MATEMATICA_RACIOCINIO_LOGICO

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MATEMÁTICA 
RACIOCÍNIO LÓGIGO PROPOSICIONAL 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
Sentença 
 
Frase, expressão que encerra um sentido geral. 
 
Proposição 
 
Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa 
atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. 
Somente as sentenças declarativas podem-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorre quando a 
sentença é, respectivamente, confirmada ou negada. 
Quando uma proposição é verdadeira, atribuímos-lhe o valor lógico V; quando ela é falsa, atribuímos-lhe o valor 
lógico F. 
 
Se liga! 
Não se pode atribuir valores de verdadeiro ou falso às outras formas de sentenças como as interrogativas, as 
exclamativas e as imperativas. 
 
Exemplos de proposições: 
 
 “O número 17 é ímpar” –é uma declaração (afirmativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser verdadeira (valor 
lógico V). 
 “Todo ser humano é mortal” – é uma declaração (afirmativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser verdadeira 
(valor lógico V). 
 “ 201610  ” –é uma declaração (negativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser falsa (valor lógico F). 
 “O número 2 é ímpar” -é uma declaração (afirmativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser falsa (valor lógico 
F). 
 
Exemplos de sentenças que não são proposições: (sentenças abertas) 
 
 “Qual sua cor preferida?” – é uma pergunta, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição. Não se pode 
atribuir a ela um valor lógico (V ou F). 
 “Que bola feia!” – é uma sentença exclamativa, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição. Não se 
pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). 
 “Paulo, vá fazer sua tarefa” – é uma sentença imperativa, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição. 
Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). 
 “ 25132 x ” – é uma sentença aberta, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição. Não se 
pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). 
 
 
Proposição simples 
 
Uma proposição é dita proposição simples quando apresenta apenas uma ideia. 
 
Exemplos: 
 
“Caio é estudioso”. 
 “Arthur é lindo”. 
 “Tatiana é uma mulher maravilhosa”. 
 
 
Proposição composta 
 
Uma proposição é composta quando caracterizada por apresentar mais de uma proposição conectadas pelos 
conectivos lógicos. 
Exemplo: 
 
“João é irmão de Caio e de Arthur. 
 
 
 
 
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Exercício 
 
1. (FUNCAB) Assinale a alternativa que não é uma proposição 
 (A) O sol é vermelho. 
(B) Quem dera ser aprovado! 
(C) Gatos voam. 
(D) O 14 bis voou em Hong Kong. 
(E) 2 é maior que 5. 
 
Conectivos lógicos 
 
Os conectivos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligadas de modo a criar novas proposições. 
 
Estruturas 
Fundamentais 
Símbolos Denominações 
A e B  Conjunção 
A ou B  Disjunção 
se A, então B  Condicional 
A se e somente se B  Bi condicional 
ou A ou B v Disjunção 
exclusiva 
Não A “  ” ou ¬ Negação 
 
Exemplo: 
A sentença “Se Caio não toma refrigerante, então Arthur vai jogar bola ou João toma suco”. É uma proposição 
composta na qual podemos observar alguns conectivos lógicos (“não”, “se..., então” e “ou”) que estão agindo sobre 
as proposições simples “Caio não toma refrigerante”, “Arthur vai jogar bola” e “João toma suco”. 
 
Operações com proposições 
 
O valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende somente do valor lógico de cada uma de 
suas proposições componentes e da forma como estas sejam ligadas pelos conectivos lógicos utilizados. 
 
Exemplo 
 
Proposições Valores Lógicos 
O número 3 é primo 
Pássaros voam 
Todo número natural possui 
inverso 
 
Todo número inteiro é natural 
 
Tabela – verdade 
 
É um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se uma fórmula é válida. 
 
Como construir uma tabela verdade 
 
Uma tabela verdade consiste em: 
 
 Uma linha em que estão contidos todas as subfórmulas de uma fórmula. Por exemplo, a fórmula 
((  ) )tem o seguinte conjunto de subfórmulas: 
*(  ) (  ) +; 
 O número de linhas é calculado usando a seguinte fórmula: 
 (sempre 2 no caso do cálculo proposicional clássico) , em que n é o número de proposições. 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_matem%C3%A1tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica
http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_proposicional
 
 
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1º- Conjunção: “A e B” (Representação: BA ). 
 
Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo 
conectivo “e”. 
 
Exemplo: 
 
Dadas as proposições simples: 
A: João é estudioso. 
B: Arthur é jogador de futebol. 
A conjunção “A e B” pode ser escrita como: 
BA : João é estudioso e Arthur é jogador de futebol. 
 
 
A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos são verdadeiros. 
 
A B AB 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
2º- Disjunção: “A ou B” (Representação: BA ). 
 
Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo 
conectivo “ou”. 
 
Exemplo: 
 
Dadas as proposições simples: 
A: Caio faz robótica. 
B: Tatiana é mãe de Arthur. 
A disjunção “A ou B” pode ser escrita como: 
BA : Caio faz robótica ou Tatiana é mãe de Arthur. 
 
A disjunção é falsa se, e somente se ambos os operandos forem falsos. 
 
A B AB 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
3º- Implicação (Condicional): “Se A, então B” (Representação: BA ). 
 
Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas 
pelo conectivo “Se..., então” ou por uma de suas formas equivalentes. 
 
Exemplo: 
 
Dadas as proposições simples: 
A: Juca é ibitirense. 
B: Juca é baiano. 
A condicional “Se A, então B” pode ser escrita como: 
BA : Se Juca é ibitirense, então Juca é baiano. 
 
