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REVISÃO
BANRISUL
MATEMÁTICA
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Ao produto dos números naturais começando em n e 
decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n e 
representamos por n!.
DEFINIÇÃO
Lembre que : 
0! = 1 1! = 1
2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1= 120
Se um evento é determinado por duas escolhas ordenadas e há “n” 
opções para primeira escolha e “m” opções para segunda, o número 
total de maneiras de o evento ocorrer é igual a n.m.
De acordo com o PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM, se um 
evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas, independentes 
e distintas, o número de combinações será determinado pelo produto 
entre as possibilidades de cada conjunto. 
EVENTO = etapa1 x etapa2 x etapa3 x ... etapa n 
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
Vamos supor que uma fábrica produza motos de tamanhos grande, médio e 
pequeno, com motores de 125 ou 250 cilindradas de potência. O cliente ainda pode 
escolher as seguintes cores: preto, vermelha e prata. Quais são as possibilidades de 
venda que a empresa pode oferecer?
Tipos de venda: 3 . 2 . 3 = 18 possibilidades
O número de maneiras distintas que um aluno que vai fazer o concurso do Banrisul
poderá fazer a sua inscriçao tendo em vista a escolha da Micro região e da macro 
região dentre 10 e 12 opções , respectivamente é de .
Exemplo
Análise Combinatória
Permutação Simples
É caracterizada por envolver todos os elementos , nunca deixando 
nenhum de fora.Muito comum em questões que envolvem anagramas 
de palavras.
Usa muito o aspecto visual.
Fórmula: Pn = n!
Dica: A PERMUTAÇÃO embaralha TUDO!
Análise Combinatória
O numero de anagramas da palavra BANCOS de modo que as consoantes
fiquem juntas é de.
Exemplo
ØE se houver elementos repetidos?
Assim temos a Permutação com Repetição na qual deveremos 
“descontar “ os elementos repetidos pois a troca de posição entre dois 
elementos repetidos não evidencia uma nova estrutura.
O numero de anagramas da palavra CONCURSEIRO
Exemplo
O numero de anagramas da palavra CONCURSEIRO que comece com C e 
termine com a vogal O.
Exemplo
Arranjo
É uma seleção (não se usam todos ao mesmo tempo), em que a ordem 
FAZ diferença.
Muito comum em questões de criação de senhas, números, telefones, 
placas de carro, competições, disputas, onde houver hierarquia.
Fórmula:
Dica: O ARRANJO ordena !
èDica: DEVE ser resolvido usando o P. F da Contagem
Análise Combinatória
Foi feita uma pesquisa entre os alunos da Casa do Concurseiro que
deveriam escolher dentre 10 professores, os 3 mais competentes.
O número de maneiras distintas de eleger os professores é de.
Exemplo
Combinação
É uma seleção (mas pode usar todos ao mesmo tempo), em que a 
ordem NÃO faz diferença.
Muito comum em questões de criação de grupos, comissões, 
agrupamentos onde não há distinção pela ordem dos elementos 
escolhidos.
Fórmula:
Dica: A COMBINAÇÃO agrupa !
Análise Combinatória
Método Prático
Esse método agilizará a resolução das questões.
Para isso basta usar a regra: rebobinar o “n” até o total de “p” itens e 
divide pelo “p” fatorial.
Exemplos: C5, 2 =
C10, 4 =
C8, 1 =
C7, 5 =
Análise Combinatória
COMO A BANCA 
FCC
COBRA ISSO?
Quatro parlamentares, sendo dois do partido X e dois do partido Y, inscreveram-se para 
discursar na tribuna em determinada sessão. A ordem dos discursos deverá ser definida 
de modo que as falas de dois parlamentares do mesmo partido não ocorram uma em 
seguida da outra. O número de maneiras diferentes de estabelecer a ordem dos discursos 
respeitando essa condição é igual a
a) 2.
b) 4.
c) 8.
d) 12.
e) 16.
