AULA 10_2020 6_DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISCRETAS (PARTE 01)

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Probabilidade e Estatística Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla Lima 
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABLIDADES DISCRETAS 
Profa. Kellen Carla Lima 
01 
02 
PARTE 01: 
Definir propriedades de uma distribuição de 
probabilidade. 
PARTE 01: 
Calcular o valor esperado, variância e desvio-padrão de 
uma distribuição de probabilidade discreta. 
PARTE 02: 
Calcular probabilidades a partir das distribuições 
Binomial, Hipergeométrica e Poisson. 
03 
5.1 Objetivos da Aula 
Profa. Kellen Carla Lima 
Em qualquer experimento há diversas características que podem ser 
observadas ou medidas, mas na maioria dos casos o experimento 
enfocará um ou alguns aspectos específicos da amostra; 
Por exemplo: em um estudo de padrões de transporte de uma área 
metropolitana, cada indivíduo pode ser consultado sobre distância, 
sobre o número de pessoas que usam o mesmo veículo, MAS NÃO sobre 
o QI, renda, tamanho da família e outras características do tipo. 
Como alternativa, um pesquisador pode testar uma amostra de 
componentes e registrar apenas quantos apresentaram falhas 
dentro de mil horas, EM VEZ DE manter o registro das falhas 
individuais. 
Em geral, CADA RESULTADO DE UM EXPERIMENTO é associado a UM NÚMERO, 
especificando-se uma regra de associação. Por exemplo: 
(1) Quantidade de componentes que apresentam falha em um período de 1000 h em uma 
amostra de 10 componentes. 
(2) Peso total de bagagem para uma amostra de 25 passageiros de uma companhia aérea. 
5.2 Variáveis Aleatórias 
Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla Lima 
Tal regra de associação é denominada VARIÁVEL ALEATÓRIA. VARIÁVEL porque é 
possível obter diferentes valores numéricos e ALEATÓRIA porque o valor observado 
depende de qual dos resultados possíveis do experimento é obtido. 
Assim, para um dado espaço amostral S de um experimento, uma VARIÁVEL 
ALEATÓRIA é qualquer regra que associe um valor a cada resultado de S. 
Em termos matemáticos, uma VARIÁVEL ALEATÓRIA é uma FUNÇÃO cujo domínio 
é o espaço amostral e o contra-domínio é um conjunto de números reais. 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
Com S = {F, S}, define-se uma v.a X como: 
 
X (Falha) = 0 X (Sucesso) = 1 
 
A v.a. X indica se o aluno pode (1) ou não (0) acessá-lo. 
 
 
 
PORTANTO, ATRIBUI-SE UM NÚMERO REAL A CADA RESULTADO DESSE EXPERIMENTO! 
Quando um estudante tenta acessar um computador em um sistema de 
compartilhamento de tempo: 
 
- Todas as portas estão ocupadas (Falha). 
- Ou haverá PELO MENOS uma porta livre (Sucesso). 
RESOLUÇÃO: 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
Considere o processo aleatório, Ψ , que consiste em selecionar, ao acaso e sem 
reposição, cinco bolas de uma urna contendo cinco bolas azuis, numeradas de 
1 a 5, cinco bolas vermelhas, numeradas de 6 a 10, e cinco bolas verdes, 
numeradas de 11 a 15. 
O espaço amostral para esse processo aleatório é: 
 
S= {(n1, n2, n3, n4, n5) : ni = 1,2,3, . . . ,15; i = 1,2,3,4,5; ni≠nj se i≠j } 
 
Neste caso: 
 
(a) O número de bolas azuis na amostra e, 
(b) O número de cores distintas na amostra, são exemplos de variáveis aleatórias. 
 
Assim, se o resultado de uma realização de S for, por exemplo, (11, 2, 8, 3, 14) os valores 
assumidos por essas variáveis aleatórias são, respectivamente: 
 
(a) 2 e (b) 3. 
RESOLUÇÃO: 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
No experimento “jogar uma moeda 3 vezes consecutivas” tem-se que o seu 
espaço amostral é: 
S = ccc cck ckc kcc ckk kck kkc kkk, que não é numérico. 
 
Seja X a v.a. associada ao experimento: 
 
X: número de caras ocorridas. 
 
