MÉTODO DAS FORÇAS (FLEXIBILIDADE OU COMPATIBILIDADE)

Prévia do material em texto

Método das Forças - Teoria das Estruturas – Prof. Esp. Talles Mello 
 
MÉTODO DAS FORÇAS (FLEXIBILIDADE OU 
COMPATIBILIDADE) 
 
A metodologia utilizada pelo Método das Forças para analisar uma 
estrutura hiperestática é: 
• Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de 
equilíbrio, mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura 
original, para a superposição restabelecer as condições de compatibilidade. 
Cada solução básica (chamada de caso básico) não satisfaz 
isoladamente todas as condições de compatibilidade da estrutura original, as 
quais ficam reestabelecidas quando se superpõem todos os casos básicos. 
A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral, 
uma estrutura isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela 
eliminação de vínculos. Essa estrutura isostática é chamada Sistema Principal 
(SP). As forças ou os momentos associados aos vínculos liberados são as 
incógnitas do problema e são denominados hiperestáticos 
 
1 - GRAU DE ESTATICIDADE OU GRAU DE HIPERESTATICIDA DE ( gh) 
 
1a) Hiperestaticidade Externa – ge 
 
Sejam as estruturas abaixo, a primeira possui 4 (quatro) reações de apoio 
a determinar e, para tal, dispomos das 3 (três) equações universais da Estática 
no plano ( ∑Fx=0 , ∑Fy=0 , ∑Mz=0 ). A segunda possui 5 (cinco) reações de 
apoio a determinar e 4 (quatro) equações para tanto, isto é, as três equações 
fundamentais da Estática no plano (∑Fx=0 , ∑Fy=0 ,∑Mz=0 ) e de mais uma 
(momento fletor nulo em B). Observa-se, desta forma, deficiência de uma 
equação para resolver o problema de cálculo das reações vinculares nos dois 
casos analisados. 
Esta deficiência é chamada de Grau de Hiperestaticidade Externo da 
Estrutura. Assim, pode-se definir Grau de Hiperestaticidade Externo da 
Estrutura como sendo o número de equações suplementares necessárias para 
o cálculo das reações de apoio da estrutura. 
Método das Forças - Teoria das Estruturas – Prof. Esp. Talles Mello 
 
 
 
1b) Hiperestaticidade Interna – gi 
 
Vejamos o exemplo abaixo: 
 
Para calcularmos as solicitações internas, temos que romper a estrutura 
em uma seção “ S ", porém observa-se que qualquer seção que cortarmos a 
estrutura ficaremos com 6 (seis) incógnitas e possuímos somente 3(três) 
equações (∑Fx=0 , ∑Fy=0 , ∑Mz=0 ) para tal. 
Assim pode-se definir Grau de Hiperestaticidade Interno da Estrutura 
como sendo o número de equações suplementares que necessitamos conhecer 
para traçar os diagramas de esforços internos 
Método das Forças - Teoria das Estruturas – Prof. Esp. Talles Mello 
 
 
1c) Hiperestaticidade total – gh 
 
Sabemos que para resolver uma estrutura necessitamos conhecer as 
reações vinculares e as solicitações internas. Desta forma, define-se Grau de 
Hiperestaticidade Total da Estrutura como sendo a soma de seus graus 
hiperestáticos externo e interno. 
gh=ge+gi 
 
2 – CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS QUANTO À ESTATICID ADE 
 
Quanto à estaticidade as estruturas são classificadas em: 
 
HIPOSTÁTICAS se gh < 0 
ISOSTÁTICAS se gh = 0 
HIPERESTÁTICAS se gh > 0 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças - Teoria das Estruturas – Prof. Esp. Talles Mello 
 
EXEMPLOS: 
 
Classifique quanto à estaticidade e determine o grau de hiperestaticidade total. 
1. 
 
R: g h= 0 (isostática) 
2. 
 
R: gh = 0 (hipostática) ineficácia vincular 
3. 
 
R: gh = -2 (hipostática) 
4. 
 
R: gh = 3 (hiperestática) 
5. 
 
