LISTA_ERE_11

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LISTA DE EXERCÍCIO ERE AULA 11 
01. Um tanque cilíndrico cheio d’água tem uma altura de 10 pés e uma base de 
30 pés² de área. A água vaza por um buraco na base de 
 
 
 pé² de área. Quanto 
tempo leva 
a) para a metade da água vazar do tanque? 
b) para esvaziar o tanque? 
 
02. Calcular a velocidade de um paraquedista com massa corporal m = 75 kg , 
no instante t = 15 s em que abre o paraquedas, considerando o coeficiente de 
atrito k = 5 kg/s . Calcular também a velocidade limite, considerando o 
coeficiente de atrito, após a abertura do paraquedas, como k = 110 kg/s. 
 
03. Um tanque cônico cheio d’água tem uma altura de 12 pés [Figura]. Suponha 
que o topo seja um círculo de 4 pés de raio e que a água vaze por um buraco 
na base de 2 pol² de área (1 pé = 12 pol). Seja o nível d’água no instante 
 . 
 
 
a) Mostre que a área da seção transversal do tanque à altura é 
 
 
 . 
b) Encontre a equação diferencial satisfeita por e resolva para . 
Use a condição inicial y(0) = 12. 
c) Quanto tempo leva para esvaziar o tanque? 
 
04. Um objeto que pesa 4 N cai desde uma grande altura partindo do repouso. Se 
o ar exerce uma resistência de 
 
 
 N, onde é a velocidade em m/s, [figura]. 
Achar a velocidade e a distância percorrida no instante de tempo . 
 
 
05. O tanque da [Figura] é um cilindro de 10 pés de raio e 40 pés de 
comprimento, com água pela metade. Suponha que a água esteja vazando 
por um buraco com B = 3 pol³ de área no fundo do tanque (1 pé = 12 pol). 
Determine o nível d’água e o instante em que o tanque fica vazio. 
 
 
06. Um objeto que pesa 30 N se deixa cair desde uma altura de 40 m, com uma 
velocidade inicial de 3 m/s. Suponhamos que a resistência do ar é 
proporcional a velocidade do corpo. Se sabe que a velocidade limite deve ser 
de 40 m/s .Encontrar: 
a) a velocidade depois de 8 segundos; 
b) a expressão para a posição do corpo no instante de tempo ; 
 
07. Um tanque cilíndrico cheio d’água tem pés de altura e uma base de pés² 
de área. A água vaza por um buraco no fundo com pol² de área (1 pé = 12 
pol). 
a) Mostre que o tempo necessário para esvaziar o tanque é proporcional a 
 √ 
 
. 
b) Mostre que o tempo necessário para esvaziar o tanque é proporcional a 
 
 
 , onde V é o volume do tanque. 
c) Dois tanques têm o mesmo volume e buracos de mesma área, mas alturas e 
bases diferentes. Qual é o tanque que esvazia primeiro: o mais alto ou o mais 
baixo? 
 
08. Um paraquedista, pesando 70 kg, salta de um avião e abre o paraquedas após 
10 s. Antes da abertura do paraquedas, o seu coeficiente de atrito é 
kg/s e depois kg/s. 
a) Qual a velocidade do paraquedista no instante em que ele abre o 
paraquedas? 
b) Qual a distância percorrida em queda livre? 
c) Qual a velocidade mínima que o paraquedista poderá atingir após a 
abertura do paraquedas? 
 
09. Um tanque cilíndrico de 4 m de altura e 1 m de raio está cheio d’água. A 
água vaza por um buraco quadrado no fundo do tanque, de 2 cm de lado. 
Determine o nível d’água no instante (segundos). Quanto tempo leva 
para o tanque passar de cheio para vazio? 
 
10. Seja a velocidade de um objeto de massa em queda livre perto da 
superfície terrestre. Se supusermos que a resistência do ar seja proporcional a 
 , então satisfaz a equação diferencial 
 
 
 
 
 
a) Denotando 
 
 , reescreva a equação diferencial como 
 
 
 
 
 
 
Em seguida, resolva usando separação de variáveis com condição inicial 
 . 
b) Mostre que a velocidade terminal é igual a – . 
 
11. Água vaza por um buraco de área B = 0,002 m² na base de um tanque 
cilíndrico cheio d’água de altura 3 m e uma base de 10 m² de área. Quanto 
tempo leva 
a) para a metade da água vazar do tanque 
b) para esvaziar o tanque? 
 
12. Considere um paraquedista em queda livre, sem o acionamento do 
paraquedas. Determine a sua velocidade como função do tempo e sua 
velocidade limite (t→∞). Considere . Obs.: Considere = 
“peso do paraquedista com o paraquedas” e “ =resistência do ar”. 
 
13. Em , um tanque cônico de 300 cm de altura e topo de 100 cm de raio 
está cheio d’água [Figura]. A água vaza por um buraco na base de área B = 3 
cm². Seja o nível d’água no instante . 
 
a) Mostre que a área da seção transversal do tanque à altura y é 
 
 
 . 
b) Encontre e resolva a equação diferencial satisfeita por . 
c) Quanto tempo leva para esvaziar o tanque? 
 
 
 
14. Um corpo de massa cai do repouso em um meio que oferece resistência 
proporcional ao quadrado da velocidade. Ache a relação entre a velocidade 
e o tempo . Ache a velocidade limite. 
 
15. O tanque da [Figura] é um cilindro de 4 m de raio e 15 m de comprimento. 
Suponha que o tanque tenha água pela metade e que a água esteja vazando 
por um buraco de área B = 0,001 m² no fundo do tanque. Determine o nível 
d’água e o tempo que leva para o tanque esvaziar. 
 
 
 
16. Quando um corpo se move através de um fluido viscoso sob a ação de uma 
força , a força resultante é , onde depende da forma do corpo, 
é a velocidade do corpo e é o coeficiente de viscosidade. Obter a 
velocidade como função do tempo. Suponha que o movimento seja retilíneo, 
que a força aplicada seja constante e que . 
 
17. Um tanque tem a forma da parábola girada em torno do eixo y. A 
água vaza por um buraco de área B = 0,0005 m² na base do tanque. Seja 
o nível d’água no instante de tempo . Quanto tempo leva para o tanque 
esvaziar se inicialmente ele está com água à altura de m?