X =  0, 1, 2, 3} 
 
RESOLUÇÃO: 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
Suponha que um local (latitude e longitude) no Rio Grande do Norte seja 
selecionado de forma aleatória. Defina uma va Y por 
 
Y= altura acima do nível do mar do local selecionado 
 
Se o local selecionado foi Natal (05°47'42”S, 35° 12' 34”W) = 30 m. O maior 
valor possível de Y é 868 (Serra do Coqueiro) e o menor valor possível é 0 
m (Caiçara do Norte). 
O conjunto de todos os valores possíveis de Y é o conjunto de todos os números no 
intervalo entre 0 e 868 m, isto é, 
 
{y:y é um número, 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝟖𝟔𝟖} 
RESOLUÇÃO: 
5.2.1 Tipos de Variáveis Aleatórias 
Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla Lima 
x 
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 
x 
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 
Discretas 
Contínuas 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
Quando o 
conjunto de 
valores possíveis 
constituem um 
CONJUNTO 
FINITO ou podem 
ser relacionados 
em uma 
SEQUÊNCIA 
INFINITA na qual 
haja um primeiro 
elemento, um 
segundo e assim 
por diante. 
Quando o conjunto 
de valores 
possíveis 
consistem em um 
INTERVALO 
COMPLETO DA 
RETA DE NÚMEROS 
(reta real). 
5.2.1.1 Variáveis Aleatórias Discretas 
Profa. Kellen Carla Lima 
5.2.1.1 Variáveis Aleatórias Discretas 
Profa. Kellen Carla Lima 
Seja X uma variável aleatória (v.a.).. Se o número 
de valores possíveis de X for enumerável (finito 
ou infinito), denominaremos X de VARIÁVEL 
ALEATÓRIA DISCRETA, isto é, os possíveis valores 
de X podem ser postos em lista como x1, x2, ... No 
caso finito, a lista acaba, e no caso infinito, a lista 
continua indefinidamente. 
Definição: 
5.2.1.1 Variáveis Aleatórias Discretas 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
Suponha que, após um exame médico, pessoas sejam diagnosticadas como tendo 
diabetes (D) e não tendo diabetes (N). Admita que três pessoas sejam escolhidas 
ao acaso e classificadas de acordo com esse esquema. 
O espaço amostral é dado por: 
S = {DDD, DDN, DND, NDD, NND, NDN, DNN, NNN} 
Nosso interesse é saber quantas pessoas com diabetes foram encontradas, não interessando 
a ordem que tenham ocorrido, isto é, desejamos estudar a variável aleatória X, a qual 
atribui a cada resultado o número de pessoas com diabetes. 
Consequentemente, o conjunto dos possíveis valores de X é {0, 1, 2, 3}, ou seja, X é uma 
variável aleatória discreta. 
RESOLUÇÃO: 
5.3 Função Distribuição de Probabilidade 
Profa. Kellen Carla Lima 
ou 
Função Masssa de Probabilidade 
Profa. Kellen Carla Lima 
. 
Seja X uma variável 
aleatória discreta 
 
 
A cada possível resultado xi associaremos um número p(xi)=P(X=xi), 
denominado probabilidade de xi. Os números p(xi), com i = 1, 2, ..., devem 
satisfazer as seguintes condições: 
p(x) é uma probabilidade, então p(xi) ≥ 0 para todo i 
soma da probabilidade de todos os resultados do espaço amostral tem que ser = 1 
é denominada função de probabilidade da variável aleatória X. A função p 
P2: Σip(xi) = 1: 
P1: 
é algumas vezes denominada distribuição de probabilidade de X. Assim, 
podemos dizer que a distribuição de probabilidades de uma variável 
aleatória discreta X, definida em um espaço amostral (S), é uma tabela que 
associa a cada valor de X a sua probabilidade. 
A coleção de pares [xi, p(xi)] 
i = 1, 2, 
A função distribuição de probabilidade (fdp) ou função de massa de 
probabilidade (fmp) de uma v.a discreta é definida para cada número X 
dada por: 
𝒇 𝒙 = 𝑷(𝑿 = 𝒙) 
5.2.1.1 Variáveis Aleatórias Discretas 
P
ro
fa
. K
ell
en
 C
ar
la 
 L
im
a S = {DDD3, DDN2, DND2, NDD2, NND1, NDN1, DNN1, NNN0} 
X 0 1 2 3 
P(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
P(X = 2)=? 
P(2) é a probabilidade de X=2, ou seja, assumir o valor = 2 
P(2) = P( x = 2 ) = 3/8 
 
