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Probabilidade e Estat́ıstica aplicada à Engenharia
Unidade IV: Modelos Probabiĺısticos
Lista de exerćıcios IV
Prof. Rodrigo Andrés Miranda Cerda
23 de Outubro de 2020
1. Seja a variável aleatória X tendo uma distribuição discreta uniforme nos
inteiros 0 ≤ x ≤ 100. Determine a média e a variância de X.
2. Considere que os comprimentos de onda de radiações fotossinteticamente
ativas (RFA) estejam distribúıdos uniformemente em nanômetros inteiros
no espectro do vermelho a partir de 675 a 700 nm. Qual é a média e a
variância da distribuição de comprimento de onda para essa radiação?
3. Suponha que X tenha uma distribuição discreta uniforme nos inteiros de 0
a 9. Determine a média, a variância e o desvio-padrão da variável aleatória
Y = 5X e compare o valor da média com o resultado correspondente para
X.
4. Estão planejadas seis missões espaciais independentes para a lua. A proba-
bilidade estimada de sucesso em cada missão é 0,95. Qual é a probabilidade
de que pelo menos cinco das missões planejadas sejam bem-sucedidas?
5. Um processo de produção que fabrica transistores opera, na média, com
fração de defeituosos de 2%. A cada duas horas extrai-se uma amostra
aleatória de tamanho 50 do processo. Se a amostra contiver mais de
dois defeituosos, o processo deve ser interrompido. Determine a probabil-
idade de que o processo seja interrompido em função desse esquema de
amostragem.
6. Um artigo na revista Information Security Technical Report, “Malicious
software - past, present and future” (Programas computacionais maliciosos
- passado, presente e futuro, 2004, Vol. 9, pp. 6-18) forneceu os seguintes
dados sobre os dez maiores casos de programas computacionais maliciosos
de 2002. O ĺıder claro no número de incidentes registrados no ano de 2002
foi “Klez”, worm internet, e ainda é uma das ameaças mais difundidas.
Esse v́ırus foi primeiro detectado em 26 de outubro de 2001 e tem-se
mantido por um peŕıodo mais longo da história da virologia no topo entre
os programas mais maliciosos.
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Lugar Nome Porcentagem de casos
1 I-Worm.Klez 61,22%
2 I-Worm.Lentin 20,52%
3 I-Worm.Tanatos 2,09%
4 I-Worm.BadtransII 1,31%
5 Macro.Word97.Thus 1,19%
6 I-Worm.Hybris 0,60%
7 I-Worm.Bridex 0,32%
8 I-Worm.Magistr 0,30%
9 Win95.CIH 0,27%
10 I-Worm.Sircam 0,24%
Suponha que 20 exemplos de programas maliciosos sejam reportados.
Suponha que as fontes maliciosas possam ser consideradas independentes.
(a) Qual é a probabilidade de no mı́nimo um caso ser “Klez”?
(b) Qual é a probabilidade de três ou mais casos serem “Klez”?
(c) Quais são a média e o desvio-padrão do número de casos “Klez” entre
os 20 reportados?
7. A probabilidade de um submarino afundar um navio inimigo com apenas
um disparo de seus torpedos é de 0,8. Se os disparos são independentes,
determine a probabilidade de um afundamento entre os dois primeiros
disparos, e a probabilidade de um afundamento entre os três primeiros.
8. Em Atlanta, a probabilidade de ocorrência de um temporal em qualquer
dia de primavera é de 0,05. Supondo independência, qual é a probabilidade
de que o primeiro temporal ocorra em 25 de abril? Suponha que o primeiro
dia de primavera no hemisfério norte é no dia 21 de março.
9. Suponha que a probabilidade com que um bit transmitido através de um
canal digital de transmissão seja recebido com erro é de 0,1. Suponha que
a v. a. X seja o número de bits transmitidos até que o primeiro erro seja
encontrado, e que as transmissões sejam eventos independentes.
(a) Qual é a probabilidade de que os quatro primeiros bits sejam trans-
mitidos corretamente e que o quinto tenha erro?
