Aula_04 Equações trinomias - Polinomios e operações

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Números Complexos
Aula 4 – Equações Trinômias – Polinômios e operações
Conteúdo Programático desta aula
Equações trinômias;
Polinômios;
Operações com polinômios.
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NOME DA DISCIPLINA
Equações Trinômias:
Chama-se equação trinômia toda equação redutível à forma 
ax2n + b xn+ c = 0
onde a,b,c C, a 0 ,b 0 e n N.
Para resolver uma equação trinômia faz-se xn = y , obtém-se y1 e y2 raízes da equação ay2 + by + c = 0 e, finalmente, recai - se nas equações binômias xn = y1 e xn = y2, determinando-se as 2n raízes.
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Exemplo:
Resolver a equação x6 + 7x3-8 = 0 em C.
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Polinômios:
Denomina-se polinômio do grau n à expressão:
	a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ........ + axn-1 + an , onde:
a0,a1,a2,.......,an são números complexos chamados de coeficientes do polinômio, sendo a0 0.
n é um número natural chamado de grau do polinômio.
x é a variável do polinômio (x C).
Assim, diz-se que a expressão acima é um polinômio em x do grau n.
Observação:
Um número complexo qualquer , diferente de zero , é um polinômio do grau zero.
Assim, tem-se: - 4,2i,3-5i são exemplos de polinômios do grau zero.
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Valor numérico de um polinômio:
É o valor numérico encontrado quando substituímos a variável por um número complexo fornecido.
 
Exemplo:
Dado o polinômio P(x) = x2-2x+1, calcular o valor numérico de P para x = 2, x = 1 e x = 1+i.
P(2) =22 -2.2+1 = 4 -4 +1  P(2) = 1
P(1) = 12 -2.1+1  P(1) = 0
P(1+i) = (1+i)2 -2(1+i)+1 = 2i-2-2i+1⟹p(1+i) =-1
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Raízes de um polinômio:
Diz-se que um número complexo é raiz de um polinômio P se, por definição P( ) = 0.
Exemplo: No polinômio P(x) = x2-2x+1, o valor x = 1 é raiz do polinômio pois vimos que p(1) = 0.
No polinômio P(x) = x2 – i , o valor x = + i é uma raiz do polinômio,
 pois P( i) = 0.
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Igualdade de Polinômios:
Dois polinômios são idênticos se, por definição, tiverem valores numéricos iguais, qualquer que seja o valor da variável. Isto é:
P(x) Q(x)  P( ) = Q( ) ; C
OBSERVAÇÕES:
Usa-se “=” em vez de “ ” e diz-se “polinômios iguais” ao invés de “polinômios idênticos”.
Dois polinômios são idênticos se e somente se forem do mesmo grau e tiverem os coeficientes dos termos semelhantes iguais.
P(x) é identicamente nulo se P(x) = 0, qualquer que seja o complexo. Resulta que um polinômio é identicamente nulo se e somente se todos os seus coeficientes forem nulos.
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Exemplo:
Determinar a, m e n para que (3m-7n-a)x2 +(m+n-4)x +(5m-13n-5a+8) seja identicamente nulo.
3m-7n-a = 0
m+n-4 = 0
5m-13n -5a +8 =0
m=4-n
Substituindo-se na primeira equação , tem-se:
3(4-n) -7n-a=0; a = 12 -10n.
Substituindo na terceira equação os valores de m e a :
5(4-n)-13n-5(12-10n)+8=0
20-5n-13n-60+50n-60+8=0  n = 1
Logo:
m = 4-1  m = 3 ; a = 12 -10n  a = 2
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Adição e subtração de polinômios:
Exemplo:
 
Sendo A = 2x3-3x2+2x-5 e B = -3x3-5x2-4x+1, pede-se:
 
A+B = 
 
A-B=
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Multiplicação de polinômios:
Exemplo:
 
Sendo A = x -1 e B = x2+x+1 , pede-se:
 
A.B=
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