AULAM 06 (29032021)

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Foi visto nas aplicações de derivadas que as derivadas da função custo total e da receita total 
representam, respectivamente, as funções custo marginal (CMg) e receita marginal (RMg). 
Conhecendo-se o custo marginal e a receita marginal, através da integração dessas funções, 
podemos obter o custo total e a receita total, ou seja,
Função custo total: 
 
 
✓
Função receita total: 
 
 
✓
Como a integral indefinida contém uma constante arbitrária, no cálculo do custo total essa 
constante pode ser calculada conhecendo-se o custo fixo de produção. No caso do cálculo da 
receita total, como geralmente a receita total é zero quando o número de unidades produzidas é 
zero, este resultado pode ser usado para calcular a constante de integração.
Exemplos ilustrativos:
Se a função receita marginal é dada por RMg(x) = 80 - x + x2. Determine a função receita total e 
a função demanda.
1)
quarta-feira, 24 de março de 2021 18:07
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Uma empresa sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de R$ 6x2 - 2x + 200 / 
unidade. O custo para produzir as três primeiras unidades foi R$ 1.200,00. Calcular o custo 
para produzir as 10 primeiras unidades.
quarta-feira, 24 de março de 2021 18:08
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Para determinado produto, a função receita marginal é RMg(x) = 25 - 5x. Determine: (a) a 
receita total; (b) a função demanda.
quarta-feira, 24 de março de 2021 18:10
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Análise Marginal
Frequentemente, é necessário analisar uma variável econômica através do comportamento de 
sua derivada, procedimento denominado análise marginal. Em seção anterior, discutiu-se 
questões desta natureza para variáveis econômicas como custo total e receita total gerando 
respectivamente custo e receita marginais. Reciprocamente, em outros problemas, o que se 
procura é a recuperação de uma função total a partir de sua derivada, ou seja, de sua função 
marginal. Enquanto no primeiro caso utiliza-se o cálculo diferencial, no segundo recorre-se ao 
cálculo integral. 
Embora, anteriormente, tenha enfatizado particularmente custos e receitas marginais, cabe 
ressaltar que se pode definir variáveis marginais – e, reciprocamente, resgatar as variáveis 
totais correspondentes – para qualquer variável econômica.
Por exemplo, variáveis marginais como imposto marginal, produtividade marginal, propensão 
marginal a consumir associam-se respectivamente a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 onde I representa o imposto 
total produzido pela venda de x mercadorias, P a produtividade em função do número de 
trabalhadores ou máquinas x e C o consumo total como função da renda nacional total x. Pode-
se ainda pensar em demanda marginal, eficiência marginal de investimentos, etc. 
Apresentaremos neste item alguns casos envolvendo variáveis econômicas marginais e totais e 
como proceder para resolver problemas deste tipo.
Exemplos: 
Supondo que a produtividade marginal (PMg) de uma fábrica em relação à produção diária de 
automóveis P seja dada por 
 
 
 , onde x representa o número de vendedores. 
Supondo que a empresa possui 15 vendedores, quantos vendedores são necessários contratar 
para atingir uma produção de 20 carros por dia? Considere que a produtividade é nula sem 
empregados vendedores.
1)
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Se a produtividade marginal de automóveis (número de automóveis por dia) em relação ao número de 
empregados é dada por dP/dx = 8 – 0,06x, quantos empregados são necessários para produzir 148 carros por 
dia? Considere que sem empregados não há produção. Resposta: 20 operários
quarta-feira, 24 de março de 2021 18:23
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Sabemos que o lucro (L) é igual a receita (R) menos os custos (C), ou seja: L = R – C. Logo, seu 
valor será máximo quando a derivada desta diferença anular-se, ou ainda, quando a receita 
marginal (Rm) igualar-se ao custo marginal (Cm). 
Justificativa matemática: 
 
 
 
 
 
Esta é a condição necessária de otimalidade (anulamento da derivada de primeira ordem). A 
condição suficiente é que, também no ponto ótimo, o que, em geral pode ser facilmente 
verificado.
Supondo que o lucro máximo ocorra quando a quantidade for qmáx e tendo em vista que o lucro é 
nulo se a quantidade é nula (constante de integração é nula, k = 0), temos:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
que representa a área abaixo do gráfico referente à receita marginal e acima do gráfico do custo 
marginal.
Exemplos: 
Suponha que uma empresa deseje aumentar o número de seus vendedores. Assumindo que 
pesquisas estatísticas em tal empresa revelam que o custo marginal Cm (em mil reais) para 
empregar vendedores adicionais expressa-se como função do número de vendedores adicionais x
segundo o expressão 
 
 
 
