apol 1 tentativa 1 análise combinatória

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Questão 1/10 - Análise Combinatória 
Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5 são formados números de 4 algarismos distintos. Um 
deles é escolhido ao acaso. Com base nesse experimento aleatório, analise as 
afirmativas: 
 
I. O espaço amostral associado a este experimento é formado por 120 eventos 
elementares. 
II. A probabilidade de que o número escolhido seja par é 2525. 
III. A probabilidade de que o número escolhido seja ímpar é 2525. 
São corretas as afirmativas: 
 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
Você acertou! 
Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, podemos formar A5,4=5×4×3×2=120A5,4=5×4×3×2=120 números de 4 algarismos distintos. Logo, a afirmativa I é correta. Considere AA o evento "o 
número escolhido é par". A quantidade de números que terminam com o algarismo 2 é 4×3×2×1=244×3×2×1=24. Do mesmo modo, existem 24 números que terminam com o 
algarismo 4. Logo, #A=2×24=48#A=2×24=48 e a probabilidade do número escolhido ser par é P(A)=48120=25P(A)=48120=25. Com isso, a afirmativa II é correta. Seja BB o 
evento "o número escolhido é ímpar". Usando o mesmo argumento descrito acima, garantimos que #B=3×24=72#B=3×24=72. Portanto, P(B)=72120=35P(B)=72120=35 e a 
afirmativa III é incorreta. 
 
C I e III, apenas. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas. 
 
Questão 2/10 - Análise Combinatória 
Com base na palavra CAPÍTULO, analise as afirmativas: 
 
I. O número de anagramas dessa palavra é igual a 5040. 
 
II. O número de anagramas dessa palavra que começam por consoante e terminam 
por vogal é igual a 11520. 
 
III. O número de anagramas dessa palavra que têm as letras C, A, P juntas nessa 
ordem é igual a 120. 
 
São corretas as afirmativas: 
 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
 
C I e III, apenas. 
 
D II, apenas. 
Você acertou! 
O número de anagramas da palavra CAPÍTULO é igual a 8!=403208!=40320. Logo, a afirmativa I é incorreta. Observamos que há 4 maneiras de escolher a consoante que será a 
primeira letra do anagrama e 4 maneiras de escolher a vogal que será a última letra do anagrama. Depois disso, há 6!6! modos de arrumar as demais letras entre a primeira e a última. 
Portanto, o número de anagramas que começam por consoante e terminam por vogal é igual a 4×4×6!=115204×4×6!=11520. Assim, a afirmativa II é correta. Para a afirmativa III, 
consideramos CAP como se fosse uma única letra. Assim, devemos permutar 6 objetos: CAP, I, T, U, L, O. Portanto, o número de anagramas que podemos formar com as 
letras C, A, P juntas nessa ordem é igual a 6!=7206!=720 e a afirmativa III é incorreta. 
 
E II e III, apenas. 
 
Questão 3/10 - Análise Combinatória 
O jogo da Mega-Sena contém 60 números (cada um chamado de dezena), que são 
01,02,03,...,59,60.01,02,03,...,59,60. O resultado de um sorteio é composto de 6 
dezenas, sorteadas entre as 60 dezenas. Com base neste jogo, analise as afirmativas: 
 
I. Ao todo, existem 606606 resultados possíveis. 
 
II. O número de resultados possíveis contendo o número 7 é C59,5C59,5. 
 
III. O número de resultados possíveis formados por 4 números pares e 2 números 
ímpares é C60,4×C60,2C60,4×C60,2. 
 
São corretas as afirmativas: 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
 
C I e III, apenas. 
 
D II, apenas. 
Você acertou! 
O número de resultados possíveis é dado por C60,6≠606C60,6≠606. Logo, a afirmativa I é incorreta. Para que o número 7 figure em um resultado possível, devemos escolher 5 dezenas 
num conjunto de 59 dezenas. Isso pode ser feito de C59,5C59,5 maneiras. Assim, a afirmativa II é correta. Ao todo, temos 30 números pares e 30 números ímpares. Com isso, o número 
de resultados possíveis formados por 4 números pares e 2 números ímpares é C30,4×C30,2C30,4×C30,2, o que mostra que a afirmativa III é incorreta. 
 
E II e III, apenas. 
 
Questão 4/10 - Análise Combinatória 
O número do cartão de crédito é composto de 16 algarismos. Eduardo teve seu cartão 
quebrado, perdendo a parte que contém os quatro últimos dígitos. Apenas consegue 
lembrar que o número formado por eles é par, começa com 3 e tem todos os 
algarismos distintos. Assinale a alternativa que apresenta a quantidade exata de 
números satisfazendo essas condições. 
Nota: 10.0 
 
A 120 
 
B 280 
Você acertou! 
Para o último algarismo, existem 5 modos possíveis: 0, 2, 4, 6 e 8. Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, existem 1×8×7×5=2801×8×7×5=280 números satisfazendo as 
condições apresentadas. 
 
C 420 
 
D 580 
 
E 840 
 
Questão 5/10 - Análise Combinatória 
Um arranjo simples de nn elementos (distintos), tomados pp a pp, é qualquer maneira 
de listar ordenadamente pp elementos, tomados dentre os nn elementos dados. Se 
An,pAn,p indica a quantidade de arranjos simples de nn elementos, tomados pp a pp, 
assinale a alternativa que contém o conjunto solução para a 
equação An,4=12⋅An,2.An,4=12⋅An,2. 
Nota: 10.0 
 
A {3}{3} 
 
 
B {4}{4} 
 
 
C {5}{5} 
 
 
D {6}{6} 
 
Você acertou! 
Notamos que n≥4.n≥4. Como An,p=n!(n−p)!An,p=n!(n−p)! e An,4=12⋅An,2,An,4=12⋅An,2, temos 
 
n(n−1)(n−2)(n−3)=12n(n−1)⟹n2−5n−6=0⟹n=−1 ou n=6.n(n−1)(n−2)(n−3)=12n(n−1)⟹n2−5n−6=0⟹n=−1 ou n=6. 
 
