03_INTRODUCAO_MODELAGEM_2020_1

Prévia do material em texto

Introdução à 
modelagem 
Prof. Silvio Leite 3 
Aula: 
TEORIA DA DECISÃO 
E SIMULAÇÕES EM 
NEGÓCIOS 
Implantação 2019.2 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 
 1.Compreender os fundamentos lógicos e matemáticos 
da decisão 
2.Tomar decisões embasadas em fatos, dados e 
métodos quantitativos 
3.Compreender os modelos de otimização da decisão 
4.Aplicar ferramentas de apoio a decisão para 
resolução de problemas práticos. 
3 
Aula: Introdução à modelagem 
Modelos de Otimização: Otimização 
Linear, Otimização com números 
inteiros, Otimização não-linear, 
Modelos Probabilísticos 
REFERÊNCIAS 
Básicas 
SILVA, Ermes Medeiros da. Pesquisa 
operacional: para os cursos de 
administração e engenharia: programação 
linear, simulação.4. Ed. São Paulo: Atlas, 
2010. 
Complementares 
BARBOSA, Marcos Antônio; ZANARDINI, Ricardo 
Alexandre Deckmann. Iniciação à pesquisa 
operacional no ambiente de gestão. 3 ed. Curitiba: 
Intersabares, 2015. 
 
 
 
6 
BLACKBOARD 
Os slides com o 
conteúdo desta 
aula estão ao 
lado do... 
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=N
CVEHT30MA4 
Situação de certeza, risco e 
incerteza na tomada de decisão: 
 
Nem sempre conseguimos as 
informações necessárias e, nesse 
cenário, comumente o processo 
decisório envolve três situações. 
São elas: 
certeza, 
risco e 
incerteza. 
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
https://www.youtube.com/watch?v=NCvEHT30mA4
1. A TOMADA DE DECISÃO 
Podemos entender a tomada de 
decisão como o processo de identificar 
um problema ou uma oportunidade e 
selecionar uma linha de ação para 
resolvê-lo. 
Um problema ocorre quando o estado 
atual de uma situação é diferente do 
estado desejado. 
Lachtermacher (2009) 
1. A TOMADA DE DECISÃO 
Diante de uma situação na qual uma decisão deve 
ser tomada entre uma série de alternativas 
conflitantes e concorrentes, duas opções básicas 
se apresentam: 
 
 
1) usar a sua intuição gerencial e 
2) realizar um processo de modelagem da 
situação e realizar exaustivas simulações dos mais 
diversos cenários de maneira a estudar mais 
profundamente o problema. 
Lachtermacher (2009) 
12 
2. TIPOS DE MODELOS 
 
No que se refere aos modelos existe na 
literatura e na prática de gestão três 
tipos: 
 os físicos: exemplifica Lachtermacher 
(2009, p. 5), “os de aeronaves e casas 
utilizados por engenheiros” 
13 
[..] modelos existe na literatura e na 
prática de gestão três tipos: 
 os análogos: representam “as 
relações utilizando diferentes meios”, 
como por exemplo “os mapas 
rodoviários, que representam as 
rodovias de uma região por meio de 
traços sobre um papel”. 
2. TIPOS DE MODELOS 
 
14 
[..] modelos existe na literatura e na 
prática de gestão três tipos: 
 os matemáticos ou simbólicos, 
quando representados por relações 
matemáticas, como equações, 
inequações, funções ou logica 
simbólica. 
 Os MODELOS MATEMÁTICOS, são 
os mais utilizados nas atividades 
gerenciais. 
2. TIPOS DE MODELOS 
 
Os modelos simbólicos 
(matemáticos), em que uma das 
variáveis representa uma decisão 
gerencial a ser tomada denominam-se 
modelos de decisão. 
Geralmente, as decisões são feitas para 
que um objetivo seja atingido. 
 
2. TIPOS DE MODELOS 
 
Duas características dos modelos matemáticos 
devem ser ressaltadas. 
a. O modelo sempre será uma simplificação da 
realidade. 
b. Detalhes devem ser incorporados ao modelo 
de forma cuidadosa para que: 
 • Os resultados atinjam suas necessidades. 
 • Seja consistente com as informações 
disponíveis. 
 • Seja modelado e analisado no tempo 
disponível para tal. 
 
