1ºteste.P.E Claudino

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Universidade de Cabo Verde – Faculdade de Ciências e Tecnologias 
 
Trabalho Pratico (1° Teste) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina : Probabilidade e Estatística 
Docente: Saturnino Borges 
Aluno: Claudino Gonçalves 
 
 
2 
Claudino Gonçalves 
Justifique convenientemente todas as respostas! 
 
1. Pretendendo atribuir prendas aos filhos dos funcionários de uma determinada empresa para época do Natal 
de 2016, a Direção de Recursos humanos dessa empresa resolveu fazer o levantamento do número de 
filhos por funcionários. Os dados os seguintes: 
3 4 3 4 5 3 4 1 4 4 5 1 2 5 1 
2 1 4 2 3 4 3 4 3 2 1 
1.1. Qual a percentagem de funcionários com pelo menos 3 filhos. 
 
Dados Ordenados 
1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 
4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 
 
A frequência relativa ( fri ), definida como a razão entre a frequência absoluta e o número total de 
observações, traduz a situação comparativa de cada caso em relação ao número total de casos. 
Portanto para o caso de funcionários com 3 filhos o valor da fri é: 
6
0,231
26
fi frequência absolutafi
fri
n numero total deobcervaçõesn
−
= = = 
−
 
Sendo a frequência relativa de 0,231, significa que a percentagem de funcionários com pelo menos 3 filhos é 
23.1% 
1.2. Coloque estes dados numa tabela de distribuição de frequência indicando todas as frequências 
estudadas. 
 
 
3 
Claudino Gonçalves 
Numero de Filhos 
funcionários(2016) 
( Xi ) 
Frequência absoluta 
( fi ) 
Frequência Absoluta 
acumulada 
( Fi ) 
frequência Relativa 
( fri ) 
Frequência Relativa 
acumulada 
( Fri ) 
1 5 5 0,192 0,192 
2 4 9 0,154 0,346 
3 6 15 0,231 0,577 
4 8 23 0,308 0,885 
5 3 26 0,115 1 
Total 26 1 
 
1.3. Determine o desvio padrão do número de filhos. 
 
Numero de Filhos 
funcionários (2016) 
( Xi ) 
Frequência absoluta 
( fi ) ( )Xi X− ( )
2
Xi X− ( )
2
*Xi X fi− 
1 5 -2 4 20 
2 4 -1 1 4 
3 6 0 0 0 
4 8 1 1 8 
5 3 2 4 12 
Total 26 44 
 
1
1 1 78
* (1*5 2*4 3*6 4*8 5*3) 3
26 26
n
i
X Xi fi
n =
= = + + + + = = 
( )2
2
2
1
1 1
* * 44 1,76
1 26 1
1,76 1,33
n
i
S Xi X fi
n
S S
=
− = =
− −
= = =
= 
 
O desvio padrão do número de filhos é de 1,33. 
 
1.4 Se no ano seguinte (2017) cada funcionário tiver mais um : 
1.4.1 A média de filhos dos funcionários será alterada? Justifique a sua resposta. 
Calculando a média: 
 
 
 
 
4 
Claudino Gonçalves 
Numero de Filhos 
funcionários(2017) 
( Xi ) 
Frequência absoluta 
( fi ) ( )Xi X− ( )
2
Xi X− ( )
2
*Xi X fi− 
2 5 -2 4 20 
3 4 -1 1 4 
4 6 0 0 0 
5 8 1 1 8 
6 3 2 4 12 
Total 26 44 
 
1
1 1 104
* (2*5 3*4 4*6 5*8 6*3) 4
26 26
n
i
X Xi fi
n =
= = + + + + = = 
Como era de esperar, acrescentando 1 filho a cada funcionário aumenta a média de filho por 
funcionário que passará a ser de 4 filho por funcionário 
 
1.4.2 O desvio padrão será alterado? Justifique a sua resposta. 
 
( )2
2
2
1
1 1
* * 44 1,76
1 26 1
1,76 1,33
n
i
S Xi X fi
n
S S
=
− = =
− −
= = =
= 
 
 
O desvio padrão mantem-se inalterado, pois acrescentando 1 filho a cada funcionário, resulta apenas 
num acréscimo de uma unidade no minuendo (Xi) e no subtraendo ( X ) da subtração ( )Xi X− 
na expressão da variância, não alterando a diferença. 
 
2. Considere a seguinte distribuição de frequências dos salários de técnicos de diagnósticos e terapêutica, 
em início de carreira(os salários estão em Euros): 
Classes 𝑓𝑖 𝑓𝑟𝑖 
[2 - 4[ 140 
[ 4- 6[ 0,25 
[ 6- 8[ 390 
[8 -10[ 0,22 
Total 1000 1 
 
2.1. Complete a tabela apresentada 
5 
Claudino Gonçalves 
Classes 𝑓𝑖 𝑓𝑟𝑖 
[2 - 4[ 140 =140/1000 = 0,14 
[ 4- 6[ 0.25*1000 = 250 0,25 
[ 6- 8[ 390 =390/1000 = 0,39 
[8 -10[ 0.22*1000 = 220 0,22 
Total 1000 1 
 