Como a solução n=−1n=−1 não é permitida, concluímos que o conjunto solução da equação dada é {6}.{6}. 
 
E {7}{7} 
 
 
Questão 6/10 - Análise Combinatória 
Muito além do estudo das combinações, dos arranjos e das permutações, a Análise 
Combinatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações discretas. 
Com base nesses conceitos, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando 
falsa. 
 
I. ( ) Os anagramas formados da palavra AMOR foram colocados em ordem 
alfabética. A posição correspondente à palavra ROMA é a 23ª. 
 
II. ( ) Em um torneio, no qual cada time enfrenta todos os demais uma única vez, são 
jogadas 28 partidas. Ao todo, participaram 8 times. 
 
III. ( ) Em um grupo de 7 homens e 4 mulheres, podemos formar exatamente 371 
comissões de 6 pessoas incluindo pelo menos duas mulheres em cada comissão. 
 
Agora, marque a sequência correta. 
Nota: 10.0 
 
A V – V – V 
 
B V – F – V 
 
C V – V – F 
 
D V – F – F 
 
E F – V – V 
Você acertou! 
Com a palavra AMOR, podemos formar 4!=244!=24 anagramas. Listados em ordem alfabética, o anagrama ROMA deve ser o último dessa lista. Logo, sua posição é a 24ª e a 
afirmativa I é falsa. Com nn times, são jogadas Cn,2Cn,2 partidas. Assim, Cn,2=28Cn,2=28, isto é, n(n−1)=56n(n−1)=56. Resolvendo essa equação e notando que nn é um inteiro 
positivo, concluímos que n=8n=8. Logo, a afirmativa II é verdadeira. Para a afirmativa III, podemos formar C11,6C11,6 comissões de 6 pessoas num grupo de 11 pessoas. Destas 
possibilidades, existem C7,6C7,6 comissões sem mulheres e 4×C7,54×C7,5 comissões com apenas uma mulher. Logo, ao todo, 
existem C11,6−C7,6−4×C7,5=462−7−84=371C11,6−C7,6−4×C7,5=462−7−84=371 comissões com pelos menos duas mulheres. 
 
Questão 7/10 - Análise Combinatória 
Assinale a alternativa que apresenta o número exato de anagramas da palavra 
PRÁTICO que iniciam com R e terminam com I. 
Nota: 10.0 
 
A 24 
 
B 60 
 
C 120 
Você acertou! 
Uma vez fixadas as letras R e I, devemos permutar as 5 letras restantes: P, A, T, C, O. Logo, teremos 5!=1205!=120 anagramas que iniciam com a letra R e terminam com a letra I. 
 
D 360 
 
E 720 
 
Questão 8/10 - Análise Combinatória 
Marcam-se 5 pontos sobre uma reta rr e 8 pontos sobre uma reta ss paralela a rr. 
Assinale a alternativa que apresenta o número exato de triângulos que existem com 
vértices em 3 desses 13 pontos. 
Nota: 10.0 
 
A 38 
 
B 80 
 
C 144 
 
D 220 
Você acertou! 
Para formar um triângulo, ou tomamos um vértice em rr e dois em ss ou tomamos um vértice em ss e dois em rr. O número de triângulos do 1º tipo é 5⋅C8,25⋅C8,2 e o do 2º tipo 
é 8⋅C5,2.8⋅C5,2. Portanto, existem 5⋅C8,2+8⋅C5,2=140+80=2205⋅C8,2+8⋅C5,2=140+80=220 triângulos. 
 
E 448 
 
Questão 9/10 - Análise Combinatória 
Analise o triângulo de Pascal abaixo e assinale a alternativa que apresenta o 
desenvolvimentode (x+a)4(x+a)4 com a∈R,a≠0.a∈R,a≠0. 
 
111121133114641111121133114641 
 
Nota: 10.0 
 
A x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4x4+4a3x+6a2x2+4a3x+a4 
 
 
B x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4x4+4ax3+6a2x2+4a3x+a4 
 
Você acertou! 
 
C x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4x4+6ax3+4a2x2+4a3x+a4 
 
 
D a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4a4+4a3x3+6a2x2+4ax3+x4 
 
 
E a4+4ax3+6a2x2+4a3x+axa4+4ax3+6a2x2+4a3x+ax 
 
 
Questão 10/10 - Análise Combinatória 
Considere o triângulo de Pascal parcialmente apresentado abaixo: 
 
1a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:13311a linha:12a linha:113a linha:1214
a linha:1331 
 
Com base nesse triângulo, analise as afirmativas: 
 
I. A segunda linha do triângulo de Pascal contém os números binomiais com 
n=1,n=1, isto é, (10)(10) e (11).(11). 
 
II. A quinta linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 4, 5, 4 e 1, 
dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. 
 
III. A sétima linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 6, 15, 20, 15, 6 e 
1, dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. 
 
São corretas as afirmativas: 
 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
 
C I e III, apenas. 
Você acertou! 
A segunda linha do triângulo de Pascal é formada pelos números (10)=1(10)=1 e (11)=1.(11)=1. Logo, a afirmativa I é correta. A 5ª linha é formada pelos números 
binomiais: (40)=1, (41)=4, (42)=6,(43)=4(40)=1, (41)=4, (42)=6,(43)=4 e (44)=1.(44)=1. Assim, a afirmativa II é incorreta. Calculando os números binomiais 
com n=7,n=7, verificamos que a afirmativa III é correta. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas.