PROGRESSÃO ARITMÉTICA

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PROGRESSÃO ARITMÉTICA
 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE
PRÓ-REITORIA DE EXTENSÃO E CULTURA – PROEXC 
 PROGRAMA DE APOIO AO INGRESSO NOS ENSINOS TÉCNICO E SUPERIOR – PAIETS
PRÉ-UNIVERSITÁRIO POPULAR FÊNIX
MATEMÁTICA
EDUCADOR: JEIDSON LAMBORGHINI CORADI
Definição
Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante r (razão) dada.
Observe a seguinte sequência: (4, 7, 10, 13, 16, 19, ...)
Cada elemento é chamado de termo desta sequência, sendo:
Introdução
A diferença de um termo ao outro é constante, chamamos de razão (r) 
a1 = 4
a2 = 7
a3 = 13 
 .
 .
 . 
an = n
Para encontrar a razão na PA, basta fazermos a diferença de qualquer termo com o seu anterior, com isso, definimos razão como:
r = an – an-1
Razão
Encontre a razão das progressões aritméticas abaixo:
(1, 3, 5, 7, 9, ...)
(0, -2, -4, -6, -8, ...)
Exemplo 1
Resolução:
a) a2 – a1 = 2
b) a2 - a1 = -2 
As progressões aritméticas podem ser classificadas em três categorias:
P.A crescente: r > 0
P.A constante: r = 0
P.A decrescente: r < 0
Classificação
O termo geral da PA nos permite encontramos qualquer termo de uma progressão aritmética conhecendo apenas o primeiro termo e a razão.
Termo geral de uma PA
Seja (a1, a2, a3, a4, ...., an,...)
Termo geral de uma PA
+r
+r
+r
a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r
 a4 = a1 + 3r
.
.
.
an = a1 + (n – 1).r
an = enésimo termo
a1 = 1º termo
n = número de termos
r = razão
TERMO GERAL
Note que: 
Observação 1.
PA (a1,a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9,...)
Observações
+r
+r
+r
-r
-r
-r
a7 = a4 + 3r 
a5 = a9 – 4r
A diferença da posição dos termos no fornece
o fator que multiplica com a razão 
-r
Com isso, podemos estender a definição do 
termo geral para:
an = ak + (k – 1).r
Qual é a razão de uma PA na qual o quarto termo é 30 e o décimo segundo termo é 62?
Exemplo 2
Observações
Note que: 
Observação 2
Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos
 PA (3, 6, 9, 12, 15, 18)
21
21
21
a1 + a6 = a3 + a4 = a2 + a5
Note que: 
Observação 3
Em uma PA, tomando-se três termos consecutivos, o termo central é a média dos seus vizinhos.
 = 9 
PA (1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)
 = 21
Observações
Exemplo 3
Determine x, de modo que (x, 2x + 1, 5x – 6) seja uma PA.
Obtenha uma PA de 3 termos tais que sua soma seja 24 e seu produto seja 440.
Interpolar meios aritméticos entre dois números, significa inserir números de tal forma que a sequência gerada seja uma PA. Vejamos:
(2, _, _, _, 10) quais números devemos aplicar nos meios aritméticos a fim de obtermos uma PA?
Resposta: 4, 6 e 8. Desta formamos uma PA com a razão 2.
Interpolação aritmética.
Interpole 5 meios aritméticos entre – 2 e 40.
Exemplo 3
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
Soma dos termos
O matemáticos Carl Friedrich Gauss percebeu que a soma de 1 a 100 é 5050, analisando:
101
101
101
= 
Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2, 6, ...)
Exemplo 4