Exercício de Calculo 2

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11.5 Questão 23 - Encontre o comprimento da curva no exercício:
A cardioide r = 1 + cos θ. Eq. 01
Resposta: Para encontrarmos o comprimento da curva iremos utilizar a equação abaixo:
L =
∫ β
α
√
r2 +
(
dr
dθ
)2
dθ.
Iremos de inicio substituir tudo que esta dentro da raiz na integral acima, assim temos:
A derivada de r: drdθ = − sin θ .
Portanto:
r2 +
(
dr
dθ
)2
= (1 + cosθ )
2
+ sen2θ → 1 + 2 cosθ + cos2θ + sen2θ
= 2 + 2 cos θ → 2 (1 + cos θ).
Agora iremos substituir a Eq. 01, ficando da seguinte forma:∫ 2π
0
√
2 (1 + cos θ)dθ.
Vamos considerar somente uma parte da cardioide, o limite de 0 a π. Assim podemos facilitar nossa contas,
multiplicando a integral por dois, no qual seria a volta que estamos desconsiderando, ficando a equação da seguinte
forma:
L = 2
∫ π
0
√
2 (1 + cos θ)dθ.
Iremos multiplicar a equação dentro da raiz por 22 :
2
∫ π
0
√
4(1+cos θ )
2 dθ = 4
∫ π
0
√
1+cos θ
2 dθ
Simplificamos a parte interna da raiz:
4
∫ π
0
√
cos
(
θ
2
)2
dθ → 4
∫ π
0
cos
(
θ
2
)
dθ
Fizemos a substituição de θ2 por u e calculamos a integral definida:
4
∫ π
0
2 cosu du → 8
∫ π
0
cos u du → 8
[
sin θ2
]π
0
→ 8
11.6 Questão 5 - Asssocie a equação a seção cônica. Se a seção cônica for uma hipérbole, encontre também suas
assíntotas.
x2
4 +
y2
9 = 1
Resposta: Para encontrar os valores de a e b substituimos na equação y
2
a2 −
x2
b2 = 1 assim:
a2 = 4→ a = 2
b2 = 9→ b = 3
Utilizando a equação c2 = a2 + b2 encontramos o valor de c:
c =
√
4 + 9→ c =
√
13
Para encontrar as assíntotas utilizamos a equação y = ±abx:
y = ± 32x
Vertices:(±2; 0)
Focos:(±
√
13; 0)
11.6 Questão 8 - Asssocie a equação a seção cônica. Se a seção cônica for uma hipérbole, encontre também suas
assíntotas.
y2
4 − x
2 = 1
Resposta: Com a equação dada, podemos obter os valores de a e b observando a equação da hipérbole: y
2
a2 −
x2
b2 = 1
a2 = 4→ a = 2
b2 = 1→ b = 1
Daí, aplicando na equação c2 = a2 + b2 obtemos o valor do foco:
c =
√
4 + 1→ c =
√
5
Para descobrir o valor da Assíntotas utilizamos a equação y = ±abx:
y = ±2x
Vertices:(0;±2)
Focos:(0;±
√
5)
11.7 Questão 25 - Encontre a equação de forma padrão da hipérbole nas
coordenadas cartesianas
Excentricidade = 3
Vértices = (0,±1)
Resposta: A partir da equação da excentricidade podemos descobrir o ponto onde se localiza o foco:
e = ca → 3 =
c
±1 → c = ±3
Agora para aplicarmos na equação da hipérbole descobrimos o valor de b2 usando a equação c2 = a2 + b2:
b2 = c2 − a2 → b2 = 9− 1→ b2 = 8
1
Após aplica-se os valores obtidos na equação da hipérbole deste caso encontramos a resposta final:
y2
a2 −
x2
b2 = 1
y2 − x
2
8 = 1
2