(b) Qual é o número médio de transmissões até que o primeiro erro seja
encontrado?
(c) Calculo o desvio-padrão.
10. Suponha queX tenha uma distribuição hipergeométrica comN = 100, n =
4 e D = 20. Determine o seguinte:
(a) P (X = 1).
(b) P (X = 6).
(c) P (X = 4).
(d) Determine a média e a variância de X.
11. Uma companhia emprega 800 homens com 55 anos. Suponha que 30%
carreguem um marcador no cromossomo masculino, que indique um risco
crescente de alta pressão sangǘınea. Se 10 homens na companhia forem
testados em relação ao marcador nesse cromossomo, qual será a probabil-
idade de exatamente um homem ter esse marcador?
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12. Suponha que X tenha uma distribuição de Poisson, com uma média de 4.
Determine as seguintes probabilidades:
(a) P (X = 0).
(b) P (X ≤ 2).
(c) P (X = 4).
(d) P (X = 8).
13. O número de carros que atravessam uma ponte durante um certo intervalo
tem uma distribuição de Poisson com λ = 4. Ache a probabilidade que
durante o intervalo:
(a) Nenhum carro atravesse a ponte.
(b) Exatamente três carros atravessam a ponte.
(c) No máximo cinco carros atravessam a ponte.
14. Suponha que o número de falhas num fio de cobre siga uma distribuição
de Poisson, com uma média de 2,3 falhas por miĺımetro. Determine a
probabilidade de existirem exatamente 2 falhas em 1 milimetro de fio.
15. Suponha que X tenha uma distribuição exponencial, com λ = 0,1. Deter-
mine o seguinte:
(a) P (X > 10).
(b) P (X > 20).
(c) P (X < 30).
(d) Encontre o valor de x tal que P (X < x) = 0,95.
16. Suponha que o tempo de espera de um cliente num restaurante de comida
rápida tenha uma distribuição exponencial, com uma média de 6 minutos.
Calcule a probabilidade que um cliente tenha que esperar mais de 12
minutos até ser atendido.
17. Use a Tabela III do Apêndice do livro Montgomery e Runger, “Estat́ıstica
aplicada e probabilidade para engenheiros” (adjunta no final desta lista
de exerćıcios) para determinar as seguintes probabilidades para a variável
aleatória normal padrão Z:
(a) P (Z < 1,32).
(b) P (Z < 3,0).
(c) P (Z > 1,45).
(d) P (Z > -2,15).
(e) P (-2,34 < Z < 1,76).
18. Suponha que X seja distribúıda normalmente, com uma média de 10 e um
desvio-padrão de 2. Determine o seguinte:
(a) P (X < 13).
(b) P (X > 9).
(c) P (6 < X < 14).
(d) P (2 < X < 4).
(e) P (-2 < X < 8).
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19. A largura de uma linha para a fabricação de semicondutores tem suposta-
mente uma distribuição normal, com uma média de 0,5 micrômetro e um
desvio-padrão de 0,05 micrômetro.
(a) Qual é a probabilidade da largura da linha ser maior que 0,62 micrômetro?
(b) Qual é a probabilidade da largura da linha estar entre 0,47 e 0,63
micrômetro?
(c) Abaixo de que valor está a largura da linha de 90% das amostras?
20. A velocidade de transferência de um arquivo de um servidor da universi-
dade para um computador pessoal na casa de um estudante, em uma noite
de dia de semana, é distribúıdo normalmente, com média de 60 kilobits
por segundo e um desvio-padrão de 4 kilobits por segundo.
(a) Qual é a probabilidade de o arquivo se transferir a uma velocidade
de 70 kilobits por segundo ou mais?
(b) Qual é a probabilidade de o arquivo se transferir a uma velocidade
menor que 58 kilobits por segundo?
(c) Se o tamanho do arquivo for 1MB, qual será o tempo médio que o
arquivo levará para se transferir? Considere oito bits por byte.
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