EAD0210 - INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - Semana III - Fórum de dúvidas

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Fórum de dúvidas – Unidade I 
Semana III – Equações exatas e redutíveis 
 
1. Quando uma EDO vai ser exata? 
Quando existe uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) com derivadas parciais de primeira e segunda 
ordem tal que sua diferencial total seja igual ao primeiro membro da equação, ou seja, 
𝑑𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦. 
 
2. Qual o critério é aplicado para identificar EDOs exatas? É sempre necessário verificar 
antes de resolver? 
Sejam 𝑀(𝑥, 𝑦) e 𝑁(𝑥, 𝑦) funções contínuas e com derivadas parciais contínuas em 
uma região 𝑅. É possível mostrar que a condição necessária e suficiente para que uma 
equação do tipo, 
𝑀(𝑥, 𝑦) + 𝑁(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0, 
seja exata, isto é, para que exista a função 𝐹(𝑥, 𝑦), é que 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
. 
Quanto ao segundo questionamento, se a equação for escrita dessa forma 
𝑀(𝑥, 𝑦) + 𝑁(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0, 
a resposta é sim, precisamos sempre verificar se a EDO é exata antes de resolver, pois 
se ela não for exata não poderemos encontrar 
𝐹(𝑥, 𝑦). 
 
3. Qual o método de solução de uma EDO exata? 
Suponha que, dada a EDO na forma 
𝑀(𝑥, 𝑦) + 𝑁(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0, 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO - UFERSA 
POLO: Pau dos Ferros 
CURSO: Licenciatura Matemática 
DISCIPLINA: EAD0210 - Introdução às Equações Diferenciais 
ALUNO: Magnus Kelly de Oliveira Pinheiro 
 
a igualdade dada por 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 
seja verdadeira. Então, integrando a função 𝑀(𝑥, 𝑦) em relação a 𝑥 e mantendo 𝑦 
constante obtemos a função 𝐹(𝑥, 𝑦) definida por 
𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥), 
onde a função 𝑔(𝑥) é a constante de integração em 𝑥 (pode ser constante ou não 𝑦). 
Diferenciando 
𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦) 
em relação a 𝑦, obtemos 
𝜕𝐹
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔′(𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦), 
resultando a seguinte expressão para 𝑔′(𝑦) 
𝑔′(𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦) −
𝜕
𝜕𝑦
∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥, 
que ao ser integrada em relação a 𝑦 e substituindo 𝑔(𝑦) em 
𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦) 
obtemos a solução implícita 
𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝐶 
 
4. É possível transformar uma EDO não-exata em uma EDO exata? 
Algumas vezes, é possível converter uma EDO que não é exata numa EDO exata, 
multiplicando-a por um fator integrante. 
 
5. Como exercício bônus pesquise sobre EDOs redutíveis à EDOs exatas e as maneiras 
de encontrar fatores integrantes. 
EDOs redutíveis podem ser transformadas em EDOs exatas ao serem multiplicadas 
por um fator integrante, que pode ser encontrado por 
𝜇′
𝜇
=
𝜕𝑄
𝜕𝑥 −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑄 ∙
𝜕𝑠
𝜕𝑥
− 𝑃 ∙
𝜕𝑠
𝜕𝑦
; 𝑠 = (𝑥, 𝑦) 
 
que pode ser simplificada fazendo 
𝑠 = 𝑥 →
𝜕𝑠
𝜕𝑥
= 1;
𝜕𝑠
𝜕𝑦
= 0 →
𝜇′
𝜇
=
𝜕𝑄
𝜕𝑥 −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑄
 
𝑠 = 𝑦 →
𝜕𝑠
𝜕𝑥
= 0;
𝜕𝑠
𝜕𝑦
= 1 →
𝜇′
𝜇
=
𝜕𝑄
𝜕𝑥 −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
𝑃
 
Depois, calculamos 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
 e 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
, que devem ser identificados previamente na EDO 
redutível, e substituímos nas equações acima, a que retornar uma função dependendo 
apenas de uma variável, será usada para nos da o fator integrante. Ao encontrarmos o 
fator integrante, devemos multiplicar a EDO original por ele, o que a transformará em 
uma EDO exata. Dessa forma podemos dizer que a EDO é redutível, pois ao 
multiplicá-la por um fator integrante obtemos uma EDO exata.