 
PORTANTO, DE 8 POSSIBILIDADES APENAS 3 APRESENTARAM 2 PESSOAS COM DIABETES. 
RESOLUÇÂO: 
E
xe
m
pl
o 
: 
Suponha que, após um exame médico, pessoas sejam diagnosticadas como tendo 
diabetes (D) e não tendo diabetes (N). Admita que três pessoas sejam escolhidas ao 
acaso e classificadas de acordo com esse esquema abaixo, qual a P(X=2)? 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
Lote 1 2 3 4 5 6 
N° de peças com defeito 0 2 0 1 2 0 
Seis lotes de componentes estão prontos para embarque em um fornecedor. O número de componentes com 
defeito em cada lote é mostrado
a seguir: 
 
 
 
 
Então, determine a função distribuição de probabilidade ou fmp. 
RESOLUÇÃO: 
 
Um desses lotes será selecionado aleatoriamente para embarque a um cliente especifico 
 
Seja X o n° de peças com defeito no lote selecionado 
 
Os três valores possíveis de X são: 0, 1 e 2 
 
Dos seis eventos igualmente prováveis, três resultam em X = 0, um em X = 1 e os outros dois em X = 2 
 
 Sejam: 
p(0) a prob. de X = 0 
p(1) a prob. de X = 1 
p(2) a prob. de X = 2 
 
Então: 
p (0) = P (X = 0) = P(lote 1 ou 3 ou 6 é enviado) = 3/6 = 0,5 
p (1) = P (X = 1) = P(lote 4 é enviado) = 1/6 = 0,16 
p (2) = P (X = 2) = P(lote 2 ou 5 é enviado) = 2/6 = 0,33 
5.4 Função de Distribuição Acumulada 
Profa. Kellen Carla Lima 
5.4 Função de Distribuição Acumulada 
Profa. Kellen Carla Lima 
 
 
A função de distribuição acumulada da variável aleatória X, 
representada por F(X), ou simplesmente F, é definida por: 
Ou seja, “soma” ou “acumula” a probabilidade de todos os 
valores abaixo de x 
Também chamada de função de distribuição ou fda. 
Esta definição é válida para v.a. discretas e contínuas. 
Para todo valor x ∈ ℝ 
𝑭𝑿 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 = 𝒑(𝒚)
𝒚:𝒚≤𝒙
 
5.4 Função de Distribuição Acumulada 
Profa. Kellen Carla Lima 
5.4.1 Propriedades 
Profa. Kellen Carla Lima 
P1 
P2 
P4 
P5 
Uma fda satisfaz as seguintes propriedades: 
FX(.) é não-decrescente: se x ≤ y, então 
FX(x) ≤ FX(y) 
FX(.) é contínua à direita. 
Quando x→ - ∞ [FX(x) →0] e 
quando x→+ ∞ [FX(x) →1] 
Para quaisquer dois números 
a e b com a ≤ b 
P(a≤ X≤b) = F(b) – F(a) 
P3 
Para P(X>x) = 1 – P(X ≤ x) 
5.4 Função de Distribuição Acumulada 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
A função distribuição de probabilidade de Y (quantidade de classificações sanguíneas) é dada por: 
 
 
 
 
 
Então, determine a função de distribuição acumulada (fda). 
y 1 2 3 4 
p(y) 0,4 0,3 0,2 0,1 
Primeiro, determina-se F(y) para cada valor do conjunto (1,2,3,4) de valores possíveis: 
 
F (1) = P (Y ≤ 1) = P( Y = 1) = p(1) = 0,4 
F (2) = P (Y ≤ 2) = P( Y = 1 ou 2) = p(1) + p(2) = 0,7 
F (3) = P (Y ≤ 3) = P( Y =1 ou 2 ou 3) = p(1) + p(2) + p(3)= 0,9 
F (4) = P (Y ≤ 4) = P( Y =1 ou 2 ou 3 ou 4) = 1 
 
