Matrizes 2

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Ficha de Trabalho 2 – Matrizes 2 : Eliminação e Característica 
 
 1 
 
 
Matrizes 2: Eliminação e Característica 
 
Observações: 
 Material de apoio às aulas. 
 
 Esta ficha de trabalho tem exercícios tipo, escolhidos, ordenados e comentados, 
de forma a que o estudante possa “ir crescendo” e ganhando segurança no seu estudo. 
 
 Procedimento de estudo proposto: 
1) Leia as sínteses-formulários no final da ficha de trabalho (incluído revisões); 
2) Estude os exercícios resolvidos – foram especialmente escolhidos e ordenados. 
Note em especial os comentários; 
3) Complemente o seu estudo com as folhas teóricas e os livros de texto 
recomendados; 
4) Tente resolver sem consultar as resoluções os exercícios propostos; 
5) Finalmente, faça controlando o tempo, os exercícios de auto-avaliação. 
 
Exercícios Resolvidos ..................................................................................................... 2 
Exercícios Propostos ....................................................................................................... 6 
Teste de Auto-Avaliação (40 minutos) ......................................................................... 7 
Síntese (Matrizes 2) ........................................................................................................ 8 
 
 
 
Tópicos teóricos: 
 Matriz em escada. 
 Operações elementares. 
 Matrizes equivalentes por linhas. 
 Eliminação (ou Condensação) de Gauss. 
 Característica de uma matriz. 
 
 
 
Ficha de Trabalho 2 – Matrizes 2 : Eliminação e Característica 
 
 2 
Exercícios Resolvidos 
 
ER 1. Indique quais das matrizes seguintes estão em escada: 
 
4 2
0 2
A
 
  
 
 
4 1
2 2
B
 
  
  
 
10 1
0 0
C
 
  
 
 
 
4 2 2
0 3 4
D
 
  
 
 
5 2 8
0 0 4
E
 
  
 
 
4 2
4 0
F
 
  
 
 
 
0 1 1
0 2 4
G
 
  
 
 
0 3 1
2 0 4
H
 
  
 
 
0 0 0
0 0 1
M
 
  
 
 
0 1 0
0 0 1
N
 
  
 
 
 
 
Comentário inicial: Definição: Uma matriz diz-se em escada (superior) se satisfaz as 
seguintes condições: 
i) Se o primeiro elemento não nulo numa linha está na coluna j, então a linha seguinte 
começa com pelo menos j elementos nulos; 
ii) Se existirem linhas só com zeros, elas aparecem depois das linhas não nulas. 
--------------------------------------------------------------------------------- 
Resolução: Usando a definição indicada podemos separar em matrizes: 
 
Em escada: 
2
0
A
 
  
  
4
-2
; 
1
0 0
C
 
  
 
10
; 
2 2
0 4
D
 
  
  
4
3
; 
2 8
0 0
E
 
  
  
5
-4
; 
0 1 0
0 0
N
 
  
  1
 
 
Não em escada: 
1
2 2
B
 
  
  
4
: 
2
4 0
F
 
  
 
4
; 
0 1
0 2 4
G
 
  
 
1
; 
0 3 1
2 0 4
H
 
  
 
; 
0 0 0
0 0 1
M
 
  
 
 
 
 
ER 2. Indique quais das matrizes seguintes estão em forma de escada: 
 
1 0 0
0 0 5
0 2 4
A
 
 

 
  
 
3B J 
1 0 0
0 0 4
C
 
  
 
 
 
0 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 2
0 0 0 0
D
 
 
 
 
 
 
 
0 0 0 0
0 1 1 3
0 0 1 2
0 0 0 4
E
 
 
 
 
 
 
 
2F I 
 
 
Ficha de Trabalho 2 – Matrizes 2 : Eliminação e Característica 
 
 3 
Comentário inicial: Definição: Chama-se matriz identidade de ordem n à matriz 
nI em 
que os elementos principais são iguais a 1 e os restantes são iguais a 0. 
 
De acordo com esta definição temos: 
2
1 0
0 1
I
 
  
  
; i.e., matriz 2 por 2, com todas as entradas da diagonal principal iguais a 1, e 
todas as outras nulas; 
 
Definição: A matriz 
nJ tem os elementos todos iguais a 1. 
 
De acordo com esta definição temos: 
3
1 1 1
1 1 1
1 1 1
J
 
 

 
  
, i.e., matriz 3 por 3, com todas as entradas iguais a 1. 
 
