ANÁLISENARETA2-2ªLISTADEEXERCÍCIOS

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1a Lista de Limites de Funções - Prof. Msc. Wendhel Raffa
1. Calcule diretamente pela definição lim
x→p
f(x) (caso exista) onde:
(a) f(x) = ax + b, ∀ p ∈ R
(b) f(x) = x3, ∀ p ∈ R
(c) p = 0 e f satisfaz ∀x ∈ R, |f(x)| ≤ x2
(d) f(x) = x +
1
x
, p = 0
(e) f(x) = cos
1
x2
, p = o
2. f(x) = x +
1
x
, x 6= 0. Provar que:
(a) |f(x) − f(1)| ≤
(
1 +
1
x
)
|x − 1|
(b) |f(x) − f(1)| ≤ 3|x − 1|, x > 1/2
(c) Justificar que lim
x→1
f(x) = f(1).
3. Sabe-se que para uma função f : X → R, lim
x→2
f(x) = 8. Mostrar que ∃ δ > 0 tal que
2 − δ < x < 2 + δ ⇒ f(x) > 7.
4. Prove que lim
x→p
f(x) = L se, e somente se, lim
x→p
|f(p) − L| = 0.
5. Diga porque existe δ > 0 tal que se x ∈ R e 1−δ < x < 1+δ ⇒ 2− 1
2
<
x5 + 3x
x2 + 1
< 2+
1
2
.
6. Sejam f : X → R, a ∈ X′ e Y = f(X − {a}). lim
x→a
f(x) = L ⇒ L ∈ Y.
7. Sejam f, g : R∗ → R e a ∈ R tal que lim
x→a
f(x) = 2 e g(x) =
1
q
se x =
p
q
for uma
função irredut́ıvel ou g(x) = 21 se x ∈ R−Q. Determinar lim
x→a
h(x) onde h(x) = ([f(x)]4−
+16)g(x).
8. Mostrar que f : R → R tal que f(x) = x
1 + x2
é limitada. Concluir que ∀ a ∈ R,
lim
x→a
(x − a)2f(x) = 0.
9. Se existem os limites: lim
x→a
f(x) e lim
x→a
(f(x) + g(x)). Mostrar que ∃ lim
x→a
g(x). Se exis-
tem lim
x→a
f(x)g(x) e lim
x→a
f(x), então existirá lim
x→a
g(x)? Dê um contra-exemplo se falso ou
demonstre.
10. Provar que se lim
x→a
f(x) = L ⇒ lim
x→a
|f(x)| = |L|. A volta vale?
11. Através de sequências convenientes, verifique que os limites abaixo não existem.
(a) lim
x→0
log x
(b) lim
x→a
1
x − a
(c) lim
x→0
log
2
x
1
12. Sejam f e g definidas em R com g(x) 6= 0, ∀ x. Suponha que lim
x→p
f(x)
g(x)
= 0. Mostrar que
existe δ > 0 tal que 0 < |x − p| < p ⇒ |f(x) < |g(x)|.
(Sugestão: lim
x→p
f(x)
g(x)
< 1 e aplique a proposição ??).
13. Usando propriedades e resultados estudados, analise a existência dos limites estudados. Justifique
todos os procedimentos.
(a) lim
x→1
3
√
x + 2 − 1
x + 1
(b) lim
x→−1
3
√
x3 + 1
x + 1
(c) lim
x→0
x − |x|
x
(d) lim
x→0
x
sinx
(e) lim
x→0
cosx − 1
x
. (Sugestão: Multiplique o numerador e denominador por cosx + 1).
(f) lim
x→0
cos ax − cos bx
x2
(g) lim
x→0
1 + 10
−1
x
2 − 10−1x
(h) lim
x→0
x2 sin 1
x
sinx
(i) lim
x→0
√
x + 1 −
√
1 − x
x
(j) lim
x→0
1
1 + a
1
x
(a < 1)
(k) lim
x→π
sinx
x − π
(l) lim
x→0
(a + h)3 − a3
h
(m) lim
x→0
3x + |x|
7x − 5|x|
Alguns dos problemas abaixo podem ser resolvidos com o uso do teorema de “conservação do sinal”.
14. Suponha que f é cont́ınua em R e f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ Q. Prove que f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R.
(Sugestão: Utilize que todo número real é limite de uma sequências de racionais).
15. Utilize a mesma sugestão acima para provas que se f e g são funções cont́ınuas em R e f(x) =
g(x), ∀ x ∈ Q, então f = g.
16. Determine os limites das seguintes sequências:
(a) e
1
n
(b) 22
−n
(c) sin
(
3
√
1
n2
)
2
(d) 2
1
√
n
(e) n
(
1 cos 1
n
)
17. Se lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) verifique que lim
x→a
(f(x) − g(x)) = 0.
18. Suponha que lim
x→a
f(x) = L e que ∀ x ∈ R : |g(x)−L| ≤ |f(x)−L|. Verifique que também
lim
x→a
g(x) = L.
19. Verifique que se lim
x→a
f(x) = L então lim
x→a
f(x)2 = L2.
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