Assim, a fda é: 
 
 0 se Y < 1 
 0,4 se 1 ≤ Y < 2 
 F(Y) = 0,7 se 2 ≤ Y < 3 
 0,9 se 3 ≤ Y < 4 
 1 se Y ≤ 4 
 
RESOLUÇÃO: 
Relação entre fdp e fda 
Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla Lima 
S = {DDD3, DDN2, DND2, NDD2, NND1, NDN1, DNN1, NNN0} 
X 0 1 2 3 
P(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 
Como visto anterioremente... 
X = número de pessoas com diabetes. 
𝐹 𝑥 = 
0, 𝑠𝑒 𝑥 < 0;
1
8
, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1;
4
8
, 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 < 2
7
8
, 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 < 3
1, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 3
 
Suponha que, após um exame médico, pessoas sejam diagnosticadas como tendo diabetes (D) e 
não tendo diabetes (N). Admita que três pessoas sejam escolhidas ao acaso e classificadas de 
acordo com esse esquema abaixo, qual a P(X=2)? 
5.5 Variáveis Aleatórias Discretas 
Profa. Kellen Carla Lima 
5.5.1 Valor Esperado 
P
ro
fa
. K
ell
en
 C
ar
la 
 L
im
a 
O VALOR ESPERADO (ou média) de uma distribuição discreta é dado pela média ponderada dos 
valores da v.a. É utilizado na tentativa de resumir o comportamento de uma variável aleatória. 
Indica o valor médio que esperaríamos ter se pudéssemos repetir as provas infinitamente. 
A média de uma variável aleatória discreta é o resultado médio teórico de um 
número infinito de provas. Sendo que, o valor esperado de uma variável aleatória 
discreta é denotado por E (Esperança) e representa o valor médio dos resultados: 
xi resultado possível de x p(xi)  probabilidade correspondente ou pesos: probabilidade de cada valor. 
𝑬 𝑿 = 𝒙𝒊. 𝒑(𝒙𝒊)
𝑵
𝒊=𝟏
 
Onde: 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
A fda de X = o número de defeitos graves em um eletrodoméstico selecionado 
aleatoriamente é: 
 
 
 
 
Calcule: E(X) 
𝝁 = 𝟎 ∙ 𝒑 𝟎 + 𝟏 ∙ 𝒑 𝟏 + 𝟐 ∙ 𝒑 𝟐 + 𝟑 ∙ 𝒑 𝟑 + 𝟒 ∙ 𝒑 𝟒 
𝝁 = 𝟎 ∙ 𝟎, 𝟎𝟖 + 𝟏 ∙ 𝟎, 𝟏𝟓 + 𝟐 ∙ 𝟎, 𝟒𝟓 + 𝟑 ∙ 𝟎, 𝟐𝟕 + 𝟒 ∙ 𝟎, 𝟎𝟓 = 𝟐, 𝟎𝟔 
X 0 1 2 3 4 
P(X) 0,08 0,15 0,45 0,27 0,05 
RESOLUÇÃO: 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de distribuição de 
probabilidade: 
 
 
 
