CALCULO II - ESTACIO - AULA 2 CURVAS NO ESPAÇO

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia II
Aula 02: Curvas no Espaço
Apresentação
Na aula passada demos início ao conteúdo de funções vetoriais, nesta aula continuaremos abordando o assunto a partir dos
conceitos de derivada e integral na aplicação da velocidade e aceleração vetorial.
Objetivos
Usar a derivada e a integral em situações que envolvam cálculo com funções vetoriais;
Aplicar os conceitos de derivadas e integral em problemas que englobem velocidade e aceleração.
Movimento no espaço: velocidade e aceleração vetorial
O conceito de uma derivada de uma função vetorial se
assemelha muito com a de�nição de uma derivada de uma
função real, sendo que a primeira está diretamente ligada ao
movimento de uma partícula no plano em um instante t.
Vamos supor que uma partícula tenha o seu movimento no
espaço de forma que seu vetor posição no instante t seja r(t).
A �gura ao lado expressa melhor essa de�nição.
 Figura 1.
A �gura destaca que, para pequenos valores de h, o vetor se aproxima
da direção da partícula que se move ao longo da curva r(t).
r(t+h)−r(t)
h
Se nos lembramos da de�nição da derivada de uma função real, vemos a semelhança entre as duas de�nições e, assim como na
função de variável real, a derivada de uma função vetorial também tem a sua interpretação física.
O vetor velocidade
Tomando como base a Figura 1, temos que o vetor representado por serve para fornecer o vetor que nos dá a
velocidade média, em um intervalo de tempo de comprimento h, isto nos diz que o seu limite é o vetor velocidade v(t) no instante
t.
Em outras palavras:
r(t+h)−r(t)
h
v(t)  =       =  r'(t)lim
h→0
r(t+h) − r(t)
h
Ao nos lembrarmos da de�nição de derivada de uma função real, podemos fazer a seguinte associação:
O vetor que representa a velocidade é tangente, cuja direção é a mesma da reta tangente à
curva.
Vejamos agora alguns exemplos do conceito de derivada aplicado ao caso da velocidade.
Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online
Exemplo
1 - O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento, em um plano, é dado por . Determine a
sua velocidade quando t = 1.
Resolução:
Quando usávamos o conceito de derivada aplicado à Cinemática, tínhamos que a função da velocidade instantânea poderia ser
obtida por meio da primeira derivada da função posição. O mesmo conceito será utilizado nesse caso para solucionarmos essa
questão, sendo assim:
Antes de continuar seus estudos, veja outros exemplos <galeria/aula2/anexo/exemplo01.pdf> .
r (t) =    i + 3tjt2
v(t) = r' (t)
v (t) =  2t + 3
v (1) =  2 .  1i + 3j
v (1) =  2i + 3j
Os exemplos vistos, são para cálculos de velocidades instantâneas. Ao abordarmos o conceito de velocidade escalar devemos
pensar como sendo o módulo de vetor v, ou seja:
v(t) = r'(t) =∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ dsdt
Vejamos agora alguns exemplos de aplicação desse conceito.
Exemplo
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/galeria/aula2/anexo/exemplo01.pdf
1. O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento, em um plano, é dado por . Determine a
sua velocidade escalar quando t = 2.
Resolução:
Para podemos resolver essa questão, antes de mais nada, devemos derivar a função r(t), sendo assim:
Agora, vamos substituir t = 2, aí temos:
O módulo de , daí encontramos:
Veja outro exemplo para �xar melhor o conteúdo.
r (t) =  2  i + 3tjt4
r (t) =  2 i + 3tjt4
r'(t) =  8 i + 3jt3 
r' (2) =  8.  i + 3j23
r' (2) =  64i + 3j
r'(t) =   x(t + y(t)2 )2
− −−−−−−−−−
√
r'(2) =∣∣ ∣∣ +642 32
− −−−−−−
√
r'(2) =∣∣ ∣∣ 4105
− −−−√
1
Não são apenas as velocidades instantânea e escalar que podemos calcular; a partir da
função da posição podemos encontrar também a aceleração que é um movimento
unidimensional.
Da mesma maneira como na função de valor real, aplicada à Cinemática, a aceleração vetorial pode ser calculada pela derivada
da função velocidade ou simplesmente a segunda derivada da função que dá o movimento do plano.
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/AULA2.HTML
Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online
a(t) = v'(t) = r'' (t)
Vejamos alguns exemplos de aplicação.
Exemplo
1. O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento, em um plano, é dado por 
Determine a sua aceleração em um instante t.
Como a aceleração é a segunda derivada da função posição ou simplesmente a derivada da função velocidade, temos:
.
Derivando novamente a função, encontramos:
Antes de continuar seus estudos, veja mais alguns exemplos <galeria/aula2/anexo/exemplo02.pdf> .
r (t) =   i + 3 jt3 t2
v(t) = r' (t)
v (t) =  3 i + 6tjt2
a(t) = v'(t)
a (t) =  6ti + 6j
Na aula anterior, foi visto o cálculo de integral e derivadas vetoriais, que até o momento estamos utilizando.
Vejamos agora como podemos fazer uso da integral vetorial para nos auxiliar quando precisarmos determinar uma velocidade
vetorial, ao ser conhecida a aceleração ou mesmo a posição, se soubermos a velocidade.
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/galeria/aula2/anexo/exemplo02.pdf
Isso é possível, pois a integral, como sabemos, é o processo inverso da derivada, portanto,
faremos uso desse conceito.
Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online
Vejamos os exemplos para entender melhor.
