Sistemas de Controle Digital

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CAPÍTULO TREZE
Sistemas de Controle Digital
SOLUÇÕES DE DESAFIO DE ESTUDO DE CASO
Controle de Antena: Projeto da Resposta Transitória por Ajuste de Ganho
a. Com base na resposta ao desafio do controle de antena no Cap. 5, a função de transferência direta equiva-
lente obtida desprezando a dinâmica do amplificador de potência, substituindo os potenciômetros por um
ganho unitário e incluindo a integração na estrutura sample-and-hold é
Mas,
Assim, Ge(z) = 0,16K 
 
z
z
� 1
 Gz, ou,
b. Desenhe o lugar das raízes e o superponha à curva � � 0,5 (i.e. ultrapassagem de 16,3%).
Percebemos que o lugar das raízes cruza a curva em aproximadamente 0,93 � j0,11 com 7,659 � 10�4K �
8,63 � 10�3. Portanto, K � 11,268.
c.
Controle de Antena: Projeto de Compensador em Cascata Digital
a. Seja o compensador KGc(s) e o processo Gp(s) � 
 
0 16
1 32
,
( , )
.
s s �
 Para uma ultrapassagem de 10% e um ins-
tante de pico de 1 s, � � 0,591 e �n � 3,895, o que coloca os pólos dominantes em �2,303 � j3,142. Se
colocamos o zero do compensador em �1,32 para cancelar o pólo do processo, então resulta a seguinte
geometria.
Portanto, pc � 4,606. Dessa forma, Gc(s) � 
 
K s
s
( , )
( , )
�
�
1 32
4 606
 e Gc(s)Gp(s) � 
 
0 16
4 606
, K
s s( , )
.
�
 Usando o produ-
to dos módulo dos pólos para obter o ganho, 0,16K � (3,896)2, ou K � 94,87. Portanto, Gc(s) �
 
94 87 1 32
4 606
, ( , )
( , )
.
s
s
�
�
 Usando um intervalo de amostragem de 0,01 s, a transformação de Tustin de Gc(s) é
Gc(z) � 
 
93 35 0 9869
0 955
93 35 92 12
0 955
, ( , )
( , )
, ,
,
.
z
z
z
z
�
�
�
�
�
b. Multiplicando em cruz
Resolvendo para a maior potência em z operando sobre X(z),
Resolvendo para X(z),
Implementando esta equação como um fluxograma, resulta no seguinte diagrama
c.
RESPOSTAS DAS PERGUNTAS DE REVISÃO
1. (1) Funções de supervisão externas à malha de controle; (2) funções de controlador na malha
2. (1) Controle de malhas múltiplas pelo mesmo hardware; (2) modificações feitas em software, não em
hardware; (3) maior imunidade a ruídos (4) usualmente não são requeridos grandes valores de ganho
3. Erro de quantização; tempo de conversão
4. Um amostrador ideal seguido por uma estrutura sample-and-hold
5. z � esT
6. O valor da forma de onda somente nos instantes de amostragem
7. Expansão em frações parciais; divisão para obter uma série de potências
8. Expansão em frações parciais
9. Divisão para obter uma série de potências
10. A entrada deve ser amostrada, a saída deve ser amostrada ou vista como tal.
11. c(t) é c*(t) � c(kT), i.e., a saída somente nos instantes de amostragem.
12. Não; o sinal somente é válido nos instantes de amostragem. Pode ocorrer instabilidade se o sinal é visível
somente nos instantes de amostragem. As raízes do denominador de G(z) devem ser verificadas para ver
se estão no interior do círculo unitário.
13. Um sample-and-hold deve estar presente entre os sistemas em cascata.
14. No interior do círculo unitário
15. Tabela de Raible; teste de estabilidade de Jury
16. z � �1
17. Não existe diferença.
18. Mapeie o ponto de volta para o plano s. Como z � esT, s � (1/T) ln z. Portanto, 	 � (1/T) ln (Re z), e �
� (1/T) ln (Im z).
19. Determine o ponto no plano s e use z � esT. Dessa forma, Re z � e	T cos �, e Im z � e	T sin �.
20. Use as técnicas descritas nos Caps. 9 e 11 e então converta o projeto para um compensador digital usando
a transformação de Tustin.
21. Ambos os compensadores produzem a mesma saída nos instantes de amostragem.
SOLUÇÕES DE PROBLEMAS
1.
Portanto,
 onde x � e�aTz�1.
Mas, F(z)� 
 
1
1
1
11 1�
�
�
�
�� � � �x e z
z
z eaT aT
.
Portanto, F(z) � 1 � z�1 � z�2 � … Como 
 
1
1 1� �z
 � 1 � z�1 � z�2 � z�3 � …, F(z) �
 
z
z
z
z
k
k
�
�
�
�
�
�=
∑
0
1
1
1 1
.
Seja s1 � x � 4x2 � 9x3 � 16x4 � … Portanto, xs1 � x2 � 4x3 � 9x4 � 16x5 � …
Seja s2 � s1 �xs1 � x � 3x2 � 5x3 � 7x4 � … Portanto, xs2 � x2 � 4x3 � 9x4 � 16x3 � …
Seja s3 � s2 �xs2 � x � 2x2 � 2x3 � 2x4 � … Portanto xs3 � x2 � 2x3 � 2x4 � 2x3 � …
Seja s4 � s3 �xs3 � x � x2.
Resolvendo para s3,
e
e
Dessa forma
Mas,
Por conseguinte,
Então,
2.
3.
a.
b.
c.
4.
6.
a.
b.
Para T � 0,5 s,
c.
7.
8.
onde Gaz é a resposta para a parte (a) e Gcz não será determinado:
Mas,
Portanto,
Como � � 2 e T � 0,1,
Dessa forma,
Depois das simplificações,
10.
Acrescente amostradores imaginários às entradas e à retroação das duas malhas internas e obtenha,
Empurre G1(s) para lado esquerdo da junção somadora e acrescente amostradores imaginários à entrada e
à retroação da malha principal. Além disso, acrescente um amostrador imaginário depois de G3(s). Final-
mente, empurre G4(s) e seu amostrador de entrada para lado direito do ponto de distribuição de sinal. O
diagrama de blocos resultante é,
Convertendo em transformadas z,
12.
Usando a Eq. (13.49)
Mas,
As raízes do denominador estão no interior do círculo unitário para 0 � T � 3,923.
13.
16.
17.
Primeiro determine G(z)
Depois, trace o lugar das raízes.
18.
19.
20.
23.
Primeiro determine G(z). G(z)� 
 
K
z
z
z
s
s s s
� �
� �
1 2
1 32
( )
( )( )






 �
 
K
z
z
z
s s s s
�
�
�
�
� �
1 1
18
1
3
1
2
1
1
5
9
1 2
3
1
2






Para T � 1, G(z) � 
 
K
z
z
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
18
0 049787
1
2
0 36788
5
9
1
2
3
1 2
z
z
z
z
z
z
z
z, , [ ]










 0,29782K
 
( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , )
.
z z
z z z
� �
� � �
0 13774 0 55935
1 0 049787 0 36788
 Traçando o lugar das raízes e sobrepondo o círculo de Ts � 15 s,
selecionamos o ponto de interseção (0,4 � j0,63) e calculamos o ganho: 0,29782K � 1,6881. Por conse-
guinte, K � 5,668. Determinando a interseção com o círculo unitário, resulta 0,29782K � 4,4. Dessa forma,
0 � K � 14,77 para estabilidade.
24.
Substituindo a Eq. (13.88) em Gc(s) e fazendo T � 0,01, resulta
Período de amostragem: 0,01
SOLUÇÕES DE PROBLEMAS DE PROJETO
27.
a. Empurre o sinal negativo da dinâmica do veículo para o lado esquerdo da junção somadora. O compu-
tador será representado pala parte interna do bloco com três entradas e uma saída amostradas. G(s)
representa a função de transferência do atuador do leme combinada com a dinâmica do veículo. Além
disso, o sensor da velocidade angular de guinada é mostrado de forma equivalente antes do integrador
com retroação unitária.
onde G(s) � 
 
0 25 0 437
2 1 29 0 193
, ( , )
( )( , )( , )
.
s
s s s
�
� � �
b. Acrescente um amostrador imaginário na saída e empurre G(s) junto com seu dispositivo sample and
hold para o lado direito do ponto de distribuição de sinal.
Desloque o amostrador da malha externa para a saída de 
G s
s
( )
 e escreva as transformadas z das funções
de transferência.
onde
e
Determine agora a transformada z de G1(s) e de G2(s). Para G1(z), como
Para G2(z), como
Determine agora a função de transferência a malha fechada. Primeiro encontre a função de transferência
direta equivalente.
Dessa forma,
Substituindo valores,
c. Usando Ge(z), trace o lugar das raízes e veja onde ele cruza o círculo unitário.
O lugar das raízes cruza o círculo unitário onde 3,8642 � 10�5K � 5,797 � 10�4, ou K � 15.
28.
a. Primeiro obtenha G(z).
Para T � 0,1,
b.
c. O lugar das raízes cruza o círculo unitário em �1 com um ganho, 7,9405 � 10�5K � 10.866, ou 0 �
K � 136,84 � 106.
Veja a parte (b) para o traçado do lugar das raízes
29.
a. Primeiro encontre G(z). G(z) � K 
 
z
z
z
s s
K
z
z
z
s
�
�
�
�
�
� �
1 20 000
100
1
2
1
100
2
1
2
200
2
.
( )












Para T � 0,01, G(z) � 
 
K
z
z
�
�
�
�
�
�
1
1 1 0 367882
z
z
z
z
z
z[ ] ,






 � 0,73576K
 
z
z z
�
� �
0 71828
1 0 36788
,
( )( , )
.
b. Traçando o lugar das raízes. Encontrando a interseção com o círculo unitário, resulta 0,73576K � 1,178.
Dessa forma, 0 � K � 1,601 para estabilidade.c. Usando o lugar das raízes, encontramos a interseção com curva de ultrapassagem de 15% (� � 0,517)
em 0,5955 � j0,3747 com 0,73576K � 0,24. Dessa forma K � 0,326.
30.
Substituindo a Eq. (13.88) com T � 1/3 s,
Desenhando o diagrama de blocos resulta
31.
a. A partir do Cap. 9, o processo sem os potenciômetros e amplificador de potência de ganho unitário é
O controlador PID e filtro rejeita faixa com ganho ajustado para substituir os potenciômetros (i.e., dividi-
do por 100) era
Dessa forma, Ge(s) � Gp(s)Gc(s) é
O diagrama de magnitude de Bode de Ge(s) mostra �c � 36,375 rad/s. Dessa forma, o T máximo deve
estar na faixa de 0,15/�c a 0,5/�c, ou seja de 4,1237e-03 a 1,3746e-02. Escolhamos T � 0,001.
Executando a transformação de Tustin sobre Gc(s), resulta
b. Desenhando o diagrama de blocos