Atividade 4 (A4) CALCUILO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS

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Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS 
GR0551211 - 202110.ead-29779045.06 
Teste ATIVIDADE 4 (A4) 
Iniciado 11/02/21 09:39 
Enviado 11/02/21 10:48 
Status Completada 
Resultado da 
tentativa 
9 em 10 pontos 
Tempo decorrido 1 hora, 9 minutos 
Resultados 
exibidos 
Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários 
 Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
Leia o excerto a seguir: 
 
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A 
queda de voltagem por causa do indutor é . Uma das Leis de Kirchhoff 
diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida . 
Então. temos , que é uma equação diferencial de primeira ordem que 
modela a corrente no instante ” (STEWART, 2016, p. 537). 
 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
 
Considerando uma resistência de , uma indutância de e uma 
voltagem constante de , assinale a alternativa que corresponde à 
expressão da corrente do circuito quando o interruptor é ligado em . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A partir da 
equação diferencial fornecida no enunciado, , e dos 
valores fornecidos, e , temos que . Arrumando 
a expressão da equação diferencial, temos 
. 
Tomando temos . Para , temos que , 
portanto a expressão da corrente é . 
 
 Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma 
grandeza podem ser modelados matematicamente por meio do seguinte 
problema de valor inicial: 
 , 
onde é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou 
negativa. Considere a seguinte situação: 
 
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento 
é proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que 
corresponde à expressão da função crescimento dessa população. 
 
 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema 
pode ser descrito pela seguinte equação diferencial , 
onde é a função quantidade de bactérias que depende 
do tempo . Além disso, temos os seguintes dados: 
para temos . Resolvendo a equação diferencial, 
temos 
, onde e são constantes e . 
 
Como temos . Portanto, a função que descreve o 
crescimento dessa população de bactérias é . 
 
 Pergunta 3 
0 em 1 pontos 
 
Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial 
de primeira ordem e primeiro grau que pode ser escrita na forma . O 
nome separável vem do fato de que a equação pode ser separada em uma 
função de e uma função de . A solução de tal equação é obtida 
ao integrarmos ambos os lados da igualdade. 
 
Dado que é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que 
corresponde à solução da equação diferencial separável . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Comentário 
da resposta: 
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. 
Primeiramente, vamos separar as variáveis e na 
equação diferencial para poder exibi-la na forma separável. 
Em seguida, vamos integrar ambos os membros da 
igualdade para obter sua solução. Então, 
 
onde . 
 
 
 Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua 
linearidade em equação diferencial linear e equação diferencial não linear . 
As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas 
propriedades: Considere que a variável independente é e a variável 
dependente é , temos que: (i) A variável dependente e todas as 
suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada 
coeficiente depende apenas da variável independente . 
 
 
Considere a variável uma função da variável , isto é, . 
Analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A equação diferencial é linear. 
II. A equação diferencial é linear. 
III. A equação diferencial é linear. 
IV. A equação diferencial é linear. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
I, III e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
I, III e IV, apenas. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com 
as condições de linearidade de uma equação diferencial, 
temos que as afirmativas I, III e IV estão corretas, pois em 
todas elas temos que a variável dependente e todas as 
suas derivadas possuem grau 1, e cada coeficiente depende 
apenas da variável independente . 
 
 
 Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade 
inicial se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. 
Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor 
elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação 
diferencial: , onde representa a quantidade de átomos presente 
na substância e é uma função do tempo . Uma substância radioativa 
teve sua quantidade inicial reduzida em 0,043% após 15 anos. 
 
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. O valor da constante de proporcionalidade é . 
II. A função que representa o problema descrito é . 
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos. 
 
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
Resposta Selecionada: 
I e II, apenas. 
Resposta Correta: 
I e II, apenas. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a 
equação diferencial separável , temos que as 
afirmativas I e II estão corretas, pois 
, onde . 
Para , concluímos que e, 
para concluímos . Portanto, a função que 
representa o problema descrito é . 
 
 
 Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns 
critérios. Por exemplo, podemos classificar uma equação diferencial de 
acordo com sua ordem e grau. No caso da classificação pela ordem, temos 
que esta é definida pela ordem da mais alta derivada que aparece na 
equação, e a classificação pelo grau é dada pelo expoente da derivada de 
maior ordem que aparece na equação. 
 
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa 
correta: 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
A equação diferencial é de ordem 1 e grau 1. 
Resposta Correta: 
A equação diferencial é de ordem 1 e grau 1. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com 
as definições de classificação por ordem e grau, temos que a 
ordem da equação é definida pela “maior derivada” da 
equação, no caso, a maior derivada é a de ordem 1, . Já 
 
a classificação pelo grau é dada pelo expoente da maior 
derivada, nesse caso, grau 1, pois . 
 
 Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na 
forma , onde e são funções contínuas em um dado 
intervalo. A solução geral para equações diferenciais lineares de primeira 
ordem é dada pela expressão . 
 
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na 
sequência, assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s): 
 
 
I. A solução geral da equação é . 
II. A solução geral da equação é . 
III. A solução geral da equação é . 
IV. A solução geral da equação é . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
I, II e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
I, II e IV, apenas. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando o 
método de solução para uma equação diferencial linear, 
temos: 
Afirmativa I: correta. Temos que e , assim, 
. 
 
Afirmativa II: correta. Dividindo toda a equação por , 
temos que e , assim, . 
 
 
Afirmativa IV: correta. Temos que e , assim, 
, onde . 
 
 Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
A lei de resfriamentode Newton nos permite calcular a taxa de variação da 
temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: 
Um cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo 
apresentava uma temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa 
temperatura caiu para 90 °C. Sabendo que a temperatura do ambiente é de 
25°C, calcule quanto tempo levará para que o bolo esfrie até a temperatura 
de 30 °C. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
20 minutos. 
Resposta Correta: 
20 minutos. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de 
resfriamento do bolo pode ser descrita pela equação 
diferencial onde e são fornecidas as seguintes 
informações: e . Nosso problema consiste em 
determinar o tempo , em minutos, tal que . 
Resolvendo a equação diferencial, temos 
, onde . Das condições e vamos 
determinar as constantes e . De temos . 
De , temos . Portanto, a função temperatura do bolo 
é . Vamos determinar agora o tempo para o qual a 
temperatura é 30ºC. De , temos . 
 
 
 Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. 
O método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas 
características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações 
 
diferenciais escritas na forma são ditas equações diferenciais 
separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da 
igualdade. 
 
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, 
analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A solução da equação é . 
II. A solução da equação é . 
III. A solução da equação é . 
IV. A solução da equação é . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
Resposta Selecionada: 
I e III, apenas. 
Resposta Correta: 
I e III, apenas. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando 
adequadamente o método de solução nas equações 
diferenciais separáveis, temos que: 
Afirmativa I: correta. Separando as variáveis: . 
Integrando a equação: , onde . 
Afirmativa III: correta. Separando as variáveis: . 
Integrando a equação: , onde . 
 
 
 Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico 
simples , o qual pode ser descrito pela equação , onde é uma 
função do tempo que indica a posição da massa, é a massa da 
mola e é a constante elástica. Para uma mola de comprimento natural 
de 0,75 m e 5 kg de massa, é necessária uma força de 25 N para mantê-la 
esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola for solta com velocidade 
nula ao ser esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da 
massa após segundos? 
 
 
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ). 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado 
fornece as seguintes condições: (a mola no 
tempo está esticada em 1,1 m sendo seu comprimento 
natural de 0,75 m; portanto, está deformada em 0,35 m) 
e (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a 
função velocidade é a derivada primeira da função posição). 
Pela lei de Hooke, temos que o valor da constante elástica 
é: . Tomando e na EDO , obtemos a 
EDO . Resolvendo o PVI: , e , temos que a 
solução geral da EDO é e, portanto, a solução do PVI 
é 
 
 
Quinta-feira, 11 de Fevereiro de 2021 10h50min24s BRT