R: gh = 2 (hiperestática) 
 
 
 
 
Método das Forças - Teoria das Estruturas – Prof. Esp. Talles Mello 
 
6. 
 
R : gh = 3 (hiperestática) 
7. 
 
R: gh = 0 (isostática) 
 
3 – O MÉTODO DAS FORÇAS 
 
3a) A idéia do processo 
 
Seja a estrutura abaixo, uma vez hiperestática: 
 
Nenhuma alteração do ponto de vista estático ocorrerá se encararmos a 
estrutura na forma abaixo: 
 
Conhecido o gh, liberamos o número de graus de liberdade necessários 
para converter a estrutura em uma estrutura isostática. Esta estrutura chamamos 
de forma principal ou sistema fundamental. Para preservar a compatibilidade 
Método das Forças - Teoria das Estruturas – Prof. Esp. Talles Mello 
 
estática introduzimos o esforço (no caso X1) existente no vínculo rompido, que 
continua sendo incógnita do problema. Observe-se que na passagem da 
estrutura para a forma principal, liberamos uma deformação, que não existe. 
 
 
Assim devemos impor a estrutura na forma principal, a condição de serem 
nulos os deslocamentos na direção da incógnita X1, isto é: 
 
A equação acima é conhecida como EQUAÇÂO DE COMPATIBILIDADE 
DE DESLOCAMENTOS. 
Chamaremos de Estado 0 o diagrama de momentos fletores da estrutura 
submetida somente ao carregamento externo e de Estado 1 o diagrama de 
momentos fletores da estrutura submetida somente a uma força ou momento 
unitário aplicado na direção da incógnita 1. Assim, para calcular δ10 basta 
integrar os momentos do estado 0 com o do estado 1 e para calcular δ11 basta 
integrar os momentos do estado 1 com ele mesmo. Isto é: 
 
 
 
 
Método das Forças - Teoria das Estruturas – Prof. Esp. Talles Mello 
 
 
 
Levando os valores de δ10 e δ11 na equação de compatibilidade de 
deslocamentos tem-se: 
 
As demais reações e esforços internos podem ser obtidos por 
superposição de efeitos, ou diretamente na forma principal. 
Utilizando o princípio da superposição de efeitos temos: 
 
 
 
 
 
Método das Forças - Teoria das Estruturas – Prof. Esp. Talles Mello 
 
 
 
 
 
 
3b) O Método das Forças propriamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças - Teoria das Estruturas – Prof. Esp. Talles Mello 
 
Seja a estrutura abaixo, 3 (três) vezes hiperestática que desejamos 
resolver: 
 
3b2) Forma Principal 
 
 
 
 
 
 
3b3) Aplicando o Princípio da Superposição de Efeit os 
 
 
 
 
 
 
Método das Forças - Teoria das Estruturas – Prof. Esp. Talles Mello 
 
3b4) Equações de Compatibilidade 
 
O giro em A deve ser nulo, pois temos um vínculo perfeito de terceira 
espécie (engaste) 
 
O giro em B deve ser nulo, pois temos um vínculo perfeito de terceira 
espécie (engaste) 
 
O deslocamento horizontal em B deve ser nulo, pois temos um vínculo 
perfeito de terceira espécie (engaste) 
 
Assim possuímos um sistema de 3 (três) equações e com 3(três) 
incógnitas, que pode ser resolvido por qualquer processo. 
Os deslocamentos são os deslocamentos em uma estrutura 
isostática onde: 
 
Observe-se que � ij �corresponde ao deslocamento (linear/angular) no 
grau de liberdade i devido à uma força/momento unitário aplicado no grau de 
liberdade j. 
Reescrevendo o sistema de equações de forma matricial teremos: 
 
 
Método das Forças - Teoria das Estruturas – Prof. Esp. Talles Mello 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3b6) Cálculo das solicitações finais que podem ser obtidas pelo Princípio 
da Superposição de Efeitos. 
 
 
 
4) Fórmulas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matriz de Flexibilidade 
Vetor de incógnitas 
Vetor de Termos Independentes 
Método das Forças - Teoria das Estruturas – Prof. Esp. Talles Mello