 1.000=80,00
	0,00
	1.240,00
	4
	1.240,00
	0,08 x 1.000=80,00
	1.320,00
	0,00
A representação gráfica dos valores da tabela é mostrada a seguir:
2.1. Fórmula de juros simples
No regime de juros simples, os juros de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de juros i sempre sobre o principal PV, fazendo com que os juros tenham o mesmo valor em todos os períodos. Assim, temos:
Juros de cada período: PV x i
Juros de n períodos: n x PV x i
J = PV. i.n
O valor futuro FV, ou montante, resultante da aplicação de um principal PV, durante n períodos, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros simples, é obtido pela expressão:
FV = montante
FV= principal + juros
FV= PV + n x PV x i
FV = PV.(1+i.n)
Exemplo: Considere o caso em que um indivíduo, fez um empréstimo de R$10.000,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros simples, à taxa de 10% a.a.. Qual será o montante e o valor dos juros?
Para o cálculo do montante temos
FV=PV (1 + i x n) 
FV = 1.0000(1+0,10.5) = 1.0000(1,50)= R$ 15.000,00.
Para o cálculo dos juros temos
J = PV. i . n 
J = 1.000 x 0,10 x 5 = 500,00.
Logo o montante será R$ 15.000,00 e o valor dos juros de R$ 500,00.
2.2 Juros simples na HP 12C
A calculadora HP 12C opera, basicamente, no regime de juros compostos. No regime de juros simples a HP 12C calcula o valor dos juros e do montante, com base em uma taxa anual e um prazo diário.
Digite ou calcule o número de dias e aperte n . 
Digite a taxa de juros anual e aperte i . 
Digite o valor do principal e aperte CHS PV.
Aperte f INT para calcular o valor dos juros.
Aperte + para calcular o montante.
Observe que em qualquer cálculo financeiro, taxa e prazo devem estar indicados na mesma unidade referenciais de tempo, porém, no caso da HP 12C, a taxa deve ser anual e o prazo em dias.
Exemplos: 
1. Um amigo lhe empresta R$ 2.000,00 a uma taxa de juros simples de 2% a.m., qual o valor que você deve pagar a seu amigo após 6 meses?
Pela fórmula: 
PV = 5.000,00
FV = PV (1+i.n) 
i =2% ao mês = 0,02 
FV= 2.000.(1+0,02.6)
n = 6 meses
FV = R$ 2.240,00.
Pela HP 12C:
6 ENTER 30 X n
2 ENTER 12 X i
2000 CHS PV 
f INT. ( R$ 240,00 (valor dos juros)
+ ( R$ 2.240,00 (valor do montante)
2. Qual deve ser o valor do montante e dos juros ao final de 60 dias de ma aplicação de R$ 5.000,00 a uma taxa de juros simples de 36% a.a.?
Pela fórmula: 
PV = 5.000
FV = PV (1+i.n)
n = 60 dias
FV = 5.000.(1+0,0010.60)
i = 36% ao ano =
FV = R$ 5.300,00
 = 
360
36
%ao dia = 0,10% =0,0010
J =FV –PV = 5.300 – 5.000 = 300,00
Pela HP 12C:
60 n
36 i
5000 CHS PV 
f INT. ( R$ 300,00 (valor dos juros)
+ ( R$ 5.300,00 (valor do montante)
3. Se um banco remunera suas aplicações a juros simples, qual deverá ser o valor aplicado hoje, a uma taxa de 2% ao mês para obter R$ 6.000,00 ao final de 1 ano?
Pela fórmula:
PV = ?
FV = PV (1+i.n)
n = 1 ano =12 meses
6.000= PV.(1+0,02.12)
i = 2% ao mês =
6.000=PV .1,24
FV = 6.000,00
PV = 
24
,
1
6000
 
PV = R$ 4.838,71
A HP 12C não realiza o cálculo do capital.
É importante entender que toda operação financeira envolve duas unidades de tempo :
1 - a unidade a que se refere a taxa de juros (ex.: i =12% a.m.) 
2 – o prazo de capitalização dos juros (ex.: n = 4 anos).
Essas duas grandezas, para efeito de cálculo, devem estar sempre na mesma unidade de tempo. Uma sugestão é que se altere sempre o prazo n e evite alterar a taxa i, pois, para alterarmos i devemos realizar algumas operações que são diretas em juros simples, mas não em juros compostos.
