Atividade 04 A4 cálculo integrado

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Usuário VALTER SANTOS SA 
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS 
GR0551211 - 202110.ead-14901.01 
Teste ATIVIDADE 4 (A4) 
Iniciado 28/03/21 12:56 
Enviado 28/03/21 14:31 
Status Completada 
Resultado da 
tentativa 
10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 1 hora, 34 minutos 
Resultados 
exibidos 
Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários 
 Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
 Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem 
constante de um capacitor com capacitância de e um resistor 
com uma resistência de . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado 
matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: , 
onde é a carga, medida em coulombs. 
 
Dado que , assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
A função corrente é expressa por . 
Resposta Correta: 
A função corrente é expressa por . 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A função 
corrente é a derivada da função carga, isto é, . A 
EDO é uma equação linear de primeira ordem cuja 
solução pode ser expressa por . Dada a EDO , 
temos que e . Portanto, sua solução geral é . 
Como , segue que e, assim, a função carga é 
 
expressa por . Por fim, concluímos que a função 
corrente é . 
 
 Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
 
“Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma , 
onde e são funções contínuas” (STEWART, 2016, p. 1028). 
Se , a equação é dita linear homogênea, caso contrário, se a 
equação é dita linear não homogênea. 
 
STEWART, J. Cálculo . 
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
 
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta: 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
A equação diferencial tem solução . 
Resposta Correta: 
A equação diferencial tem solução . 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Dada a equação 
diferencial , escrevemos sua equação auxiliar . 
Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos os 
seguintes valores para . Como as raízes são distintas, 
podemos escrever a solução geral da equação diferencial 
dada como . 
 
 
 Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
 Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial 
de primeira ordem e primeiro grau que pode ser escrita na forma . O 
nome separável vem do fato de que a equação pode ser separada em uma 
função de e uma função de . A solução de tal equação é obtida 
ao integrarmos ambos os lados da igualdade. 
 
 
Dado que é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que 
corresponde à solução da equação diferencial separável . 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação 
diferencial dada é uma equação separável. Separando as 
variáveis e , podemos reescrever a equação 
como . Integrando ambos os lados da igualdade, 
temos , onde . 
 
 
 Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
 Leia o excerto a seguir: 
 
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A 
queda de voltagem por causa do indutor é . Uma das Leis de Kirchhoff 
diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida . 
Então. temos , que é uma equação diferencial de primeira ordem que 
modela a corrente no instante ” (STEWART, 2016, p. 537). 
 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
 
Considerando uma resistência de , uma indutância de e uma 
voltagem constante de , assinale a alternativa que corresponde à 
expressão da corrente do circuito quando o interruptor é ligado em . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A partir da 
equação diferencial fornecida no enunciado, , e dos 
valores fornecidos, e , temos que . Arrumando 
a expressão da equação diferencial, temos 
. 
Tomando temos . Para , temos que , 
portanto a expressão da corrente é . 
 
 Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
 De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações 
diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) 
para resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para 
Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo 
publicado em 1694”. 
 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável 
é a integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a 
alternativa que corresponde à solução da equação diferencial . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação 
diferencial dada é uma equação separável. Separando as 
variáveis e , podemos reescrever a equação 
 
como . Integrando ambos os lados da igualdade, 
temos . 
 
 Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
 As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem 
ser expressas por meio da seguinte forma: , onde e são 
funções contínuas. Para resolvermos equações desse tipo, precisamos 
escrever uma equação auxiliar, a qual é uma equação de segundo grau. 
 
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de 
segunda ordem, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas. 
II. ( ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais. 
III. ( ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda ordem é 
expressa por . 
IV. ( ) A equação auxiliar de raízes complexas e apresenta como 
solução a função . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
V, F, F, F. 
Resposta Correta: 
V, F, F, F. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Com base na 
teoria das equações diferenciais lineares e homogêneas de 
segunda ordem, temos que, entre as afirmativas 
apresentadas, apenas a afirmativa I é verdadeira, sendo 
todas as outras falsas. Portanto, a sequência correta é V, F, 
F, F. 
 
 
 Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
 A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada 
função dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. 
Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, 
 
devemos substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e 
verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é 
solução, se não for verdadeira, não é solução. 
 
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a 
seguir: 
 
I. A função é solução da equação diferencial . 
II. A função é solução da equação diferencial . 
III. A função é solução da equação diferencial . 
IV. A função é solução da equação diferencial . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
Resposta Selecionada: 
II e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
II e IV, apenas. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com 
a definição de solução de uma equação diferencial, temos 
que estão corretas as afirmativas II e IV, pois: 
Afirmativa II: Correta. Dada a função , temos . 
Repare que Trocando na equação diferencial, 
temos: 
 
Afirmativa IV: correta. Dada a função , 
temos e . Trocando , e na equação 
diferencial, temos: 
. 
 
 
 Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
 Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na 
forma , onde e são funções contínuas em um dado 
intervalo. A solução geral para equações diferenciais lineares de primeira 
ordem é dada pela expressão . 
 
 
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na 
sequência, assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s):I. A solução geral da equação é . 
II. A solução geral da equação é . 
III. A solução geral da equação é . 
IV. A solução geral da equação é . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
Resposta Selecionada: 
I, II e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
I, II e IV, apenas. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando o 
método de solução para uma equação diferencial linear, 
temos: 
Afirmativa I: correta. Temos que e , assim, 
. 
 
Afirmativa II: correta. Dividindo toda a equação por , 
temos que e , assim, . 
 
Afirmativa IV: correta. Temos que e , assim, 
, onde . 
 
 
 Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
 Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao 
trocarmos a função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma 
igualdade verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de 
funções como solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro 
lado, dada uma condição, obtém-se uma solução particular para a equação 
diferencial. 
 
 
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada. 
II. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada. 
III. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada. 
IV. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
 
Resposta Selecionada: 
V, V, V, F. 
Resposta Correta: 
V, V, V, F. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a 
equação diferencial, temos que sua solução geral é: . 
Assim: 
Afirmativa I: Verdadeira. Para , temos que . 
Portanto, é solução da equação diferencial dada. 
Afirmativa II: Verdadeira. Para , temos que . 
Portanto, é solução da equação diferencial dada. 
Afirmativa III: Verdadeira. Para temos que . 
Portanto, é solução da equação diferencial dada. 
 
 
 Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
 Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua 
linearidade em equação diferencial linear e equação diferencial não linear . 
As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas 
propriedades: Considere que a variável independente é e a variável 
dependente é , temos que: (i) A variável dependente e todas as 
suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada 
coeficiente depende apenas da variável independente . 
 
 
Considere a variável uma função da variável , isto é, . 
Analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A equação diferencial é linear. 
II. A equação diferencial é linear. 
III. A equação diferencial é linear. 
IV. A equação diferencial é linear. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
I, III e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
I, III e IV, apenas. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com 
as condições de linearidade de uma equação diferencial, 
temos que as afirmativas I, III e IV estão corretas, pois em 
todas elas temos que a variável dependente e todas as 
suas derivadas possuem grau 1, e cada coeficiente depende 
apenas da variável independente .