ALESE - 2018
São realizados três lançamentos, em sequência, de um dado com faces numeradas de 1 a 6. 
Com os resultados obtidos, em cada três lançamentos, forma-se um número de três 
algarismos. Por exemplo: se os resultados obtidos foram, nessa ordem, 2; 6 e 3, o número 
formado será 263. A quantidade de números diferentes, e que sejam menores do que 
500, que podemos formar dessa maneira é igual a 
a)499.
b)186.
c)399.
d)144.
e)400.
SEDU / ES - 2016
O número de anagramas que podem ser obtidos utilizando as letras da palavra VITÓRIA, e 
que terminam com uma consoante é igual a 
a)2520.
b)1080.
c)840.
d)5040.
e)1980.
SEDU / ES - 2016
Uma senha foi formada com três algarismos distintos, que foram escolhidos dentre os 
números inteiros de 1 a 6 e colocados em ordem crescente. Sabe-se que a soma do 
primeiro com o terceiro algarismo é igual a 7. Nessas condições, se o segundo algarismo 
da senha for 
a) 3, então o primeiro é necessariamente 1. 
b)4, então o terceiro é necessariamente 6. 
c)3, então o terceiro pode ser 4 ou 5. 
d)5, então o primeiro é necessariamente 1. 
e)4, então o primeiro pode ser 2 ou 3.
Câmara Legislativa / DF - 2018
O setor de almoxarifado de uma loja conta com 6 funcionários, e o setor de conferencistas 
com outros 5 funcionários. Uma tarefa tem que ser executada por um grupo de 3 
funcionários do almoxarifado e, em seguida, tem que ser conferida por um grupo de 2 
conferencistas. O total de possibilidades diferentes de agrupamentos dos 5 funcionários 
que devem executar e conferir essa tarefa é igual a 
a)120.
b)180.
c)200.
d)150.
e)240.
AL / MS - 2016
Com uma ou duas moedas do conjunto de seis moedas indicadas na figura abaixo, Janice 
pode pagar vários valores diferentes de conta sem que seja necessário receber troco. 
Quantos são esses valores diferentes de contas que Janice pode pagar sem troco usando 
apenas uma ou duas moedas desse conjunto?
a)14
b)11.
c)15.
d)13.
e)12.
Prefeitura de Macapá- 2018
Um condomínio residencial com 12 apartamentos, cada um ocupado com apenas uma 
pessoa, pretende formar uma comissão para fazer uma auditoria de suas contas. Ficou 
decidido que essa comissão deve ter 2, 3, 4 ou 5 pessoas. Além disso, há exatamente 6 
apartamentos cujos moradores declararam que não desejam participar da comissão; os 
demais não se opõem à participação. Dessa forma, a quantidade de possibilidades para a 
composição dessa comissão é
a) 56.
b) 120.
c) 15.
d) 84.
e) 67.
TRT / SP - 2018
Jair tem 8 primos, dos quais irá convidar 5 para um jantar em sua casa. Ocorre que 2 dos 8 
primos só podem ir ao jantar se forem juntos. O total de escolhas diferentes dos 5 
convidados que Jair pode fazer para o jantar é igual a
a)40.
b)56.
c)30.
d)26.
e)36.
SEGEP / MA - 2016
Em um restaurante, para compor um prato, um cliente deve selecionar quatro ingredientes, 
sendo que, necessariamente, pelo menos, um deles deve ser um legume e, pelo menos, 
um deles deve ser uma carne. Há três opções de legumes e quatro opões de carnes. O 
número de combinações possíveis de pratos é 
a) 7.
b) 12.
c) 64.
d) 34.
e) 14.
SEAD / AP - 2018
Uma peça é fabricada com 3 componentes diferentes. Os fornecedores A, B, C e D possuem 
esses 3 componentes. O fabricante da peça quer comprar componentes de exatamente 
dois fornecedores, sorteados aleatoriamente, dentre os quatro. O total de maneiras 
diferentes de fazer essa compra para a fabricação da peça é igual a 
a) 54. 
b) 48. 
c) 24. 
d) 36. 
e) 12.
ARTESP - 2017
Dez pastas diferentes devem ser guardadas em duas caixas diferentes. Se a única regra é 
que cada uma das caixas contenha pelo menos uma pasta, então a quantidade de 
maneiras distintas como se pode guardar essas pastas nas caixas é 
a)510. 
b)1022. 
c)126. 
d)2048. 
e)256.
TRT / SP - 2018
PROBABILIDADE
Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um 
experimento aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do 
intervalo entre 0 e 1. Resultados mais próximos de 1 têm mais chances de 
ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma 
percentual.
De forma resumida e direta, temos que :
Probabilidade = QUERO e como foi dito 0 < P < 1
TENHO
QUERO: é o evento favorável, ou seja, qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ele pode
conter nenhum elemento (conjunto vazio) ou todos os elementos de um espaço amostral.TENHO: é o espaço amostral , ou seja, o conjunto formado por todos os resultados possíveis .
DEFINIÇÃO
Há várias situações envolvendo Probabilidade, e consequentemente muitas
maneiras diferen- tes de interpretar e resolver as questões.
Alguns detalhes são muito importantes como por exemplo:
üDefinir o número de eventos;
üImpor Ordem;
üAgir com otimismo;
üLembrar que : e = x / ou = +
DEFINIÇÃO
Considerando todos os funcionários da carreira de Economista em um órgão público, 
verifica-se que 55% são do sexo masculino. Verifica-se também que 37,5% de todos os 
funcionários desta carreira são formados pela Faculdade X e o restante pela Faculdade Y. 
Se 20% destes funcionários formados pela faculdade X são do sexo feminino, então se for 
escolhido aleatoriamente um funcionário da carreira de Economista deste órgão público a 
probabilidade de ele ser do sexo feminino ou ter sido formado pela faculdade Y é 
a) 7/10. 
b) 3/5. 
c) 2/5. 
d) 1/5. 
e) 3/8.
DPE / RS - 2017
Segundo a previsão do tempo, a probabilidade de chuva em uma cidade é de 50% no 
sábado e 30% no domingo. Além disso, ela informa que há 20% de probabilidade de que 
chova tanto no sábado quanto no domingo. De acordo com essa previsão, a 
probabilidade de que haja chuva nessa cidade em pelo menos um dos dois dias do final 
de semana é igual a
a) 100%.
b) 80%.
c) 70%.
d) 60%.
e) 50%.
ALESE- 2018
Em dezembro serão vistoriados 10 estabelecimentos de saúde, sendo 2 hospitais, 1 pronto-
socorro, 3 ambulatórios e 4 postos de saúde. Sorteando-se ao acaso a ordem de visita dos 
10 estabelecimentos, a probabilidade de que os dois primeiros sejam postos de saúde é 
igual a 
a)2/15 .
b)4/25 .
c)2/25 .
d)3/20 .
e)3/25 .
CREMESP - 2016
A cada rodada de um jogo, o jogador da vez tira uma carta-desafio. Então, deve decidir se joga dois dados 
com dez faces cada (D10) ou se joga um único dado com 20 faces (D20). Todos os dados têm faces 
equiprováveis entre si.
O objetivo é cumprir o desafio contido na carta, a partir da pontuação do D20 ou da soma dos pontos dos 
dois dados D10.
Numa determinada rodada, a carta sorteada continha o desafio “Obter mais do que 7”. Nesse caso, a 
melhor estratégia é jogar 
a)os dois D10, pois a probabilidade de ganhar é 65%, contra 50% do D20. 
b)o D20 ou os dois D10, pois a probabilidade de ganhar é a mesma. 
c)o D20, pois a probabilidade de ganhar é 85%, contra 70% dos dois D10. 
d)o D20, pois a probabilidade de ganhar é 13%, contra 6% dos dois D10. 
e)os dois D10, pois a probabilidade de ganhar é 79%, contra 65% do D20.