Relação entre as taxas 
i d x 360 = i m x 12 = i b x 6 = i t x 4 =i s x 2 =i a
onde:
i a = taxa de juros anual
i s = taxa de juros semestral
i t = taxa de juros trimestral
i b = taxa de juros bimestral
i m = taxa de juros mensal 
i d = taxa de juros diária.
Exemplos:
1. Para um empréstimo de R$1.000,00 a uma taxa de juros simples de 6% ao semestre durante 2 anos, qual é o juro capitalizado?
PV = 1.000
 PV = 1.000,00
i =6% a.s. = 0,06 ao semestre.
 i = 6%a.s.= 0,06 x 2 =0,12 ao ano
n = 2 anos = 4 semestres
n = 2 anos
 J= PV i n = 1.000. 0,06. 4 = R$ 240,00. 
J= PV.i.n=1.000.0,12.2 = R$ 240,00.
2. Calcular a taxa anual proporcional a 6% ao mês. 
i a = i m x12 = 6 x 12 = 72 % a.a.
3. Se a taxa anual é de 30%, qual é a taxa mensal?
i a = i m x12
30 = i m x12
i m = 30 /12
i m = 2,5 % a.m.
Exercícios
1. Determinar o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebida a partir da aplicação de um principal de R$10.000,00, com uma taxa de juros de 1% ao mês, sob o regime de juros simples.
2. Determinar o principal que deve ser aplicado a juros simples, com uma taxa de juros de 10% a.a., para produzir um montante de R$10.000,00 num prazo de 15 meses.
3. Determine os juros acumulados em 3 meses de um capital de R$ 80.000,00 aplicados a uma taxa de juros simples de 5,5% ao mês.
4. Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante 9 meses. Ao final desse período, ele pagou R$ 2.700,00 de juros. Determinar o valor do empréstimo.
5. Um capital de R$ 800,00 foi aplicado num fundo de poupança por11 meses, produzindo um rendimento de R$ 352,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por essa operação.
6. Uma aplicação de R$ 2.500,00, rendendo a uma taxa de juros de 4,5% ao mês, produz juros no valor de R$ 675,00. Calcule o prazo da aplicação.
7. Uma pessoa aplica R$1.800,00 à taxa de 8,5% ao mês durante 8 meses. Qual será o valor do montante ao final desse período?
8. Calcular o montante de um capital de R$ 850.000,00 aplicados no regime de juros simples por: 
a) 7 meses a 2,5% a.m.
b) 9 meses a 21,6% a. s.
c) 1 ano e 5 meses a 96% a.a.
9. Determinar os juros e o montante de uma aplicação de R$ 300.000,00 por 19 meses, à taxa linear (simples) de 42% a.a.
10. Qual capital que produz R$18.000,00 de juros simples, à taxa de 3% a.m. pelo prazo de:
a) 60 dias 
b) 80 dias
c) 3 meses e 20 dias
d) 2 anos, 4 meses e 14 dias
11. Uma pessoa aplicou R$ 120.000,00 numa Instituição Financeira resgatando após 7 meses o montante de R$ 160.320,00. Qual a taxa de juros simples mensal que o aplicador recebeu?
12. O montante de um capital de R$ 6.600,00 ao final de 7 meses é determinado adicionando-se R$ 5.544,00 de juros. Calcular a taxa linear mensal e anual utilizada.
13. Se o valor atual de um título é igual a 4/5 de seu valor e o prazo de aplicação foi de 15 meses, qual a taxa de juros simples considerada?
14. Uma mercadoria é oferecida num magazine por R$1.300,00 à vista, ou nas seguintes condições: 20% de entrada e um pagamento de R$ 1.069,12 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que está sendo cobrada.
15. Em quanto tempo um capital de R$ 400.000,00 aplicados a 64,8% ao ano pelo regime linear renderá R$ 194.400,00?
16. Uma dívida é composta de 3 pagamentos no valor de R$ 2.800,00, R$ 4.200,00 e R$ 7.000,00 vencíveis em 60, 90 e 150 dias respectivamente. Sabe-se ainda que a taxa de juros de mercado é de 4,5% ao mês. Determinar o valor da dívida se o devedor liquidar os pagamentos: a) hoje b) daqui a 7 meses.
17. Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco:R$18.000,00 vencíveis em 30 dias; R$ 42.000,00 vencíveis em 90 dias; R$10.000,00 vencíveis em 120 dias. Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema: R$ 20.000,00 em 60 dias; R$ 50.000,00 em 100 dias; o restante em 150 dias. Sendo de 7,5% ao mês a taxa de juros adotada pelo banco nestas operações, pede-se calcular o valor do último pagamento.
