GRA1594 CÁLCULO APLICADO _ VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 -prova

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06/04/2021 Fazer teste: 20211 - PROVA N2 (A5) – GRA1594 CÁLCULO ...
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PERGUNTA 1
Suponha uma distribuição contínua de massa ocupando uma região  do plano , suponha, também, que a medida da
densidade de área dessa distribuição no ponto  seja medida em , onde  é contínua em . O momento
de inércia em torno da origem, denotado por , dessa distribuição de massa será determinado por
 . Assinale a alternativa que corresponde ao momento de inércia  da região limitada pelas
curvas ,  e  no primeiro quadrante e com densidade .
53,33 .
73,14 .
34,13 .
107,28 .
137,51 .
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PERGUNTA 2
No estudo de curvas, chama-se rosácea a curva cuja equação polar é da forma:  ou , onde  é o
raio polar,  é o ângulo polar, e  é um número natural que ditará a quantidade de pétalas da rosácea. Se  for par, a
rosácea possui  pétalas, se  for ímpar, a rosácea possui  pétalas. Use a integral dupla para determinar a área contida
em um laço da rosácea de quatro pétalas e assinale a alternativa correta: (Dica: lembre que ).
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PERGUNTA 3
Analise a figura a seguir: 
  
  
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Figura: Semicircunferência no primeiro quadrante. 
Fonte: Elaborada pela autora. 
  
A figura apresenta uma semicircunferência localizada no primeiro quadrante do plano cartesiano. Essa pode ser expressa
em coordenadas polares como , com . Supondo uma lâmina com o formato da região acima, a medida
da densidade de massa por unidade de área em qualquer ponto é proporcional à medida de sua distância até a origem, isto
é, , onde  é uma constante. Assinale a alternativa que corresponde à massa da lâmina descrita acima
considerando  e  e sabendo que .
PERGUNTA 4
Em uma função racional , o polinômio  pode ser decomposto por fatores lineares e quadráticos. Todo fator
quadrático irredutível  terá uma fração parcial da forma  Nesse sentido, assinale a alternativa que
apresenta a solução da integral .
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PERGUNTA 5
Ao derivarmos uma função, podemos sempre obter outra função. Na Física, por exemplo, a derivada da função velocidade 
 resulta na função aceleração . Considere uma partícula, em trajetória retilínea, que obedece a função de velocidade
 , em que a unidade de medida da velocidade  equivale a metros por segundo e a unidade de medida
do tempo  corresponde a segundos. Com base no exposto, assinale a alternativa correta.
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PERGUNTA 6
Toda raiz de índice  pode ser escrita como uma potência de expoente fracionário, isto é, . Assim, para derivar
uma função raiz, primeiramente, é preciso escrever a raiz como uma potência fracionária. A partir do exposto, assinale a
alternativa que apresenta a derivada da função .
.
.
.
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.
.
PERGUNTA 7
O processo de cálculo da derivada de uma função a partir de sua definição se torna um pouco complicado em alguns casos,
pois sua definição envolve cálculos de limites. No entanto, a partir da definição, é possível formular regras de derivação que
possibilitam encontrar derivadas com mais facilidade. 
  
Considerando o exposto, sobre as regras de derivação, analise as afirmativas a seguir. 
  
I. Se , então . 
II. Se , então . 
III. Se , então . 
IV. Se , então . 
  
Está correto o que se afirma em:
I e IV, apenas.
I e II, apenas.
I e III, apenas.
I, II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
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PERGUNTA 8
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PERGUNTA 8
Uma função  é denominada racional quando for obtida pela divisão de dois polinômios, isto é, . Para integrar
esse tipo de função quando o grau da função  for maior que o grau da função , é possível fazer uso da seguinte
formulação , em que  são constantes e  são as raízes do
polinômio . A partir dessas informações, calcule a integral  e assinale a alternativa correta.
PERGUNTA 9
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade em equação diferencial linear e equação
diferencial não linear . As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que a variável
independente é  e a variável dependente é , temos que: (i) A variável dependente  e todas as suas derivadas são do
primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente . 
  
Considere a variável  uma função da variável , isto é, . Analise as afirmativas a seguir. 
  
I. A equação diferencial  é linear. 
II. A equação diferencial  é linear. 
III. A equação diferencial  é linear. 
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q ç
IV. A equação diferencial  é linear. 
  
Assinale a alternativa correta. 
  
I, II e IV, apenas.
III e IV, apenas.
II e IV, apenas.
I, II e III, apenas.
I, III e IV, apenas.
PERGUNTA 10
Analise a figura a seguir: 
 
Fonte: Stewart (2016, p. 906). 
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o te Ste a t ( 0 6, p 906)
  
Calcular uma integral dupla em coordenadas retangulares às vezes pode ser complicado, assim, é necessário tomarmos
uma mudança de coordenadas para facilitar os cálculos. A mudança para coordenadas polares em uma integral dupla pode
ser vista da seguinte forma: “Se  é contínua no retângulo polar  dado por , , onde ,
então ”. 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 2, p. 905. 
  
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido limitado pelo plano  e pelo paraboloide
  e assinale a alternativa correta:
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