Polinômio Interpolador de Lagrange - PARTE 2

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Polinômio Interpolador de Lagrange
Polinômio de Lagrange de grau 3
O polinômio de Lagrange de grau 3 é dado por:
P3(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x)
onde:
L0(x) = (x − x1).(x − x2).(x - x3)/(x0 – x1).(x0 − x2).(x0 – x3)
L1(x) = (x − x0).(x – x2).(x – x3)/(x1 – x0).(x1 – x2).(x1 – x3) 
L2(x) = (x – x0).(x – x1).(x – x3)/(x2 – x0).(x2 – x1).(x2 – x3)
L3(x) = (x – x0).(x – x1).(x – x2)/(x3 – x0).(x3 – x1).(x3 – x2)
EXEMPLOS: 
1) Dada a tabela de valores funcionais: 
	i
	0
	1
	2
	3
	xi
	-1
	1
	2
	3
	f(xi) = yi
	 1
	3
	-1
	-4
Obtenha a polinomial interpoladora de Lagrange que passa pelos pontos bases disponíveis. 
L0(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3) / (−1 −1)(−1− 2)(−1 − 3) = (x – 1)(x − 2)(x − 3) / (−2).(−3).(−4) = (x – 1)(x − 2)(x−3) / (− 24) 
L1(x) = (x – (−1))(x – 2)(x – 3) / (1−(−1))(1 – 2)(1 – 3) = (x +1)(x – 2)(x – 3) /
(2).(-1).(-2) = (x + 1)(x – 2)(x – 3) / 4 
L2(x) = (x – (−1))(x −1)(x – 3) / (2 – (− 1))(2 – 1)(2 – 3) = (x + 1)(x-1)(x-3) /
(2-(-1)).(2-1).(2-3) = (x+1).(x-1).(x-3)/(3).(1).(-1) = (x+1).(x-1).(x-3) / (-3)
L3(x) = (x – (-1))(x – 1)(x – 2) / (3 – (−1))(3 – 1)(3 – 2) = (x+1)(x-1)(x-2) / 8
P3(x) = 1.(x – 1).(x-2).(x-3)/-24] + 3.[(x+1)(x-2)(x-3)/4] – 1.[(x+1).(x-1).(x-3)/-3] - 4.[(x+1)(x-1)(x-2)/8] 
2) Dada a tabela:
	i
	0
	1
	2
	3
	xi
	1
	-1
	2
	-2
	f(xi) = yi
	-5
	-3
	9
	-11
Obtenha a polinomial interpoladora de Lagrange que passa pelos pontos bases disponíveis. 
L0 (x) = (x+1).(x-2).(x+2) /-6
L1 (x) = (x-1).(x-2).(x+2) / 6
L2 (x) = (x-1).(x+1).(x+2)/12
L3 (x) = (x-1).(x+1).(x-2)/-12
P3(x) = -5.[(x+1).(x-2).(x+2)/-6] – 3.[(x-1).(x-2).(x+2)/6] + 9. [(x-1).(x+1).(x+2)/12 – 11. [(x-1).(x+1).(x-2)/-12]
EXERCÍCIO PROPOSTO:
1) Dado o polinômio P(x), de grau menor que 4, onde:
	i
	0
	1
	2
	3
	xi
	0
	1
	2
	3
	f(xi) = yi
	5
	3
	4
	2
Obtenha a polinomial interpoladora de Lagrange que passa pelos pontos bases disponíveis. Em seguida, calcule: P(2,5) = 3,75