18. Se a taxa é de 3% a. b., qual é o seu valor mensal, trimestral, semestral e anual?
3. JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o montante do período. Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante, e assim por diante. No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobre juros periodicamente.
Em juros compostos o crescimento do capital é exponencial, veja a seguinte tabela:
	Ano
	Saldo inicial
	Juros do ano
	Pagamento
	Saldo final
	1
	1.000,00
	0,08 x 1.000,00=80,00
	0,00
	1.080,00
	2
	1.080,00
	0,08 x 1.080,00=86,40
	0,00
	1.166,40
	3
	1.166,40
	0,08 x 1.166,40=93,31
	0,00
	1.259,71
	4
	1.259,71
	0,08 x 1.259,71=100,78
	1.360,49
	0,00
3.1 Fórmulas de Juros Compostos
No regime de juros compostos os juros de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de juros i sobre o capital aplicado no início do período de capitalização. Assim temos:
a) No 1º período de capitalização (n = 1)
Capital no início do período 
= PV
 Juros do período 
= PV. i
Capital no final do período 
= FV = PV + PV. i = PV (1 + i)
b) No 2º período de capitalização (n = 2)
Capital no início do período 
= PV (1 + i)
Juros do período 
= PV (1 + i).i
Capital no final do período 
= FV = PV (1 + i) + PV (1 + i) x i
 
= PV (1 + i) (1+ i)
 
= PV (1 + i) 2
c) No 3º período de capitalização (n =3) FV = PV (1 + i)3
d) No enésimo período de capitalização, temos FV = PV (1 + i) n
Assim, o valor futuro FV, ou montante, resultante da aplicação da aplicação de um principal PV, durante n períodos de capitalização, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos, é obtido pela expressão:
FV = PV.(1+i)n
Onde a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n. Em juros compostos nunca divida ou multiplique a taxa de juros.
Exemplo: Considere o caso em que um indivíduo, fez um empréstimo de R$10.000,00 pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros compostos, à taxa de 10% a.a.. Qual será o montante e o valor dos juros? Pela fórmula temos que FV = PV (1+i)n = 10.000.(1+0,10)5 = R$ 16.105,10.
As principais fórmulas obtidas de FV = PV(1+i)n são:
- Para calcular o capital PV
PV = 
n
i)
(1
FV
+
- Para calcular a taxa i 
i =
1
PV
FV
n
1
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
- Para calcular o prazo n
n =
(
)
i
1
log
PV
FV
log
+
¸
÷
ø
ö
ç
è
æ
- Para calcular o valar dos juros J
J = PV.[(1+i)n – 1] ou J = FV – PV
3.2 Juros Compostos na HP 12C
Antes de realizar cálculos de juros compostos com a HP 12C devemos configura-la. Após a configuração aparecerão alguns indicadores:
	Visor
	Ativar
	Desativar
	Função
	C
	STO EEX
	STO EEX
	Indica a opção de cálculo em juros Compostos nas parcelas de períodos não-inteiros
	BEG
	g BEGIN
	g END
	Indica que a série de prestações é calculada antecipada (primeira prestação paga no ato)
As principais funções na HP 12C para juros compostos são: n, i PV, PMT e FV.
Para usá-las, basta digitar os demais valores e solicitar o valor desejado. Antes de cada novo cálculo devemos limpar a memória da Hp 12C, pressionando as teclas f REG antes de qualquer operação. Observe que isso limpará o conteúdo de todos os registros da HP 12C. Se quiser apagar apenas os registros financeiros pressione as teclas f FIN.
Para calcular PV
Digite o prazo e aperte n . 
Digite a taxa de juros e aperte i . 
Digite o valor futuro e aperte CHS FV.
Aperte PV para calcular o valor presente.
Para calcular FV
Digite o prazo e aperte n . 
Digite a taxa de juros e aperte i . 
Digite o valor presente e aperte CHS PV.
Aperte FV para calcular o valor futuro.
Para calcular i
Digite o prazo e aperte n . 
Digite o valor futuro e aperte FV . 
Digite o valor presente e aperte CHS PV.
Aperte i . para calcular a taxa de juros.
Para calcular n
Digite a taxa de juros e aperte i . 
Digite o valor presente e aperte PV . 
Digite o valor futuro e aperte CHS FV.