2. TIPOS DE MODELOS 
 
Os modelos matemáticos podem ser 
classificados quanto ao nível de incerteza 
existente entre as relações das variáveis, 
como modelos determinísticos ou 
probabilísticos. 
 
2. TIPOS DE MODELOS 
 
Modelos matemáticos 
Determinísticos Modelos em que todas as 
informações relevantes são assumidas como 
conhecidas (sem incertezas) 
 
Probabilísticos Modelos em que uma ou 
mais variáveis de decisão não são conhecidas 
com certeza. 
Esta incerteza deve ser incorporada ao 
modelo. 
 
 
2. TIPOS DE MODELOS 
 
2. TIPOS DE MODELOS 
 
Modelos 
matemáticos 
3. PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA 
Desde a antiguidade vários cientistas tais como Euclides, 
Newton, Von Neumann, dentre muitos outros, tem 
dedicado seus estudos a pesquisa do ótimo. 
A área que estuda Problemas de Otimização é 
denominada Programação Matemática que engloba uma 
ampla classe de problemas (CARDOSO, 2011). 
O termo programação 
significa que existe um 
planejamento das 
atividades. 
 
3.1 PROGRAMAÇÃO LINEAR 
É um subitem da programação 
matemática 
É um dos modelos utilizados em pesquisa 
operacional. 
É um modelo de otimização. 
Tem como objetivo: 
 "Alocar recursos escassos (ou limitados) a 
atividades em concorrência (em 
competição)" 
 PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA 
 Programação Linear (LP) 
 Problemas de distribuição de recursos. 
 Problemas de transporte 
 Problemas de planejamento da produção 
 Problemas de corte de materiais, etc. 
 Programação Não Linear 
 Programação Dinâmica 
 Programação Inteira 
 Otimização Global 
Programação = 
planejamento de 
atividades 
É um subitem da programação matemática 
3.1 PROGRAMAÇÃO LINEAR 
3.2 APLICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO E DAS 
RESTRIÇÕES EM PL 
Problemas de otimização envolvem 
 maximizar (aumentar) 
 minimizar (diminuir) 
...uma função 
(receita, custo, 
demanda, produção, 
etc) 
Função é uma relação entre dois conjuntos na qual existe uma ligação 
unívoca entre os elementos.(HOUAISS; VILLAR, 2009 apud BARBOSA; 
ZANARDINI, 2010, p. 31) 
 
correspondência unívoca MATEMÁTICA 
 correspondência entre dois conjuntos, na qual a cada elemento do 
primeiro corresponde um só elemento do segundo 
 
univŏcu
Função objetivo em PL 
 
Se o problema for maximizar z: 
max z = c1x1 + c2x2 + ...... cnxn 
Se o problema for minimizar z: 
min z = c1x1 + c2x2 + ...... cnxn 
Em ambos os casos c1, c2....... cnxn são números reais e 
x1, x2 ...... xn são as variáveis do problema 
 
