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MAT 1202 – ÁLGEBRA LINEAR II – 2012.2
ORTOGONALIDADE – 06/09/12
Profs. Christine e Pedro
(1.1) Definição. O produto interno ou produto escalar de dois vetores x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) de
R
n
é denotado por hx, yi ou x · y e dado por:
(1) hx, yi =
nX
k=1
x1 y1 + · · ·+ xnyn.
Este produto tem as seguintes propriedades fundamentais:
(a) hx, yi é linear com respeito a ambos argumentos, i.e., para quaisquer x, x̄, y, ȳ 2 Rn e � 2 R valem:
hx+ �x̄, yi = hx, yi+ � hx̄, yi e hx, y + �ȳi = hx, yi+ � hx, ȳi .
(b) hx, xi � 0 para todo x 2 Rn; vale a igualdade se e somente se x = 0.
(c) hx, yi = hy, xi para quaisquer x, y 2 Rn.
A expressão
p
hx, xi =
q
x21 + x
2
2 + · · ·+ x2n
é chamada de norma de x e denotada por kxk. Dizemos que dois vetores x e y são ortogonais se vale hx, yi = 0.
Note que o vetor-nulo 0 é ortogonal a todo vetor de R
n
. O resultado seguinte justifica esta terminologia.
(1.2) Teorema. Dois vetores não-nulos x, y 2 Rn são ortogonais se e somente se o triângulo em Rn de vértices
0, x e x+ y é retângulo em x.
Prova: Pela lei dos cossenos, o triângulo em questão é retângulo em x se e somente se vale kxk2+kyk2 = kx+ yk2.
Usando a definição de norma, obtemos que esta última igualdade é equivalente a 2(x1y1 + · · ·+ xnyn) = 0, i.e.,
a hx, yi = 0. ⇤
(1.3) Exerćıcio. Mostre que se x 2 Rn é ortogonal a todo vetor y 2 Rn, então x = 0.
(1.4) Exerćıcio. Mostre que se x = (x1, x2) e y = (y1, y2) são dois vetores não-nulos ortogonais, então existe
� 2 R tal que: y1 = �x2 e y2 = ��x1.
Observação. Sejam A uma matriz m⇥n e B uma matriz n⇥ p. Então a (i, j)-ésima entrada de AB é dada por
(AB)(i,j) =
nX
k=1
aikbkj (1  i  m, 1  j  p)
que é justamente o produto interno da linha i de A com a coluna j de B.
(1.5) Exerćıcio. Seja A uma matriz quadrada invert́ıvel. Mostre que a i-ésima linha de A é ortogonal à j-ésima
coluna de A�1 se i 6= j.
(1.6) Teorema. Suponha que v1, . . . , vk 2 Rn sejam não-nulos e mutuamente ortogonais. Então eles são
linearmente independentes.
(1.7) Corolário. Se v1, . . . , vn são n vetores não-nulos e mutuamente ortogonais de Rn então eles formam uma
base deste espaço.
(1.8) Exerćıcio. Encontre dois vetores em R
2
que sejam L.I. mas não ortogonais. Encontre dois vetores
ortogonais mas não L.I..
(1.9) Exerćıcio. Considere os vetores (1, 2,�2, 1), (4, 0, 4, 0) e (1,�1,�1,�1). Quais destes vetores são orto-
gonais?
Dizemos que os vetores v1, . . . , vk 2 Rn são ortonormais se eles são ortogonais e têm todos norma 1.
(1.10) Exerćıcio. Encontre todos os vetores ortogonais a (1, 1, 1) e (1,�1, 0). Encontre a partir destes vetores
uma base ortonormal de R
3
.
(1.11) Definição. Dois subespaços V e W de Rn são ditos ortogonais se todo vetor v de V é ortogonal a
qualquer vetor w de W .
(1.12) Exerćıcio. Suponha que V seja ortogonal a ele mesmo. Mostre que V = {0}. Mais geralmente, mostre
que se W é ortogonal a V então V \W = {0}.
(1.13) Definição. Seja V um subespaço de Rn. O conjunto
W =
�
w 2 Rn : hv, wi = 0 para todo v 2 V
 
forma um subespaço de R
n
, chamado de complemento ortogonal de V e denotado por V ?.
Exemplo. O complemento ortogonal em R
3
de um plano gerado pelos vetores u e v não-nulos é simplesmente a
reta de direção u ⇥ v. Reciprocamente, o complemento ortogonal de uma reta em R3 passando pela origem e
gerada por (a, b, c) é o plano de coordenadas ax+ by + cz = 0.
(1.14) Teorema. Todo subespaço V de Rn possui um único complemento ortogonal V ?. Ele tem as seguintes
propriedades:
(a) V \ V ? = {0}.
(b) V + V ? = Rn.
(c) dimV + dimV ? = n.
A primeira propriedade segue de (1.12). As outras serão mostradas na próxima aula. A propriedade (b) nos
diz que todo vetor x 2 Rn pode ser escrito como uma soma x = v + w, onde v 2 V e w 2 V ?. A propriedade
(a) implica que esta decomposição é única.
(1.15) Corolário. Sejam V e W subespaços ortogonais de Rn. Então W = V ? se e somente se dimW =
n� dimV .
(1.16) Exerćıcio. Se V = {(0, 0, 0, 0)}, quem é V ?? Se V é gerado por (1, 2, 0, 0), quem é V ??
(1.17) Exerćıcio. Seja V subespaço de Rn. Mostre que (V ?)? = V .
(1.18) Teorema. Seja A uma matriz m⇥ n. Então:
(a) O espaço-linha R(At) de A é o complemento ortogonal do núcleo N(A) em Rn.
(b) O espaço-coluna R(A) de A é o complemento ortogonal do núcleo N(At) de At em Rm.
(1.19) Corolário. Seja A uma matriz m⇥ n. Então A leva o espaço-linha R(At) ⇢ Rn bijetivamente em seu
espaço-coluna R(A).
(1.20) Exerćıcio. Verdadeiro ou falso:
(a) Se V é ortogonal a W então V ? é ortogonal a W?.
(b) Se V é ortogonal a W e W é ortogonal a Z então V é ortogonal a Z.
Álgebra Linear II / MAT1202 - 14/04/2020
Aula: Complementos ortogonais e Projeções
Teorema 1 Sejam V um espaço vetorial munido de produto interno e u, v 2 V .
Então a projeção de v sobre (na direção de) u é dada por
Puv =
hu, vi
kuk u
A transformacao P : V ! hui assim definida é linear e satisfaz P 2 = P e
P T = P
Ex. Calcular Puv para u = (2, 4, 4) e v = (1, 1, 1)
1
Como P é linear tem uma matriz associada. Com essa matriz podemos vem
dada por
[P ] =
u · uT
uT · u onde u é um vetor coluna em R
n.
Em geral, a projecao de um vetor v no espaco gerado pelo conjunto de vetores
linearmente independentes {u1, u2, . . . , uk} é calculada assim: defina a matriz
A com colunas {u1, u2, . . . , uk}
A =
2
4
| | |
u1 u2 · · · uk
| | |
3
5
e
P = A(AT · A)�1AT
.
2