Metodos Deterministicos II Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determińısticos II
Gabarito da Avaliação à Distância 1
Questão 1: (2,0pts) Considere as funções f e g definidas por x2 + x − 6 e 3x − 2, respectivamente.
Determine:
a) As leis que definem f ◦ g e g ◦ f e o valor de (g ◦ f)(2).
b) Os valores do domı́nio da função (f ◦ g) que têm imagem −6.
Solução: (Cada item vale 1,0pt)
a) Vamos iniciar calculando g ◦ f ,
(g ◦ f)(x) = g(x2 + x− 6) = 3(x2 + x− 6)− 2 = 3x2 + 3x− 20.
e (g ◦ f)(2) = 3× 22 + 3× 2− 20 = −2.
(f ◦ g)(x) = (3x− 2)2 + (3x− 2)− 6
= 9x2 − 12x+ 4 + 3x− 8
= 9x2 − 9x− 4.
b)
(f ◦ g) = −6 ⇔ 9x2 − 9x− 4 = −6 ⇔ 9x2 − 9x− 10 = 0.
Resolvendo a equação do 2o grau obtemos ∆ = 81− 4× 9× (−10) = 441 = 212. Dáı as soluções são:
x1 =
9+21
2×9 =
30
18
= 5
3
e x2 =
9−21
2×9 =
−12
18
= −2
3
.
Questão 2: (1,5pts) Determine o “maior” conjunto A tal que Im(f) ⊂ D(g); em seguida, construa
a composta h(x) = (g ◦ f)(x).
A) g(x) =
√
x− 1 e f : A → R, f(x) = 2x+1
x−3 ;
B) g(x) =
√
x2 − 1 e f : A → R, f(x) = x2 − 2.
Solução: (Cada um dos itens vale 1, 0pt. O ponto de cada item deve ser dado pelo seguinte critério:
0, 3pt se acertar o D(g) e 0, 5pt se acertar o conjunto A e 0, 2pt se acertar h(x).)
A) Precisamos determinar o D(g), mas isto significa encontrar os x ∈ R tais que faça sentido calcular
g(x) =
√
x− 1, ou seja, x− 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. Logo
D(g) = {x ∈ R : x ≥ 1} .
Para determinar o conjunto A considere
2x+ 1
x− 3 ≥ 1 ⇔
2x+ 1
x− 3 − 1 =
x+ 4
x− 3 ≥ 0.
Fazendo a análise do sinal de x+4
x−3 obtemos
1
x+ 4 −4
−4
−4
x− 3
x+4
x−3
3
3
3
− + +
− − +
+ − +
Portanto, A = {x ∈ R : x ≤ −4 ou x > 3}.
E por fim, h(x) = (g ◦ f)(x) =
√
f(x)− 1 =
√
x+4
x−3 .
B) Para determinar o domı́nio de g(x), lembre que x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1) é uma parábola com boca
voltada para cima. As ráızes desta parábola são x = −1 e x = 1, logo
D(g) = {x ∈ R : x ≤ −1 ou x ≥ 1} .
Para determinar o conjunto A precisamos determinar os x ∈ R tais que: 1a x2−2 ≤ −1 ⇔ x2−1 ≤ 0
ou 2a x2 − 2 ≥ 1 ⇔ x2 − 3 ≥ 0.
Para a 1a condição já sabemos que −1 ≤ x ≤ 1. Para a 2a condição, como x2−3 = (x+
√
3)(x−
√
3)
é uma parábola com a boca voltada para cima, segue que x ≤ −
√
3 ou x ≥
√
3.
Portanto,
A =
{
x ∈ R : x ≤ −
√
3 ou − 1 ≤ x ≤ 1 ou x ≥
√
3
}
.
E h(x) = (g ◦ f)(x) =
√
(f(x))2 − 1 =
√
x4 − 4x2 + 3.
Questão 3: (2,5pts) Responda os itens abaixo:
i) Determine o domı́nio de f(x) = logx x
2 − 3x+ 2.
ii) Encontre o valor exato da expressão log5 10 + log5 20− 3 log5 2.
iii) Encontre os valores de x que satisfazem a equação ln(x) + ln(x− 1) = 1
iv) Encontre o domı́nio e a imagem de g(x) = ln(4− x2)
Solução: (Os itens ii) e iv) valem 0,5pt cada e o itens i) vale 0,7pt e o iii) valem 0,8)
i) Precisamos determinar os valores de x ∈ R que a função tenha sentido. Então precisamos que x > 0
e x 6= 1, além disso, x2 − 3x + 2 > 0, mas como x2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1), obtive esta expressão
calculando as ráızes da equação x2 − 3x + 2 = 0. Como x2 − 3x + 2 é uma equação do 2o grau com
coeficiente acompanhando x2 positivo, temos que a contição x2 − 3x+ 2 > 0 é equivalente a x < 1 ou
x > 2. Juntando tudo temos que os valores de x ∈ R são 0 < x < 1 e x > 2.
ii)
log5 10 + log5 20− 3 log5 2 = log5 2× 5 + log5 22 × 5− 3 log5 2
= log5 5 + log5 2 + log5 5 + 2 log5 2− 3 log5 2
= 2
iii)
ln(x) + ln(x− 1) = 1 ⇔ ln(x(x− 1)) = ln e ⇔ x2 − x− e = 0
Resolvendo a equação do 2o grau temos ∆ = 1 + 4e > 0 e as soluções são x1 =
1+
√
1+4e
2
e x2 =
1+
√
1+4e
2
< 0, como os valores de x precisam ser positivos o único valor aceitável é x1.
iv) É posśıvel calcular g(x) desde que 4−x2 > 0, mas 4−x2 = (2+x)(2−x), portanto os valores que
fazem sentido são |x| < 2, já a imagem são todos os valores de y tai que y < ln(4).
Questão 4: (2,0pts) Calcule os seguintes limites:
2
I) lim
x→−2
x3 + 2x2 − 1
5− 3x
II) lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
Solução: (Cada limite vale 1,0pt)
I) Observe que 5− 3x é cont́ınua e diferente de zero quando x = −2, além de que, por ser também um
polinômio, x3 + 2x2 − 1 é cont́ınuo, portanto, o quociente é cont́ınuo e para calcular este limite basta
avaliar a função no ponto, dáı
lim
x→−2
x3 + 2x2 − 1
5− 3x =
(−2)3 + 2(−2)2 − 1
5− 3× (−2) =
−1
11
.
II)
lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
= lim
h→0
9 + 18h+ h2 − 9
h
= lim
h→0
h(18 + h)
h
= lim
h→0
18 + h = 18.
Questão 5: (2,0pts) Faça o esboço do gráfico de
a) g(x) =



−1 se x ≤ −1
3x+ 2 se |x| < 1
7− 2x se x ≥ 1
b) f(x) = |x|+ x
Solução: (Cada item vale 1,0pt)
a) Veja que o gráfico de g(x) é constituido de três partes, onde cada parte é uma equação de reta.
3
b) Observe que para x < 0 a função f(x) = |x|+ x = −x+ x = 0 e para x ≥ 0 f(x) = x+ x = 2x.
4