CREMESP - 2016
Em um campeonato de futebol, as equipes recebem 3 pontos a cada vitória, 1 ponto por empate e não 
recebem ponto quando são derrotadas. Faltando somente a última rodada para ser disputada, apenas a 
equipe X, com 74 pontos, e a equipe Y, com 73 pontos, ainda têm chance de vencer o campeonato. O 
campeão será aquele que somar mais pontos ao final da última rodada, sendo que, em caso de empate, os 
critérios estabelecidos no regulamento indicam que a equipe Y será a campeã. Considerando os adversários 
de cada equipe na última rodada, analistas esportivos estimaram, para as equipes X e Y, as seguintes 
probabilidades para os jogos que decidirão o torneio: 
Admitindo que os resultados dos jogos das equipes X e Y na última rodada sejam independentes, a 
probabilidade de que a equipe X seja campeã, de acordo com a estimativa dos analistas, é igual a 
a)50%. 
b)55%. 
c)58%. 
d)60%. 
e)63%.
SEFAZ / GO - 2018
Considere que a tabela abaixo fornece as probabilidades respectivas de n ocorrências de um evento (0 ≤ n ≤ 
4) em um determinado dia. Sabe-se que não se verificam mais que 4 ocorrências em um dia. 
Se a probabilidade de que o evento ocorra mais que uma vez em um dia é igual a 62,5%, então a 
probabilidade de que ele ocorra uma vez em um dia é igual a 
a)15,0% 
b)30,0% 
c)25,0% 
d)20,0% 
e)24,0%
Prefeitura de Macapá - 2018
Em uma população formada por indivíduos que se encontram empregados, observa-se que 
40% deles têm um salário superior a 10 salários mínimos. Para desenvolver um estudo, é 
extraída uma amostra aleatória de 3 indivíduos desta população com reposição. A 
probabilidade de que mais que 1 indivíduo desta amostra não tenha um salário superior a 
10 salários mínimos é de
a)56,8%
b)64,8%
c)71,2%
d)78,4%
e)72,0%
Prefeitura de São Luís - 2018
As 6 vagas da garagem de um pequeno edifício recém-construído serão sorteadas entre os 
proprietários dos 6 apartamentos, de modo que cada apartamento terá direito a uma 
vaga. As vagas ficam localizadas lado a lado ao longo de uma parede. Dois irmãos, 
proprietários dos apartamentos 1 e 2, gostariam que suas vagas ficassem localizadas lado 
a lado. A probabilidade de que isso aconteça é igual a
a)1/2
b)1/3
c)1/4
d)1/5
e)1/6
Prefeitura de São Luís - 2018
A tabela a seguir indica o número de filhos dos funcionários de uma empresa. Sabe-se, 
ainda, que não há filho que seja de mais de um dos funcionários, nem funcionário e filho 
que trabalhem juntos na empresa. Sorteando-se ao acaso um dos funcionários indicados 
na tabela, a probabilidade de que ele tenha menos do que três filhos é igual a 
a)67,50%.
b)86,25%. 
c)23,75%. 
d)36,40%. 
e)58,75%.
AL / MS - 2016
Uma rede de lojas de celulares vende três marcas diferentes destes aparelhos. Dessas 
vendas 50% são da marca A (mais acessível em termos de preço), 30% são da marca B e 
20% são da marca C (mais onerosa). Cada fabricante oferece 1 ano de garantia para peças 
e mão de obra, excluído casos fortuitos como os provocados por quedas. Sabe-se que 
25% dos celulares da marca A necessitarão de reparos por garantia no primeiro ano, 
enquanto os porcentuais para a marcas B e C são respectivamente 20% e 10%. Nestas 
circunstâncias a probabilidade de que um comprador selecionado ao acaso compre um 
celular, independente da marca, e que precise de reparo durante o período de garantia é 
de 
a)20,5%. 
b)12,5%. 
c)65%. 
d)35%. 
e)25%.
Copergás / PE - 2016