Colaborar - Aap2 - Estruturas Algébricas

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17/09/2020 Colaborar - Aap2 - Estruturas Algébricas
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Aap2 - Estruturas Algébricas
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Período: 14/09/2020 00:00 à 05/12/2020 23:59
Situação: Cadastrado
Protocolo: 536139707
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1) Na manipulação de imagens pela computação gráfica bidimensional, três transformações
geométricas são essenciais: translação, reflexão e rotação. Nesse contexto, a teoria de grupos
desempenha papel central no tratamento computacional dessas transformações.
 
Aqui, vamos concentrar nossa atenção às rotações. Considere uma sistema plano ortogonal de
coordenadas , com .
 
Associamos a rotação pelo ângulo em torno da origem à matriz 
. Nesse sentido, temos que
 
 
conforme a ilustração a seguir:
Fonte: ANTON, Howard; RORRES, Chris. Elementary Linear Algebra with Applications. 9 edition.
United States of America: John Wiley & Sons, Inc.: 2005.
 
Tendo como base o conjunto
 
th
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a)
b)
c)
d)
e)
2)
 
 
munido da multiplicação de matrizes, analise as afirmativas a seguir.
 
I. Vale que para .
II. é elemento neutro para a multiplicação de matrizes em .
III. É correto apenas o que se afirma em:
Alternativas:
I, II e IV.
I, III e IV. Alternativa assinalada
II e III.
II, III e IV.
III e IV.
Dado um grupo , a operação pode ser descrita através de uma tábua da
forma 
 
 
onde o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna é dado por , . 
 
Observe que os elementos de uma linha não podem se repetir, pois se 
 para algum par com então teríamos que 
. Pelo mesmo argumento, os elementos de uma
coluna da tábua de um grupo finito não podem se repetir.
 
Considere o grupo onde e a operação é dada pela tábua
 
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a)
b)
c)
d)
e)
3)
Assinale a alternativa que completa corretamente a tábua do grupo .
Alternativas:
 
 
 
 Alternativa assinalada
Um grupo é uma estrutura algébrica constituída de um conjunto e uma operação
binária associativa, comutativa, que admite um elemento neutro e tal que cada
elemento de admite um elemento simétrico.
 
Tendo com base o grupo , analise as seguintes afirmativas:
 
I. O elemento neutro não único.
II. Para cada existe um único elemento simétrico .
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a)
b)
c)
d)
e)
4)
III. A equação , onde e é uma incógnita em , tem infinitas soluções se o
conjunto tem infinitos elementos.
IV. , onde .
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
Alternativas:
Apenas as afirmativas I, II e III estão corretas.
Apenas as afirmativas II, III e IV estão corretas.
Apenas as afirmativas II e IV estão corretas. Alternativa assinalada
Apenas as afirmativas I e IV estão corretas.
Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
O conjunto das permutações do plano real dado por 
 é um grupo munido da operação de
composição de funções.
 
Um subconjunto importante de é o conjunto das translações. A translação por é a
permutação dada por . Geometricamente, a
translação por desloca a abcissa por unidades horizontalmente e a ordenada por 
 unidades verticalmente. Por exemplo, na figura a seguir aplicando a translação na região
(1) obtemos a região (2):
 
Fonte: Imagem editada pelo autor. Original disponível em
<www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/images/cap248.gif>,
acesso em 29 jun. 2018.
 
Considerando , analise as
afirmações a seguir:
 
I - A composição de translações é uma translação.
II - é elemento neutro de .
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a)
b)
c)
d)
e)
III- é subgrupo de .
IV - Existem translações cuja aplicação inversa não é uma translação.
Agora, assinale a alternativa CORRETA.
Alternativas:
Apenas as afirmativas I, II e III estão corretas. Alternativa assinalada
Apenas as afirmativas II, III e IV estão corretas.
Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
Apenas as afirmativas II e IV estão corretas.
Apenas as afirmativas II e III estão corretas.