1ª lista de exercícios

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Universidade Estadual do Maranhão
Departamento de Matemática e Informática - CECEN
Disciplina: Cálculo de Funções de Várias Variáveis Professor: Marlon Oliveira
1a Lista de Exerćıcios
1a Questão
Faça a representação dos campos vetoriais gerados por.
a) ~V = −y~i+ x~j.
b) ~V = 2x~i+ y2~j.
c) ~V = (−x,−y).
2a Questão
Determine o domı́nio e valor da função vetorial em t0.
a) ~r(t) = (
√
t2 − 9, t) em t0 = 5.
b) ~r(t) = (cos(tπ), sen(tπ), ln(t) em t0 = 1.
3a Questão
Verifique se a função vetorial r(t) é continua em t0, onde
a) r(t) =
(
t,
t+ 1
t− 1
,
2t+ 3
2t
)
em t0 = 2.
b) r(t) =
(
et, t2 + 2, 0
)
em t0 = 0.
c) r(t) = (t+ 1, t− 1, sen(tπ)) em t0 = 0.
4a Questão
Faça um esboço das curvas
a) x = −1 + t , y = 2− t para t ∈ R.
b) x = −1 + t2, y = 2− t2 para t ∈ R.
c) x = t2 , y = t3 para t ∈ R.
5a Questão
Dê uma parametrização para cada uma das curvas
a) A reta 3x− 2y = 6.
b) A parábola x2 = 6y.
c) A circunferência x2 + y2 = 9.
.
6a Questão
Determine as retas tangente e normal às curvas no ponto t0
a) r(t) = (sen(t) , (t2 − cos(t))) no ponto t0 = 0.
b) r(t) = (2cos(t)− 3 , (3sen(t) + 1)) no ponto t0 = π/4.
7a Questão
Considere a curva r(t), calcule a velocidade e aceleração da part́ıcula que percorre a trajetória
a) r(t) = 2cos(t)~i+ 3sen(t)~j no ponto t = π/2.
b) r(t) = cos(2t)~i+ 2sen(t)~j no ponto t = 0.
8a Questão
Uma part́ıcula se move ao longo de uma curva parametrizada por α(t) = (t− sen(t), 1− cos(t)) para
t ∈ [0, 2π]. Determine os instantes onde a velocidade escalar seja unitária.
9a Questão
Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma part́ıcula que se move ao longo das curvas
de equações.
a) α(t) = (et cos(t), etsen(t)) , 0 ≤ t ≤ 2.
b) α(t) = (sen(t), t, 1− cos(t)) , 0 ≤ t ≤ 2π.
c) α(t) = (t, 3t2, 6t3) , 0 ≤ t ≤ 2.
10a Questão
Determine a curvatura da curva α(t) = (2et , 2e−t) no ponto P = (2, 2).
11a Questão
Determine o domı́nio das seguintes funções.
a) f(x, y) =
√
x+ y − 4.
b) f(x, y) =
5 ln(x+ ‘y)√
4− x2 − y2
12a Questão
Esboce algumas curvas de ńıvel das fuções e tente visualizar as superf́ıcies.
a) f(x, y) =
y
x
2
b) f(x, y) = x+ y
c) f(x, y) = x− y2
d) f(x, y) = x2 + y2
e) f(x, y) =
√
x2 + y2 − 1
13a Questão
Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele não existe.
a) lim(x,y)→(0,0)
x
x+ y
b) lim(x,y)→(0,0)
2x2 − y2
x2 + 3y2
c) lim(x,y)→(0,0)
3xy
4x4 + y4
14a Questão
Discuta a continuidade da função f(x, y) =
x3.y2
x8 + y4
se (x, y) 6= (0, 0) e f(x, y) = 0 se (x, y) = (0, 0).
15a Questão
Determine as derivadas parciais indicada
a) f(x, y) = 3xy + 6x− y2, determine fx.
b) f(x, y) =
x+ y√
y2 − x2
determine fy
c) f(x, y) =
x
y
− y
x
determine fx, fy, fxy, fyx, fxx e fyy
16a Questão
Determine
a) Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
f(x, y) = 4x3y2 + 2y no ponto (1,-2,12).
b) f(x, y) = xe−y no ponto (1,0,1).
c) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) = xy + 4x+ 2 que é paralelo ao
plano OXY.
d) O plano tangente ao Parabolóide z =
x2
9
+
y2
25
no ponto (6,10,8).
17a Questão
Cálcule
dz
dt
usando a regra da Cadeia.
a) z = yex + xey, onde x = cos t e y = sent.
b) z = xy + x2, x = et cos t e y = e−t.
3
c) z = yex+y, x = t e y = cos t.
18a Questão
Cálcule as derivadas direcionais.
a) Da função f(x, y) =
√
4− x2 − y2 , no ponto P (0, 1) e na direção do vetor u = (2, 2).
b) Da função f(x, y) = ex
2−y2 , no ponto P (1, 1) e na direção do vetor u = (1, 3).
c) Da função f(x, y, z) = sen(xy) + cos(yz) , no ponto P (1, 0,−1) e na direção do vetor
u = (−1, 2, 2).
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