 
3.2 APLICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO E DAS 
RESTRIÇÕES EM PL 
http://www.infopedia.pt/lingua-portuguesa/un%C3%ADvoca;jsessionid=CdXrqXNdTduK6AO3iPQ-ag__
http://www.infopedia.pt/lingua-portuguesa/un%C3%ADvoca;jsessionid=CdXrqXNdTduK6AO3iPQ-ag__
http://www.infopedia.pt/lingua-portuguesa/un%C3%ADvoca;jsessionid=CdXrqXNdTduK6AO3iPQ-ag__
http://www.infopedia.pt/lingua-portuguesa/un%C3%ADvoca;jsessionid=CdXrqXNdTduK6AO3iPQ-ag__
http://www.infopedia.pt/lingua-portuguesa/un%C3%ADvoca;jsessionid=CdXrqXNdTduK6AO3iPQ-ag__
Restrições em PL 
Alguns exemplos: 
 Um agricultor que deseja plantar diversas culturas, 
mas que tem um limite de espaço  restrição espacial 
 Um investidor que deseja diversificar suas 
aplicações, mas que possui apenas R$ 100 mil para aplicar 
 restrição de capital 
 Uma transportadora tem como objetivo otimizar as 
entregas, mas que só pode contar com 18 caminhões  
restrição de equipamentos 
3.2 APLICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO E DAS 
RESTRIÇÕES EM PL 
3.3 FORMA GERAL OU PADRÃO DE UM PROBLEMA 
DE PL 
max z = c1x1 + c2x2 + ...... cnxn 
s.a. a11x1 + a12x2 + ...... a1nxn ≤ b1 
 a21x1 + a22x2 + ......a2nxn ≤ b2 
 . 
 . 
 . 
 am1x1 + am2x2 + ...... amnxn ≤ bm 
 X1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ...... xn ≥ 0 
27 
De maneira geral, um problema de tomada de 
decisão requer solução que atenda as seguintes 
condições: 
1. As variáveis do problema — São os fatores 
que se quer controlar e aqueles que se 
deseja saber quanto valem. 
São esses os elementos que irão representar as 
variáveis de decisão (incógnitas encontradas na 
solução do modelo). 
3.3 FORMA GERAL OU PADRÃO DE UM PROBLEMA 
DE PL 
28 
2. Os parâmetros do problema — 
Correspondem aos valores fixos do 
problema. 
Normalmente são valores financeiros dos 
dados ou das variáveis que se apresentam 
no problema, como, por exemplo, o custo 
fixo para a produção de um determinado 
produto. 
 
3.3 FORMA GERAL OU PADRÃO DE UM PROBLEMA 
DE PL 
29 
3. As restrições —São aqueles aspectos 
que limitam as combinações e 
consequentemente as variáveis de 
soluções possíveis. 
4. A função objetivo — É uma função 
matemática que será usada para 
maximizar ou minimizar, dependendo 
do objetivo em relação ao problema 
focado. 
3.3 FORMA GERAL OU PADRÃO DE UM PROBLEMA 
DE PL 
30 
Digamos que a empresa Aves & Flora — 
produza ração para aves. Ela fabrica dois 
tipos: 
- a ração Super (para a fase inicial) (x) e 
- a ração Extra (para a fase de crescimento) 
(y). 
Em ambas, mistura 10% de “núcleo de 
frango de corte”, conforme recomendações 
dos setores especializados. 
3.3 FORMA GERAL OU PADRÃO DE UM PROBLEMA 
DE PL 
31 
 
na Super (x) utiliza 60% de milho moído e 
30% de farelo de soja; 
 
na Extra (y) utiliza 70% de milho moído e 
20% de farelo de soja; 
32 
 A ração Super (x) é vendida por R$ 
2,20/Kg 
A ração Extra (y) é vendida por R$ 
2,80/Kg. 
33 
Informações sobre a matéria-prima: 
 Custo por 
quilo 
Estoque 
mensal 
milho moído R$ 2,00 100.000 kg 
farelo de soja R$ 3,00 20.000 kg 
núcleo 
frango 
R$ 0,50 ilimitado 
34 
A empresa deseja saber qual a quantidade de 
ração deve ser produzida para maximizar a 
receita, o que você faria? 
 
Aplicar os quatro passos vistos anteriormente 
 Verificar As variáveis do problema 
 Identificar Os parâmetros do problema 
 Levantar As restrições 
 Definir A função objetivo 
3
5 
Verificar As variáveis do 
problema 
 
 
Quantidade de ração 
de cada tipo: 
Ração Super (x) 
Ração Extra (y) 
36 
Identificar Os 
parâmetros do 
problema 
 
Preço venda da ração; 
Quantidade de MP: 
- milho moído; 
- farelo de soja. 
- núcleo de frango 
37 
Levantar As restrições 
Quantidade de estoque: 
 - Milho; 
 - Farelo de soja 
 Estoque 
mensal 
milho moído 100.000 kg 
farelo de soja 20.000 kg 
núcleo frango ILIMITADO 
Restrições: 
na Super (x) utiliza 60% de milho moído e 30% 
de farelo de soja; 
na Extra (y) utiliza 70% de milho moído e 20% 
de farelo de soja; 
 