2.2. O que pode afirmar quanto á representatividade da média. 
Classes 𝐶𝑖=(𝑙𝑠 + 𝑙𝑖)/2 𝑓𝑖 ( )Ci X− ( )
2
Ci X− ( )
2
*Ci X fi− 
[2 - 4[ 3 140 -3,38 11,4244 1599,416 
[ 4- 6[ 5 250 -1,38 1,9044 476,1 
[ 6- 8[ 7 390 0,62 0,3844 149,916 
[8 -10[ 9 220 2,62 6,8644 1510,168 
Total 1000 3735,6 
𝑙𝑠−𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 e 𝑙𝑖−𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑑𝑎𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 
1
1 1 6380
* (3*140 5*250 7*390 9*250) 6.38
26 1000
n
i
X Ci fi
n =
= = + + + = = 
( )2
2
2
1
1 1
* *3735
3
,6
1 1000 1
3,74
3,74 1,9
n
i
Sc Xi X fi
n
S Sc
=
− = =
− −
= = =
= 
 
1,93
*100% *100% 30%
6,38
Coeficiente de Variação
S
CV
X
= = 
 
Estamos perante uma alta representatividade da média, com um coeficiente de variação de 30%, neste caso 
abaixo dos 50%. Quanto menor for o valor do coeficiente de variação, mais representativa é a média 
2.3. Classifique a distribuição quanto a simetria. 
Classes 𝐶𝑖=(𝑙𝑠 + 𝑙𝑖)/2 𝑓𝑖 𝐹𝑖 𝑓𝑟𝑖 𝐹𝑟𝑖 
[2 - 4[ 3 140 140 0,14 0,140 
[ 4- 6[ 5 250 390 0,25 0,390 
[ 6- 8[ 7 390 780 0,39 0,780 
[8 -10[ 9 220 1000 0,22 1,000 
Total 1000 1 
 
1
:
1 1 6380
* (3*140 5* 250 7 *390 9* 250) 6,4
26 1000
n
i
Média
X Ci fi
n =
= = + + + = =
 
6 
Claudino Gonçalves 
 
 
( 1)
( 1)
( 1) ( 1)
:
1000
500, log
2 2
0.50 0.50 0,39
* 6 * 2 6,6
0,39
, ( )
0,22
* 6
0,25 0
 6 8
 6 8
M M
i
r M
rM
ri Mo
ri Mo r Mo
e
o
Mediana
n
o a classe mediana é
F
M LI a
f
Moda
Classe Modal é com a maior frequência absoluta relativa
f
M Li a
f f
−
+
− +
= =
− −
= + = + 
= + = +
−
−
+ +
* 2 6,9
,22
=
 
66 ,, 4
 
6, 9
, 
6
 e Mo logoa distribuição é assimétrica negativaenviesada à direitaX M
 
  
 
 
3. Seja A e B acontecimentos num espaço de resultados 𝑆, tais que: 
𝑃(𝐴) =
1
4
, 𝑃(𝐵) =
1
6
𝑒𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
1
3
 
3.1. A e B São acontecimentos mutuamente exclusivos? 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
*2*3
, ,
1 1 1 3 2 5
3 4 6 12 12 12
, .
A e B são mutuamente exclusiva se A B atendendo esta condição P A B P A P B
Sabemos que P A B e P A P B
P A B P A P B logo e não são mutuamente exclusiva
=  = +
= + = + = + =
 + A B
 
3.2. Calcule as seguintes probabilidades: ( )|P A B ; ( )|P A B ; ( )|P A B 
• ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
5 1 5 4 1
|
12 3 12 12 12
P A B
P A B P A B P A P B P A B
P B
= = + − = − = − =
( )
1
6 112|
1 12 2
6
P A B = = = * 
• ( ) ( )
1 1
/ 1 / 1
2 2
P A B P A B= − = − = 
• 
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
1
1 12 43 3|
1 51 15 5
1
6 6
P B A P A B
P A B
P BP B
−
−
= = = = = =
−
−
 
4. Numa consulta de Nutrição, a probabilidade de um utente ser diabetes é de 0,30. Sabe-se igualmente que 
se o utente não tem diabetes vai ter 90% de probabilidade de ter um resultado negativo num teste de 
7 
Claudino Gonçalves 
rasteio; enquanto que se o utente tiver diabetes, vai ter 80% de probabilidade de ter um resultado 
positivo. O teste é efetuado: 
4.1. Qual é a probabilidade do teste for positivo? 
 
DADOS 
• Probabilidade de um utente ter diabetes ( ) 0.3P D = 
• Probabilidade de um utente não ter diabetes e ter um teste negativo (negativo verdadeiro) ( )| 0,9P D− = 
• Probabilidade de um utente não ter diabetes e ter um teste negativo (positivo verdadeiro) ( )| 0,8P D+ = 
• Probabilidade de um utente não ter diabetes ( ) 1 0.3 0,7P D = − = 
• Probabilidade de um utente não ter diabetes e ter um teste positivo (Falso positivo) ( )| 1 0,9 0,1P D+ = − = 
• Probabilidade de um utente não ter diabetes e ter um teste negativo (Falso negativo) ( )| 1 0,8 0,2P D− = − = 
Recorrendo á lei da probabilidade total, a probabilidade do teste for positivo pode ser calculada da 
seguinte forma: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )| | 0,8 0,3 0,1 0,7 0,24 0,07 0,3P P D P D P D P D+ = + + + =  +  =  
 
Então a probabilidade do teste for positivo é de aproximadamente 0,3. 
 
4.2. Qual é a probabilidade do utente ter diabetes se o teste for positivo? 
Através do Teorema de Bayes , a probabilidade do utente ter diabetes se o teste for positivo calcula se 
assim: 
( )
( )( )
( )
| 0,8 0,3
| 0,8
0,31
P D P D
P D
P
+ 
+ = = 
+
 
Deste modo a probabilidade do utente ter diabetes se o teste for positivo é de aproximadamente 0,8