Calcule E(X). 
RESOLUÇÃO: 
𝐸 𝑋 = 1 ×
8
7
1
2
1
+ 2 ×
8
7
1
2
2
+ 3 ×
8
7
1
2
3
 
𝐸 𝑋 = 0,5714 + 0,5714 + 0,4285 = 1,5713 
P 𝑿 =
𝟖
𝟕
𝟏
𝟐
𝑿
, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝑿 = 𝟏, 𝟐, 𝟑. 
5.5 Variáveis Aleatórias Discretas 
Profa. Kellen Carla Lima 
5.5.1.1 Propriedades do Valor Esperado 
Profa. Kellen Carla Lima 
A função 𝒉(𝑿) frequentemente é uma função linear 𝒂𝑿 + 𝒃. Nesse caso, 𝑬[𝒉(𝑿)] é facilmente calculado pelo 𝑬(𝑿). 
𝒂𝑿 + 𝒃 = 𝒂𝒙+ 𝒃 ∙ 𝒑 𝒙
𝑫
∴ 𝑬 𝒂𝑿 + 𝒃 = 𝒂 𝒙 ∙ 𝒑 𝒙 +
𝑫
𝒃 𝒑(𝒙)
𝑫
∴ 𝑬 𝒂𝑿 + 𝒃 = 𝒂 ∙ 𝑬 𝒙 + 𝒃 
Demonstração: 
Portanto: o valor esperado de uma função linear é igual à função linear calculada com o valor esperado E(X) 
Duas regras importantes para: 𝒂 ∙ 𝑬 𝒙 + 𝒃 
𝟏) 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒒𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒓 𝒄𝒕𝒆. 𝒂, 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒂𝒔𝒔𝒖𝒎𝒊𝒓 𝒃 = 𝟎 
𝑬 𝒂𝑿 = 𝒂 ∙ 𝑬 𝒙 
 
 
𝟐) 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒒𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆 𝒄𝒕𝒆. 𝒃, 𝒂𝒔𝒔𝒖𝒎𝒊𝒓 𝒂 = 𝟏 
 𝑬 𝒂𝑿 + 𝒃 = 𝑬 𝒙 + 𝒃 
5.5 Variáveis Aleatórias Discretas 
Profa. Kellen Carla Lima 
5.5.2 Dispersão 
Profa. Kellen Carla Lima 
Definição: 
Indica o quanto a distribuição de probabilidades se dispersa em torno da média. 
Um grande desvio-padrão reflete dispersão considerável, enquanto que um desvio-
padrão menor traduz menor variabilidade, com valores relativamente mais 
próximos da média. 
Variância de uma variável aleatória discreta: 
Desvio-padrão de uma variável aleatória discreta: 
𝑽 𝑿 = 𝝈𝟐 = [𝒙𝒊 − 𝑬 𝑿 ]
𝟐
𝟖
𝑿=𝟒
. 𝒑(𝑿) 
𝝈 = [𝒙𝒊 − 𝑬 𝑿 ]
𝟐
𝟖
𝑿=𝟒
. 𝒑(𝑿) 
E(X) = valor esperado da v.a X 
xi = i
ésimo valor da variável aleatória X 
P(xi) = probabilidade de ocorrência do i
ésimo valor da v.a X 
Onde: 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
Se X é o número de cilindros do próximo carro a ser regulado em uma oficina, com fdp 
 
[𝒑(𝟒) = 𝟎, 𝟓; 𝒑(𝟔) = 𝟎, 𝟑; 𝒑(𝟖) = 𝟎, 𝟐] 
𝑶𝒏𝒅𝒆: 𝑬(𝑿) = 𝟓, 𝟒 
 
Calcule a variância de X e o desvio padrão de X. 
RESOLUÇÃO: 
𝑉 𝑋 = 𝜎2 = [𝑥𝑖 − 𝐸 𝑋 ]
2
8
𝑋=4
× 𝑝(𝑋) 
V X = 𝜎2 = (4 − 5,4)2× 0,5 + (6 − 5,4)2× 0,3 + (8 − 5,4)2× 0,2 = 2,44 
𝜎 = 2,44 = 1,562 
5.5 Variáveis Aleatórias Discretas 
Profa. Kellen Carla Lima 
5.5.2.1 Propriedades da Dispersão 
Profa. Kellen Carla Lima 
Se X é uma variável aleatória, então: 
1 
1 
2 
2 
𝑽 (𝑿) = 𝑬(𝑿𝟐) – [𝑬(𝑿)]
 𝟐 
Seja X uma variável aleatória e a,b 
números reais, então: 
𝑽 (𝒂𝑿 + 𝒃) = 𝒂𝟐. 𝑽(𝑿) 
Profa. Kellen Carla Lima 
E
xe
m
pl
o 
: 
PROVA 2016.1 – O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar 
certa peça é uma v.a com a seguinte distribuição de probabilidade. 
 