38 
 (x) 
Super 
(y) 
Extra 
Estoque 
mensal 
milho moído 0,6 kg 0,7 kg 100.000 kg 
farelo de 
soja 
0,3 kg 0,2 kg 20.000 kg 
núcleo 
frango 
0,1 kg 0,1 kg ilimitado 
Restrições MP: 
0,6 x + 0,7 y ≤ 100.000 (quant. Milho) 
0,3 x + 0,2 y ≤ 20.000 (quant. Farelo soja) 
 
 
39 
 (x) 
Super 
(y) 
Extra 
Estoque 
mensal 
milho moído 0,6 kg 0,7 kg 100.000 kg 
farelo de soja 0,3 kg 0,2 kg 20.000 kg 
núcleo 
frango 
0,1 kg 0,1 kg ilimitado 
40 
Definir a função objetivo 
 
Equação linear que 
determina a quantidade de 
ração a ser produzida para 
maximizar a RECEITA 
(Y= ax + b) 
Maximize a RECEITA 
Max Z = 2,20x + 2,80y 
 
Sujeito a: 
0,6 x + 0,7 y ≤ 100.000 (quant. Milho) 
0,3 x + 0,2 y ≤ 20.000 (quant. Farelo 
soja) 
x, y ≥ 0 
 
AVALIAÇÃO 
FORMATIVA 
Questão 1. Uma empresa deseja programar a produção de um 
utensílio de cozinha que requer o uso de dois tipos de recursos – 
mão-de-obra e material. A companhia está considerando a 
fabricação de três modelos e o seu departamento de engenharia 
forneceu os dados a seguir: 
Modelo 
A B C 
Mão-de-obra 
(horas por 
unidade) 
7 3 6 
Material 
(kg por unidade) 
4 4 5 
Lucro 
($ por unidade) 
4 2 3 
O suprimento de material é de 
200 kg por dia. 
A disponibilidade diária de 
mão-de-obra é 150 horas. 
Formule um modelo de 
Programação Linear para 
determinar a produção diária 
de cada um dos modelos de 
modo a maximizar o lucro 
total da empresa. 
Uma Solução 
 
1. Identificação das variáveis de decisão: 
 XA – produção diária do modelo A 
 XB – produção diária do modelo B 
 XC – produção diária do modelo C 
 2. Identificação os parâmetros: Modelo 
A B C 
Mão-de-obra 
(horas por 
unidade) 
7 3 6 
Material 
(kg por unidade) 
4 4 5 
Lucro 
($ por unidade) 
4 2 3 
3. Identificação das restrições: 
(Limitação de mão-de-obra) 7XA + 3XB + 6XC  150 
(Limitação de material) 4XA + 4XB +5XC  200 
(Não-negatividade) XA  0, XB 0, XC  0. 
4. Identificação do objetivo: maximização do lucro 
total 
Lucro Total = L = 4XA + 2XB +3XC 
Max L = 4XA + 2XB +3XC 
Modelo 
A B C 
Mão-de-obra 
(horas por unidade) 
7 3 6 150 
Material 
(kg por unidade) 
4 4 5 200 
Lucro 
($ por unidade) 
4 2 3 
 
Modelo de PL 
Encontrar números XA, XB, XC tais que: 
 
Max (L) = 4XA + 2XB +3XC 
 
 
Sujeito as restrições: 
7XA + 3XB +6XC  150 
4XA + 4XB +5XC  200 
XA  0, XB 0, XC  0 
Questão 2. Uma empresa pode fabricar dois 
produtos (1 e 2). 
 
Na fabricação do produto 1 a empresa gasta 
nove horas-homem e três horas-máquina (a 
tecnologia utilizada é intensiva em mão-de-
obra). 
Na fabricação do produto 2 a empresa gasta 
uma hora-homem e uma hora-máquina (a 
tecnologia é intensiva em capital). 
 
A empresa dispõe de 18 horas-homem e 12 
horas-máquina para um período de produção. 
Sabe-se que os lucros líquidos dos produtos são 
$4 e $1 respectivamente. 
Quanto a empresa deve fabricar de cada 
produto para ter o maior lucro? 
 