Aperte n para calcular o prazo.
Exemplos:
1. Se uma pessoa deseja obter R$ 5.000,00 dentro de um ano, quanto deverá depositar, hoje, em uma poupança que rende 7% ao mês de juros compostos?
2. Qual é o valor de resgate de uma aplicação de R$ 1.200,00, em um título, pelo prazo de 8 meses, à taxa de juros composta de 3,5% ao mês?
3. Determinar a taxa de juros mensal composta de uma aplicação de R$ 4.000,00 que produz um montante de R$ 4.862,00 ao final de um quadrimestre.
4. Um empréstimo no valor de R$ 1.300,00 foi liquidado em uma única parcela de R$ 1.498,80. A taxa de juros compostos vigente para a operação foi igual a 3,5% a.m. Qual o prazo da operação?
3.3 Desconto Racional ou “Por Dentro”
Nas operações de desconto racional a taxa incide sobre o valor presente. O valor do desconto por dentro, expresso em R$, corresponde aos juros acumulados no tempo. Assim, genericamente, ele pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro FV e o valor presente PV, ou seja:
Desconto = FV – PV
Assim, o valor do desconto “por dentro” (Dd), expresso em R$, é obtido pela expressão
Dd = FV – PV =
n
n
i)
(1
1]
i)
FV[(1
+
-
+
Exemplo: Calcule o desconto de um título de valor nominal igual a R$ 1.000,00 descontado cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto por dentro de 3% ao mês.
D = 
n
n
i)
(1
1]
i)
FV[(1
+
-
+
=
5
5
)
03
,
0
1
(
]
1
)
03
,
0
1
[(
000
.
1
+
-
+
 = R$ 137,39
5. Desconto Comercial ou “Por Fora”
Nas operações de desconto comercial a taxa incide sobre o valor futuro. O desconto por fora é aquele que se obtém pelo cálculo do juro sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado em n períodos antes do seu vencimento acrescido de uma taxa prefixada cobrada sobre o valor nominal. 
Os descontos de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d, sempre sobre o valor futuro FV, fazendo com que os descontos tenham o mesmo valor em todos os períodos. Assim, o valor líquido é dado por:
PV = FV (1-d)n.
O valor do desconto “por fora” (Df), expresso em R$, é obtido pela aplicação da expressão:
Df = FV – PV = FV [1-(1-d)n]
Exemplo: Uma duplicata no valor de R$ 12.000,00 foi descontada cinco meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto por fora igual a 2% ao mês. Calcule o valor líquido da operação e o valor do desconto.
PV = FV(1-d)n = 12.000.(1-0,02)5 = R$ 10.847,05 é o valor líquido.
D = FV-PV = 12.000 -10.847,05 = R$ 1.152,95 é o valor do desconto.
3.2 Taxas Equivalentes 
Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos. Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado.
Exemplo
Determinar os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal de $100, no regime de juros compostos, com as seguintes taxas de juros:
(a) 12,6825% ao ano (b)6,1520% ao semestre e (c)1,00% ao mês
6. Fórmulas Relacionando Taxas Equivalentes
Inicialmente, vamos demonstrar a fórmula que relaciona as taxas equivalentes mensal (im) e anual (ia). Para isso consideremos as figuras a seguir:
No regime de juros compostos, a figura referenteà taxa mensal, fornece:
(4) 
 
FV = PV (1 + im)12
enquanto a figura referente a taxa anual, fornece:
(5)
 FV = PV (1 + ia)1
Para que essas taxas sejam equivalentes é preciso que os montantes (FV) dos dois esquemas sejam iguais. Assim, podemos igualar as relações (4) e (5), obtendo:
(1+ im)12 = (1 + ia)
As demais expressões, relacionando a taxa anual com as taxas equivalentes semestral, trimestral e diária, podem ser obtidas de maneira análoga. Se considerarmos o ano comercial (360 dias), as fórmulas que permitem o cálculo dessas taxas equivalentes estão a seguir indicadas:
(6) 
(1 + ia) = (1+ is)2 = (1 + it)4 = (1+ im)12 = (1 + id)360
onde:
i a = taxa de juros anual
i s = taxa de juros semestral
i t = taxa de juros trimestral
i m = taxa de juros mensal 
i d = taxa de juros diária.
Exemplos
1) Determinar as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 1% ao mês.
2) Determinar as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 3% a.t.
3) Determinar a taxa mensal que é equivalente à taxa de 10% ao ano.
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