 
 
e a receita marginal Rm (em mil reais) propiciada por tais 
vendedores por 
 
, calcule o número de vendedores adicionais necessários a 
maximizar o lucro proveniente de tal contratação, bem como o valor do lucro máximo 
correspondente.
1)
quarta-feira, 24 de março de 2021 18:24
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maximizar o lucro proveniente de tal contratação, bem como o valor do lucro máximo 
correspondente.
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Se a receita e o custo marginal expressam-se como função da quantidade x respectivamente por 
Rm = 44 - 9x e Cm = 20 - 7x + 2x2 encontre a quantidade produzida que maximiza o lucro assim 
como o lucro total correspondente sob condições de competição perfeita. Resposta: x=3 => L=
45.
quarta-feira, 24 de março de 2021 18:25
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PROBLEMAS DE CRESCIMENTO E DECAÍMENTO•
Seja N(t) a quantidade de substância (ou população) sujeita a crescimento ou decaímento. 
Admitindo que 
 
 
 , a taxa de variação da quantidade de substância em relação ao tempo, seja 
proporcional à quantidade de substância presente, então 
 
 
 ou 
 
 
 , onde k é a 
constante de proporcionalidade.
Resolução da equação diferencial:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo:
1) Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se existem 
inicialmente 50 miligramas de material e se, após duas horas, o material perdeu 10% de sua massa 
original, determine:
a) A expressão da massa remanescente em um instante arbitrário t.
b) A massa de material após quatro horas.
c) O tempo após o qual o material perde metade de sua massa original.
segunda-feira, 29 de março de 2021 07:17
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PROBLEMAS DE TEMPERATURA
A lei do resfriamento de Newton, aplicável igualmente ao aquecimento, afirma que a taxa de 
variação, no tempo, da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura 
entre o corpo e o meio circundante. Sejam T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do 
meio circundante. Então, a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo é 
 
 
 , e a lei de 
resfriamento de Newton pode assim ser formulada:
 
 
 
 
 
 
onde k é uma constante positiva de proporcionalidade.
Resolução da equação diferencial:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos:
1) Uma barra de metal à temperatura de 100º F é colocada em um quarto à temperatura 
constante de0ºF. Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 50ºF, determine:
a) O tempo necessário para a barra atingir uma temperatura de 25ºF.
b) A temperatura da barra após 10 min.
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Um corpo à temperatura de 50ºF é colocado ao ar livre onde a temperatura é de 100ºF. Se, após 5 
min, a temperatura do corpo é de 60ºF, determine:
a) O tempo necessário para que o corpo atinja a temperatura de 75ºF.
b) A temperatura do corpo após 20 minutos.
segunda-feira, 29 de março de 2021 07:20
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Determine a equação da função f(x) cujo coeficiente angular da reta tangente, em cada x, é 
3x2 + 1 e cujo gráfico passa pelo ponto (2, 6).
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Aplicações Físicas
Suponhamos um ponto P em movimento em uma reta coordenada, com velocidade v(t) e 
aceleração a(t) no instante t. Do conceito de derivada, sabemos que: v(t) = s’(t) e a(t) = v’(t) = 
s’’(t), onde s(t) representa a função posição no instante t.
Assim, 
 
 
 
 
 
 
para alguma constante k1.
Analogamente,
 
 
 
 
 
 
 
para alguma constante k2.
Exemplos:
Uma partícula desloca-se sobre o eixo x e sabe-se que no instante t, , a velocidade é 
v(t) = 2t + 1. Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 1. 
Determine a posição x = x(t) da partícula no instante t.
1)
segunda-feira, 29 de março de 2021 07:21
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Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = t + 3, . Sabe-se que, no 
instante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = 2
1)
Qual a posição da partícula em um instante t?a)
Qual a posição da partícula em um instante t =2?b)
Determine a aceleração.c)
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Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = 2t – 3, t 0. Sabe-se que no 
instante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 5. Determine o instante em que a partícula 
estará mais próxima da origem.
1)
segunda-feira, 29 de março de 2021 07:23
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Nota: Utilizando esta técnica podemos determinar a função posição (s(t)) para um objeto que se 
move sob a influência da gravidade. A compreensão do problema exige o conhecimento de um 
fato da física. Sobre um objeto na superfície da terra ou próximo dela atua uma forca – a 
gravidade – que produz uma aceleração constante, denotada por g. O valor aproximado de g, 
usado na maioria dos problemas, é 9,8 m/s2.
5) Joga-se uma pedra verticalmente para cima de um ponto situado a 45 m acima do solo e com 
velocidade inicial de 30 m/s. Desprezando a resistência do ar, determine:
A distância da pedra ao solo após t segundos. a)
O intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe.b)
O instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante. c)
Solução: 
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1) Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se existem 
inicialmente 50 miligramas de material e se, após duas horas, o material perdeu 10% de sua massa 
original, determine:
a) A expressão da massa remanescente em um instante arbitrário t.
b) A massa de material após quatro horas.
c) O tempo após o qual o material perde metade de sua massa original.
segunda-feira, 29 de março de 2021 10:21
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