Resolução: Usando a definição de matriz em forma de escada podemos separar em 
matrizes: 
 
Em (forma de) escada: 
 
1 0 0
0 0 4
C
 
  
  
 2
1 0
0 1
F I
 
   
  
 
 
Não em (forma de) escada: 
 
1 0 0
0 0 5
0 2 4
A
 
 

 
  
 
3B J 
0 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 2
0 0 0 0
D
 
 
 
 
 
 
 
0 0 0 0
0 1 1 3
0 0 1 2
0 0 0 4
E
 
 
 
 
 
 
 
 
ER 3. Indique uma matriz em forma de escada e equivalente por linhas à matriz: 
 
2 1
4 3
A
 
  
 
. 
 
 
Comentário inicial: Definição: Condensação (ou eliminação): O processo de usar 
operações elementares em linhas, para transformar uma matriz A numa matriz B em 
forma de escada (superior), diz-se condensação (superior) da matriz A. 
 
--------------------------------------------------------------------------------- 
 
Resolução: Vamos obter uma matriz em forma de escada, a partir da matriz dada: 
 
Ficha de Trabalho 2 – Matrizes 2 : Eliminação e Característica 
 
 4 
1 2 2
1 1
1 4
2
2 1 1 21 2
4 3 4 3 0
L L L
L L
A B
  

   
      
      
11
1
 
 
--------------------------------------------------------------------------------- 
Comentário final: Os pivots não podem ser nulos e estão indicados a azul. Alguns 
cálculos ficam mais simples se os pivots forem “1” ou “-1”, de forma a evitar operações 
com números fraccionários. 
 
ER 4. Indique uma matriz em forma de escada F e equivalente por linhas à matriz: 
 
2 2 2
1 0 1
1 0 0
D
 
 

 
  
. 
 
 
Resolução: Vamos obter uma matriz em forma de escada, a partir da matriz dada: 
 
2 1 2
1 2
3 1 3
2
0 12 2 2 0 1
1 0 1 2 2 2 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0
L L L
L L
L L L
D F
 

 
   
   
      
          
11
2
1
 
 
ER 5. Indique uma matriz em forma de escada e equivalente por linhas à matriz: 
 
2 1 1 1
1 1 1 1
3 2 1 2
5 1 2 3
C
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
Resolução: Vamos obter uma matriz em forma de escada, a partir da matriz dada: 
 
2 1 2
1 2
3 1 3
4 1 4
2
3
5
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 2 1 1 1 0 3 3 1
3 2 1 2 3 2 1 2 0 1 4 1
5 1 2 3 5 1 2 3 0 4 7 2
L L L
L L
L L L
L L L
C
 

 
 
      
    
        
           
    
          
-1 -1
 
 
2 3 3 2 3 4 3 4
4 2 4
3
4
1 1 1 1 1 11 1 1
0 4 1 0 4 10 4 1
0 3 3 1 0 0 2 0 0 2
0 4 7 2 0 0 9 2 0 0 0 0
L L L L L L L L
L L L
    
 
      
    
     
      
     
          
-1 -1-1
-1 -1-1
-9 -9
 
Ficha de Trabalho 2 – Matrizes 2 : Eliminação e Característica 
 
 5 
Comentário final: Note que, dada uma matriz A , não existe apenas uma forma para 
a condensar, i.e., a matriz A é equivalente (por linhas) a várias matrizes em escada. 
Alguns autores reduzem os pivots todos a “1”, o que neste caso poderia ser obtido: 
 
1 1
2 2
3 3
1
9
1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 4 1 0 1 4 1
0 0 9 2 0 0 1 2 / 9
0 0 0 0 0 0 0 0
L L
L L
L L
 
 
 
      
   
  
   
    
   
   
 
 
ER 6. Calcule, usando eliminação, a característica da matriz 
2 1
4 3
B
 
  
 
. 
 
 
Comentário inicial: Definição: A característica de uma matriz A é o número de linhas 
não nulas de qualquer matriz em escada obtida condensando A . Representa-se por 
 c A ou  r A . 
--------------------------------------------------------------------------------- 
Resolução: Vamos obter uma matriz em forma de escadas, a partir da matriz dada: 
1 2 2
1 1
1 4
2
2 1 1 21 2
4 3 4 3 0
L L L
L L
B
  

   
     
      
11
1
 
 
Pelo que a característica de B é 2, i.e.,   2r B  . 
--------------------------------------------------------------------------------- 
 
Comentário final: A característica de uma matriz A é, de forma equivalente, o número 
de pivots de qualquer matriz em escada obtida condensandoA . 
 
ER 7. Calcule a característica da matriz definida por: 
1 1 0
2 2 1
1 1 1
C
 
 
 
 
    
. 
 