 
 
(a) Qual o tempo médio de processamento? 
(b) Qual a variação em torno desse tempo médio de processamento? 
t 2 3 4 5 6 7 
P(t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 
𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 2 − 4,6 2 × 0,1 + 3 − 4,6 2 × 0,1 + 4 − 4,6 2 × 0,3 + 5 − 4,6 2 × 0,2 
+ 6 − 4,6 2 × 0,2 + 7 − 4,6 2 × 0,1 
𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 0,676 + 0,256 + 0,108 + 0,032 + 0,392 + 0,576 
𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 2,04 
𝜎 = 2,04 
𝝈 = 𝟏, 𝟒𝟑 
𝐸 𝑇 = 𝑡 × 𝑝 𝑇 – 𝑡 
𝑇
𝑡=2
 
𝐸 𝑇 = 2 × 0,1 + 3 × 0,1 + 4 × 0,3 + 5 × 0,2 + 6 × 0,2 + 7 × 0,1 
𝑬(𝑻) = 𝟒, 𝟔 
(a) 
(b) 
𝑬(𝒙) 
𝑭(𝒙) 
𝒇(𝒙) 
𝑨 
Variância 
Variável Aleatória Discreta 
𝒇𝒅𝒂 
Valor Esperado 
𝒇𝒅𝒑 
𝝈 
Resumo da aula 
Profa. Kellen Carla Lima 
Desvio padrão 
Seja X uma variável aleatória (v.a.).. Se o número de 
valores possíveis de X for enumerável (finito ou 
infinito), 
𝒇 𝒙 = 𝑷(𝑿 = 𝒙) 
𝑭𝑿 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 = 𝒑(𝒚)
𝒚:𝒚≤𝒙
 
𝑬 𝑿 = 𝒙𝒊. 𝒑(𝒙𝒊)
𝑵
𝒊=𝟏
 
𝑽 𝒙 = 𝝈𝟐 𝑽 𝑿 = 𝝈
𝟐 = [𝒙𝒊 − 𝑬 𝑿 ]
𝟐
𝟖
𝑿=𝟒
. 𝒑(𝑿) 
𝝈 = [𝒙𝒊 − 𝑬 𝑿 ]
𝟐
𝟖
𝑿=𝟒
. 𝒑(𝑿) 
Profa. Kellen Carla Lima 
01_Exercício Final de Aula 
Distribuições de Probabilidades Discretas (Parte 1) 
Uma loja de eletrodomésticos vende três modelos diferentes de freezer verticais com 
13.5; 15.9; 19.1 pés3 de espaço. Seja X = volume de armazenagem comprado pelo 
próximo cliente. Suponha que a fda de X seja: 
a) Calcule E(X), E(X²) e Var(X). 
E(X) = 16,38 E(X²) = 272,298 Var(X) = 3,9936 
 
b) Se o preço de um freezer com X pés3 de capacidade for 25X – 8,5, qual será o preço 
esperado pago pelo próximo cliente? 
401 
 
c) Qual é a variância do preço 25X – 8,5 pago pelo próximo cliente? 
2496 
 
d) Suponha que, apesar da capacidade nominal de um freezer ser X, a capacidade real seja 
h(X) = X – 0,01X². Qual é a capacidade real esperada do freezer comprado pelo próximo 
cliente? 
13,66 
X 13,5 15,9 19,1 
P (X) 0,2 0,5 0,3 
P
ro
fa
. K
ell
en
 C
ar
la 
 L
im
a 
P
ro
fa
. K
ell
en
 C
ar
la 
 L
im
a 
02_Exercício Final de Aula 
Distribuições de Probabilidades Discretas (Parte 1) 
Uma organização de consumidores que avalia automóveis relata costumeiramente o 
número de defeitos graves em cada carro examinado. Seja X o número de defeitos 
graves em um carro de determinado tipo selecionado aleatoriamente. A FDA de X é 
como abaixo: 
 0 x < 0 
 0,06 0 ≤ x < 1 
 0,19 1 ≤ x < 2 
F(x)= 0,39 2 ≤ x < 3 
 0,67 3 ≤ x < 4 
 0,92 4 ≤ x < 5 
 0,97 5 ≤ x < 6 
 1 x > 6 
 
Calcule as seguintes probabilidades diretamente pela FDA: 
 
a) p(2) Gabarito 0,39 - 0,19 = 0,2 
b) p(X > 3) Gabarito 1- 0,67 = 0,33 
c) p(2 < X < 5) Gabarito 0,92 – 0,39 = 0,53