Exemplo
1. Uma partícula movendo-se começa em uma posição igual a , com uma velocidade inicial 
, sua aceleração é , determine a sua velocidade no instante t =1.
Resolução:
Iniciando pela velocidade, temos que , sendo assim:
Quando t = 0 temos , isso signi�ca que , ou , logo:
Efetuando a soma termo a termo:
Uma vez descoberta a função velocidade, podemos calcular a velocidade em t =1, logo:
Veja mais um exemplo <galeria/aula2/anexo/exemplo03.pdf> .
r (0) = i + j + k
v(0) =  2i − 2j + k a(t) =  ti + j + k
v (t) =   ∫ a(t)dt
v (t) =   ∫ (ti + j + k)dt 
v (t) =    i  +  tj  +  tk  +  ct2
2
v(0) =  2i − 2j + k v(0) =  C  C =  2i − 2j + k
v (t) =     i + tj + tk + Ct2
2
v (t) = i  +  tj  +  tk  +  t2
2
2i−2j+k
c
v (t) = ( + 2) i + (t − 2)j  + (t + 1)kt2
2
v (1) = ( + 2) i + (1 − 2)j + (1 + 1)k12
2
v (1) = ( )i  +  (−1)j  +  (2)k5
2
As funções vetoriais foram muito utilizadas na Física por Kepler. Como não é a �nalidade desta aula, deixamos como fonte de
consulta o link no “Explore +”, um material detalhando como foi usado esse conceito para descrever as órbitas dos planetas.
Atividade
1. O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento em um plano é dado por . A sua
velocidade no instante t = 2 é:
r (t) =    i + 3tjt4
a) v (1) =  4i+ 3j
b) v (1) =  4i+ 4j 
c) v (1) =  i+ 3j
d) v (1) =  4i+ j
e) v (1) =  i+ j
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/galeria/aula2/anexo/exemplo03.pdf
-
2. O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento em um plano é dado por . A sua
velocidade no instante t = 2 é:
r (t) =    i + 2tjt3
a) v (2) =  18i + 2j
b) v (2) =  24i + 2j 
c) v (2) =  2i + 3j
d) v (2) =  4i + j
e) v (2) =  i + j
3. O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento em um plano é dado por . A sua
aceleração no instante t = 2 é:
r (t) =   −  i − 2  jt3 t3
a) a(2) = −12i + 24j
b) a(2) = 12i − 24j
c) a(2) = −12i − 24j
d) a(2) = −2i − 24j
e) a (2) =  i + j
4. O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento em um plano é dado por .
Determine:
r (t) =  2 i −  j − tkt2  t2
a) 21−−√
b) 22−−√
c) 23−−√
d) 24−−√
e) 26−−√
5. Uma partícula movendo-se começa em uma posição igual a , com uma velocidade inicial 
, sua aceleração é . Determine a sua velocidade no instante t.
r (0) = i + j + k
v(0) =  i − j + k a(t) =  2ti − j − k
a) v (t) =  ( + 1)i + (t − 1)j + (−t + 1)kt2
b) v (t) =  ( − 1)i + (−t − 1)j + (−t + 1)kt2
c) v (t) =  ( + 1)i + (−t − 1)j − (−t + 1)kt2
d) v (t) =  ( + 1)i − (−t − 1)j + (−t + 1)k   t2
e) v (t) =  ( + 1)i + (−t − 1)j + (−t + 1)kt2
Notas
Exemplo1
2 -O vetor posição de um objeto, em um instante t, em movimento, em um plano, é dado por . Determine a
sua velocidade escalar quando t = 1.Resolução:
r (t) =  3 i + 2  jt3 t2
Para podemos resolver essa questão, antes de mais nada, devemos derivar a função r(t), sendo assim:
Agora vamos substituir t = 1, aí temos:
O módulo de , daí encontramos:
r (t) =  3 i + 2 jt3 t2
r' (t) =  9 i + 4tjt2
r' (1) =  9.  i + 4. 1j12
r' (2) =  9i + 4j
r' (t) =   x(t   + y(t)2 )2
− −−−−−−−−−
√
r'(1) =∣∣ ∣∣   +  92 12
− −−−−−−√
r'(2) =∣∣ ∣∣ 82
−−√
Referências
BROCHI, A. Cálculo diferencial e integral II (livro proprietário). Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank R. (Ed.). Cálculo George B. Thomas. São Paulo: Pearson, 2009. v. 1 e 2.
FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo B. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2007.
STEWART, James. Cálculo. v. 2. São Paulo: Cegage Learning, 2013.
Próxima aula
Derivadas parciais;
Regra da Cadeia;
Derivadas de ordem superior.
Explore mais
FONSECA, Aline de Almeida et al. Leis de Kepler. Disponível em: http://www.professores.uff.br/salete/wp-
content/uploads/sites/111/2017/08/Kepler.pdf <http://www.professores.uff.br/salete/wp-
content/uploads/sites/111/2017/08/Kepler.pdf> . Acesso em: 26 nov. 2018.
KHAN Academy. Derivação de equações paramétricas. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-
derivatives-advanced/bc-diff-param-vec-func/v/parametric-function-differentiation <https://pt.khanacademy.org/math/ap-
calculus-bc/bc-derivatives-advanced/bc-diff-param-vec-func/v/parametric-function-differentiation> . Acesso em: 26 nov.
2018.
http://www.professores.uff.br/salete/wp-content/uploads/sites/111/2017/08/Kepler.pdf
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-derivatives-advanced/bc-diff-param-vec-func/v/parametric-function-differentiation