 
Comentário final: Sabemos que a característica de uma matriz não se altera se sobre as 
suas linhas e/ou colunas efectuarmos uma sequência de transformações elementares. 
--------------------------------------------------------------------------------- 
 
Resolução: Vamos condensar a matriz dada 
 
1 2 2
1 3 3
2
1 1 0
2 2 1
1 1 1
L L L
L L L
C
  
 
 
 
  
 
    
2 3
1 1 0
0 0 1
0 2 1
L L
 
 

 
   
1 1 0
0 2 1
0 0 1
D
 
 
  
 
  
, 
 
portanto     3r C r D  
 
Ficha de Trabalho 2 – Matrizes 2 : Eliminação e Característica 
 
 6 
 
Exercícios Propostos 
 
EP 1. Indique quais das matrizes seguintes estão em forma de escada: 
 
4 4 4
0 5 5
0 9 9
A
 
 

 
  
 
4 4 4
0 5 5
0 0 9
B
 
 

 
  
 
4 4 4
0 0 5
0 0 9
C
 
 

 
  
 
0 2 0
0 0 3
0 0 0
0 0 1
D
 
 
 
 
 
 
 
 
1
0 2 0
0 0 3
0 0 0
0 0 0
D
 
 
 
 
 
 
 2
2 2 4
0 4 3
0 0 1
0 0 0
D
 
 
 
 
 
 
 3
1 0 0 0
0 4 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
D
 
 
 
 
 
 
 4
1 0 0 0
0 4 4 0
0 0 0 1
0 0 0 1
D
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EP 2. Indique uma matriz em forma de escada e equivalente por linhas à matriz: 
 
0 0 0 0 0
0 0 2 2 3
0 4 9 3 4
0 1 2 1 1
A
 
 

 
 
 
 
 
 
EP 3. Calcule a característica da matriz 
1 0 1
2 2 2
1 0 0
B
 
 

 
  
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 2 – Matrizes 2 : Eliminação e Característica 
 
 7 
 
Teste de Auto-Avaliação (40 minutos) 
AA.1. Considere a matriz 
1 1
2 3
B
 
  
 
. Determine as matrizes potência da matriz 
dada: a) 0B ; b) 2B ; c) 3B 
 
 
AA.2. Considere a matriz: 
0 1 0 0
1 2 3 0
1 2 1 0
0 0 0 3
C
 
 

 
  
 
 
 
 
a) Utilizando unicamente transformações elementares nas linhas, obtenha a partir de C 
uma matriz triangular superior, D . 
b) Comente: “ TD é uma matriz triangular superior”. 
 
AA.3. Considere as matrizes reais .
42
10
52
21
41
03
20
11
,
23
12
























 







 CeBA 
Indique qual das afirmações seguintes é FALSA: 
 
A) É possível calcular as matrizes TT CABeCBA  
B)
2
2 IA  
C) 
















148
21
49
74
TCA 
D) A matriz A tem característica máxima. 
 
 
AA.4. Considere a matriz 
0 0 1 0
2 3 1 1
1 2 1 0
1 1 3 1
D
 
 

 
 
 
 
 
a) Utilizando unicamente transformações elementares nas linhas, obtenha a partir de D 
uma matriz em forma de escada. 
b) Indique, justificando, a característica da matriz D. 
 
 
 
 
Ficha de Trabalho 2 – Matrizes 2 : Eliminação e Característica 
 
 8 
 
Síntese (Matrizes 2) 
 
Definição: Uma matriz diz-se em forma de escada (superior) se satisfaz as seguintes 
condições: 
i) Se o primeiro elemento não nulo numa linha está na coluna j, então a linha seguinte 
começa com pelo menos j elementos nulos; 
ii) Se existirem linhas só com zeros, elas aparecem depois das linhas não nulas. 
 
Definição: Chama-se matriz identidade de ordem n à matriz escalar 
nI em que os 
elementos principais são iguais a 1 e os restantes são iguais a 0. 
 
Definição: A matriz 
nJ tem os elementos todos iguais a 1. 
 
Definição: Chamam-se operações elementares sobre linhas (ou colunas) de uma 
matriz às seguintes operações: 
1) Troca entre si de 2 linhas (ou colunas) da matriz. 
2) Multiplicação dos elementos de uma linha (ou coluna) por um escalar 
3) Adição a uma linha (ou coluna) uma outra linha (ou coluna) multiplicada por uma 
constante. 
 
Definição: Condensação (ou eliminação de Gauss): O processo de usar operações 
elementares em linhas para transformar uma matriz A numa matriz B em forma de 
escada (superior) diz-se condensação (superior) da matriz A. 
 
Definição: O primeiro elemento não nulo (a contar da esquerda para a direita) de cada 
linha de uma matriz em escada chama-se pivot/elemento redutor. 
 
Definição: A característica de uma matriz A é o número de linhas não nulas de qualquer 
matriz em escada obtida condensando A. Representa-se por  c A ou  r A . 
 
Teoremas: A característica de uma matriz A é, de forma equivalente, o número de 
pivots de qualquer matriz em escada obtida condensando A. A característica de uma 
matriz não se altera se sobre as suas linhas e/ou colunas efectuarmos uma sequência de 
transformações elementares.