Cálculo Diferencial e Integral I - Avaliação II

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Acadêmico:
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
Avaliação: Avaliação II - Individual 
Prova: 29942633
Nota da Prova: 10,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada
1. O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e
integral. O resultado de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém
derivadas diferenciais e que satisfaz a equação dada. Então, para a equação diferencial 2y' +
y = 1 (ou seja, o dobro da derivada primeira somada com a própria função é igual a 2),
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
 a) V - V - F - V.
 b) F - V - F - V.
 c) F - F - V - F.
 d) V - F - V - F.
2. Na matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A
derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a
mudanças sofridas em uma outra. Resolva a questão a seguir e assinale a alternativa
CORRETA:
 a) Somente a opção IV está correta.
 b) Somente a opção III está correta.
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 c) Somente a opção II está correta.
 d) Somente a opção I está correta.
Anexos:
Formulário - Cálculo Diferencial e Integral (MAD) - Paulo
3. No cálculo, a derivada em um ponto de uma função y=f(x) representa a taxa de variação
instantânea de y em relação a x neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que
representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Assinale a alternativa CORRETA
que apresenta a derivada do produto entre f(x) = -2x² -1 e g(x) = 2 -x:
I) 6x² - 8x + 1.
II) 6x² + 8x + 1.
III) 6x² - 8x - 1.
IV) 6x² + 8x - 1.
 a) Somente a opção II está correta.
 b) Somente a opção III está correta.
 c) Somente a opção IV está correta.
 d) Somente a opção I está correta.
4. No cálculo, a derivada em um ponto de uma função y = f(x) representa a taxa de variação
instantânea de y em relação a x neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que
representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Com relação à função h(x) = (2x²
+ 2) (x - 1), assinale a alternativa CORRETA que apresenta sua derivada:
I) 6x² + 4x - 2.
II) 6x² - 4x - 2.
III) 6x² - 4x + 2.
IV) 6x² + 4x + 2.
 a) Somente a opção II está correta.
 b) Somente a opção I está correta.
 c) Somente a opção IV está correta.
 d) Somente a opção III está correta.
5. A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora. Para
determinar ela, podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar, ou aplicar o
Teorema da Derivada da Função Inversa, que em uma de suas partes, diz que g'(y) = 1/f'(x) (a
derivada da função inversa aplicada em um ponto y equivale ao inverso da derivada da
função aplicada no x correspondente ao y). Este teorema pode ser aplicado de uma maneira
muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de
deduzir. O procedimento é simples: basta encontrar para um ponto y a sua correspondência
na função (caso não seja dada), determinar a derivada da função, aplicar o teorema da
função inversa e obter o resultado com base no ponto dado. Senso assim, determine a
derivada da função inversa f(x) = x³ - x² - 1 no ponto (-1, -3) e assinale a alternativa
CORRETA:
 a) g'(4) = 1/5.
 b) g'(4) = 1/2.
 c) g'(4) = 1/3.
 d) g'(4) = 1/4.
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6. Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia. Desenvolvida por
Gottfried Leibniz, a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função
aparece como uma função composta de duas funções. Sendo assim, considerando o uso
adequado da regra da cadeia, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) y = sin(3x²), implica em y' = 6x.sin(3x).
( ) y = ln(-x²), implica em y' = - 2/x.
( ) y = tan (x²), implica em y' = sec²(x²).
( ) y = (1 - 2x)³, implica em y' = -6.(1 - 2x)².
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - V - F - V.
 b) V - F - F - V.
 c) F - F - V - F.
 d) V - V - V - F.
7. No cálculo, a derivada em um ponto de uma função y=f(x) representa a taxa de variação
instantânea de y em relação a x neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que
representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Assinale a alternativa CORRETA
que apresenta a derivada do produto entre f(x) = 3 - 2x² e g(x) = 2x - 1:
I) - 12x² - 4x - 6.
II) - 12x² - 4x + 6.
III) - 12x² + 4x + 6.
IV) - 12x² + 4x - 6.
 a) Somente a opção I está correta.
 b) Somente a opção III está correta.
 c) Somente a opção IV está correta.
 d) Somente a opção II está correta.
8. A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde
surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade. O ângulo
da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada. Calcule a
derivada da questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção IV está correta.
 b) Somente a opção I está correta.
 c) Somente a opção III está correta.
 d) Somente a opção II está correta.
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9. As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação,
exponenciação e logaritmação, já são bastante conhecidas. A integração indefinida é
basicamente a operação inversa da diferenciação. Assim, dada à derivada de uma função, o
processo que consiste em achar a função que a originou, ou seja, achar a sua primitiva
denomina-se de antiderivação. Baseado nisto, analise as opções que apresentam f(x), sendo
que f'(x) = x³ - x + 2 para todo x e f(1) = 2 e assinale a alternativa CORRETA:
 a) I, apenas.
 b) IV, apenas.
 c) III, apenas.
 d) II, apenas.
10.Na matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A
derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a
mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma
valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo: a taxa de variação da posição de um
objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada. Com relação à questão
a seguir, assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção I está correta.
 b) Somente a opção IV está correta.
 c) Somente a opção III está correta.
 d) Somente a opção II está correta.
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