Uma Solução 
1. Identificação das variáveis de decisão: 
 X1 – produção diária do modelo 1 
 X2 – produção diária do modelo 2 
2.Identificação os parâmetros: 
 
 
 
 
 
Modelo 
1 2 
Mão-de-obra 
(horas por unidade) 
9 1 
Máquina 
(horas por unidade) 
3 1 
Lucro 
($ por unidade) 
4 1 
Na fabricação do produto 1 a 
empresa gasta nove horas-homem e 
três horas-máquina 
Na fabricação do produto 2 a 
empresa gasta uma hora-homem e 
uma hora-máquina. 
Sabe-se que os lucros líquidos dos 
produtos são $4 e $1 
respectivamente. 
3. Identificação das restrições: 
Limitação de Mão-de-obra  9x1 + x2 ≤ 18 
Limitação de Máquinas  3x1 + x2 ≤ 12 
(Não-negatividade) X1  0, X2 0 
 
 4. Identificação do objetivo: maximização do 
lucro total 
Lucro Total = L = 4X1 + X2 
Max L = 4X1 + X2 
Modelo 
X1 X2 
Mão-de-obra 
(horas por unidade) 
9 1 18 
Máquina 
(horas por unidade) 
3 1 12 
Lucro 
($ por unidade) 
4 1 
 
Modelo de PL 
Encontrar números X1 e X2, tais que: 
 
Max L= 4X1 + X2 
 
 
Sujeito as restrições: 9x1 + x2 ≤ 18 
 3x1 + x2 ≤ 12 
 X1  0, X2 0 
 
 
Questão 3. A Gerência está procurando um programa de 
produção que aumente o lucro da empresa com a fabricação de 
dois modelos de brinquedos: B1 e B2. 
• Lucros unitários/dúzia: R$ 8,00 para B1 e R$ 5,00 para B2 
• Recursos disponíveis: 
 1.000 kg de plástico especial. 
 40 horas para produção semanal. 
 
• Requisitos do Departamento de Marketing: 
 Produção total não pode exceder 700 dúzias; 
 A quantidade de dúzias de B1 não pode exceder em 350 a 
quantidade de dúzias de B2. 
 
• Dados técnicos: 
 B1 requer 2 kg de plástico e 3 minutos por dúzia. 
 B2 requer 1 kg de plástico e 4 minutos por dúzia. 
Uma Solução 
1. Identificação das variáveis de decisão: 
 B1 – produção diária do brinquedo 1 
 B2 – produção diária do brinquedo 2 
2.Identificação os parâmetros: 
 
 
 
 
 
Brinquedo 
B1 B2 
Matéria-prima 
(kg/plástico) 
2 1 
Máquina 
(minutos por dúzia) 
3 4 
Lucro 
($ por unidade) 
8 5 
 Dados técnicos:B1 requer 2 kg de plástico e 3 
minutos por dúzia. 
 B2 requer 1 kg de plástico e 4 
minutos por dúzia. 
3. Identificação das restrições: 
Recursos disponíveis: 
2B1 + 1B2 ≤ 1000  1.000 kg de plástico especial. 
3B1 + 4B2 ≤ 2400  (40 horas x 60 minutos) para 
produção semanal. 
 Brinquedo 
B1 B2 
Matéria-prima 
(kg/plástico) 
2 1 1000 
Máquina 
(minutos por dúzia) 
3 4 2400 
Lucro 
($ por unidade) 
8 5 
Recursos disponíveis: 
1.000 kg de plástico 
especial. 
40 horas para produção 
semanal. 
3. Identificação das restrições: 
Recursos disponíveis: 
2B1 + 1B2 ≤ 1000  1.000 kg de plástico especial. 
3B1 + 4B2 ≤ 2400  (40 horas x 60 minutos) para 
produção semanal. 
 
Requisitos do Departamento de Marketing: 
B1 + B2 ≤ 700  Produção total não pode exceder 
700 dúzias; 
 B1 - B2 ≤ 350  A quantidade de dúzias de B1 não 
pode exceder em 350 a quantidade de dúzias de B2. 
Não negatividade 
B1  0, B2  0 
4. Identificação do objetivo: 
Lucros unitários/dúzia: 
R$ 8,00 para B1 e R$ 5,00 para B2 
 
Max L = 8B1 + 5B2 (Lucro semanal) 
 sujeito a: 
 2B1 + 1B2 ≤ 1000 (Plástico - Kg) 
 3B1 + 4B2 ≤ 2400 (Tempo de produção - minutos) 
 B1 + B2 ≤ 700 (Produção total) 
 B1 - B2 ≤ 350 (mix) 
 B1  0, B2  0 (Não negatividade) 
Questão 4. (CARDOSO, 2011 p.50) A empresa TécniBOLA S.A. 
tem como única atividade a fabricação de bolas, sendo todas elas 
em couro e fabricadas segundo os processos primordiais. 
Atualmente fabrica dois produtos, a bola de futebol Catechumbo e 
a bola de volei Voleitok. Ambos os produtos são feitos do mesmo 
material, variando apenas na dimensão, tipo de costuras e 
rotulagem. 
Os recursos que definem a fabricação das bolas são: o corte do 
couro, o trabalho de costura, a pintura de inscrições na bola e 
preparação final. Esta última é composta pelas atividades de 
enchimento, controle de qualidade (inspeção visual, calibração e 
pesagem) e embalagem. 
 
Para a tomada de decisão, a empresa disponibilizou 
informações a respeito dos valores monetários envolvidos (em 
u.m.) nos seus produtos, apresentados a seguir: 
 
Bola Custo de 
Produção 
Preço de 
venda 
Catechumbo 26,00 32,50 
Voleitok 15,00 25,00 
Os dados fornecidos pela empresa referentes à quantidade de 
recursos necessários para a produção de cada tipo de bola e 
as quantidades disponíveis para o dia de amanhã são os 
indicados na tabela: 
 
59 
Como deve ser distribuída a produção amanhã de forma a 
maximizar o lucro, tendo em conta os recursos existentes? 
Variáveis de decisão: 
x: número de bolas Catechumbo a ser produzido amanhã. 
y: número de bolas Voleitok a ser produzido amanhã. 
 
Bola Custo de 
Produção 
Preço de 
venda 
Lucro 
Catechumbo 26,00 32,50 6,50 
Voleitok 15,00 25,00 10,00 
maximizar o lucro 
Bola Custo de 
Produção 
Preço de 
venda 
Catechumbo 26,00 32,50 
Voleitok 15,00 25,00 
max z = 6,5x + 10y 
Sujeito a: 
x + y ≤ 25  restrição câmera de ar 
25x + 9y ≤ 480  restrição operação de costura 
6x + 11y ≤ 240  restrição operação de finalização 
X ≥ 0 e Y ≥ 0  não negatividade 
a) max z = 26x + 15y 
b) max z = 32,5x + 25y 
c) max z = 6,5x + 10y 
Questão 5. (FOGLIATTO, s.d. p.6) A Politoy S/A fabrica 
soldados (x) e trens de madeira (y). 
Cada soldado é vendido por R$27 e utiliza R$10 de matéria-
prima e R$14 de mão-de-obra. Duas horas de acabamento 
e 1 hora de carpintaria são demandadas para produção de 
um soldado. 
Cada trem é vendido por R$21 e utiliza R$9 de matéria-
prima e R$10 de mão-de-obra. Uma hora de acabamento e 
1 h de carpintaria são demandadas para produção de um 
trem. 
A Politoy não tem problemas no fornecimento de matéria 
prima, mas só pode contar com 100 h de acabamento e 80 
h de carpintaria. 
A demanda semanal de trens é ilimitada, mas no máximo 
40 soldados são comprados a cada semana. 
A Politoy deseja maximizar seus lucros semanais. 
Formule um modelo matemático a ser utilizado nessa 
otimização. 
Max z = 3x + 2y 
 
 
Cada soldado é vendido por R$27 e utiliza 
R$10 de matéria-prima e R$14 de mão-de-
obra.  Lucro = 27 – 10 – 14 = 3 
Cada trem é vendido por R$21 e utiliza R$9 
de matéria-prima e R$10 de mão-de-obra. 
 Lucro = 21 – 9 – 10 = 2 
Sujeito a: 
2x + y ≤ 100  restrição de horas de acabamento 
x + y ≤ 80  restrição de horas de carpintaria 
x ≤ 40  restrição de demanda 
x ≥ 0; y ≥ 0  restrição de não-negatividade 
https://www.professormatusalem.com/1 
https://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-
superior/pesquisa-operacional/