Tarefa Módulo 9

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Tarefa Módulo 9 
O prazo para você postar sua resposta encerra-se às 23h59min do próximo domingo, dia 
25/10/2020. 
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Considere a seguinte equação diferencial para 𝑦 𝑥 : 
𝑥𝑦′′ + 1 − 𝑥 𝑦′ − 𝑦 = 0, (𝑥 > 0). 
(a) Mostre que 𝑥 = 0 é um ponto singular regular desta equação diferencial. 
(b) Utilize o método de Frobenius para determinar um sistema fundamental de soluções desta 
equação diferencial. Escreva sua 1ª solução do sistema fundamental, sob forma fechada, 
reconhecendo-a entre as séries que representam cos 𝑥, sin𝑥, 𝑒𝑥 , cosh𝑥, sinh𝑥, que 
explicitamos no arquivo pdf que acompanha a videoaula 19. 
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Dicas: 
Algumas integrais que poderão ser úteis: 
 𝑥2𝑒𝑎𝑥𝑑𝑥 =
𝑒𝑎𝑥
𝑎
 𝑥2 −
2𝑥
𝑎
+
2
𝑎2
 
 𝑥𝑒𝑎𝑥𝑑𝑥 =
𝑒𝑎𝑥
𝑎
 𝑥 −
1
𝑎
 
 
𝑒𝑎𝑥
𝑥
𝑑𝑥 = ln 𝑥 +
𝑎𝑥
1 ∙ 1!
+
(𝑎𝑥)2
2 ∙ 2!
+
(𝑎𝑥)3
3 ∙ 3!
+ ⋯ 
 
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 =
1
2
(ln 𝑥)2 
 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 
 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
 ln 𝑥 −
1
2
 
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