 
 
 
 
 
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A condicional é falsa se, e somente se, o primeiro operando é verdadeiro e o segundo operando é falso. 
 
A B AB
 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
4º- Dupla Implicação (Bicondicional): “A se e somente se B” (Representação: BA ). 
 
Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas 
pelo conectivo “se e somente se”. 
 
Exemplo: 
 
Dadas as proposições simples: 
A: Pepinha é meu primo. 
B: Pepinha é filho de meus tios. 
A bicondicional “A se e somente se B” pode ser escrita como: 
 
BA :Pepinha é meu primo se e somente se Pepinha é filho de meus tios. 
 
A bicondicional é verdadeira se, e somente se, ambos operandos forem falsos ou ambos verdadeiros. 
 
A B AB
 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
5º- Disjunção exclusiva: “ou A ou B” (Representação: BA ). 
 
Denominamos disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições quaisquer em que cada 
uma delas esteja precedida pelo conectivo “ou”. 
 
Exemplo: 
 
Dadas as proposições simples: 
A: O carro de César é prata. 
B: O carro de César é preto. 
A disjunção exclusiva “ou A ou B” pode ser escrita como: 
BA :Ou o carro de César é prata ou o carro de César é preto. 
 
A disjunção exclusiva é verdadeira se, e somente se, apenas um dos operandos for verdadeiro. 
 
A B BA 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 
 
2. (ESAF) Assinale a opção verdadeira. 
a) 43  e 943  
b) Se 33  , então 943  
c) Se 43  , então943  
d) 43  ou 943  
e) 33  se e somente se 943  
 
3. Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho 
canta. Logo: 
a) O jardim é florido e o gato mia 
b) O jardim é florido e o gato não mia 
c) O jardim não é florido e o gato mia 
d) O jardim não é florido e o gato não mia 
e) Se o passarinho canta, então o gato não mia 
 
4. Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então Luís compra um 
livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora, Rui não vai a Roma, logo: 
a) Celso compra um carro e Ana não vai à África 
b) Celso não compra um carro e Luís não compra o livro 
c) Ana não vai à África e Luís compra um livro 
d) Ana vai à África ou Luís compra um livro 
e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma 
 
Negação: “Não A” (Representação: A ) 
 
Definição 
Uma proposição é a negação de outra quando: se uma for verdadeira, então a outra é obrigatoriamente falsa e, se 
uma for falsa, então a outra é obrigatoriamente verdadeira. 
 
Modos de Negação de uma Proposição Simples 
 
 Antepondo-se a expressão “não” ao seu verbo. 
Exemplo: 
 “Raul gosta de música”. 
 “Raul não gosta de música”. 
 
 Retirando-se a negação antes do verbo. 
Exemplo: 
 “João não é irmão de Maria”. 
 “João é irmão de Maria”. 
 
 Substituindo-se um termo da proposição por um de seus antônimos. 
Exemplo: 
“x é um número positivo”. 
“x é um número negativo”. 
 
Se liga! 
“Esta sala é branca” contradiz, mas não é a negação de “Esta sala é preta”, porque a negação “Esta sala não é azul” 
não obriga a que a cor da sala seja branca. Poderia ser de qualquer outra cor, diferente das citadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Negação de proposições compostas 
 
A tabela a seguir mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas proposições compostas: 
 
 
Proposição Negação Equivalente da 
negação 
A e B (  )  
A ou B (  )  
Se A então B ( )  
A se e somente 
se B 
 ( ) BA 
A se e somente 
se B 
 ( ) (  )(  ) 
 
Exercício 
5. (AOCP) A negação da proposição “Ana gosta do campo e Márcia gosta do litoral” é 
(A) Ana não gosta do campo ou Márcia não gosta do litoral. 
(B) Ana não gosta do campo e Márcia não gosta do litoral. 
(C) Se Ana não gosta do campo, então Márcia não gostado litoral. 
(D) Se Márcia não gosta do litoral, então Ana não gostado campo. 
(E) Ana não gosta do campo se, e somente se, Márcia não gosta do litoral. 
 
6. (AOCP) Qual é a alternativa que apresenta a negação da proposição: 
“Gosto de pipoca e gosto de chocolate” 
(A) “Gosto de pipoca e não gosto de chocolate” 
(B) “Não gosto de pipoca e gosto de chocolate” 
(C) “Não gosto de pipoca e chocolate” 
(D) “Não gosto de pipoca e não gosto de chocolate” 
(E) “Não gosto de pipoca ou não gosto de chocolate” 
 
7. (AOCP) A negação de o cachorro late e o gato mia é 
 a) O cachorro não late e o gato não mia. 
b) O cachorro late ou o gato mia. 
c) O cachorro não late ou o gato não mia. 
d) O cachorro e o gato não latem e nem miam. 
e) O cachorro mia e o gato late. 
 
 
Tautologia 
 
Uma proposição composta é uma tautologia se ela for sempre verdadeira independentemente dos valores lógicos 
das proposições que a compõem. 
 
Exemplos 
 
 A proposição “  AA  ” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores 
lógicos de A. Observe a tabela-verdade a seguir: 
 
A ( ) 
V F 
F V 
Contradição 
 
Uma proposição composta é uma contradição se ela for sempre falsa independentemente dos valores lógicos das 
proposições que a compõem. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 
 
 A proposição “  AA  ” é uma contradição, pois é sempre falsa, independentemente dos valores 
lógicos de A. Observe a tabela-verdade a seguir: 
 
A ( ) 
V F 
F V 
 
 
Se liga! 
 A negação de uma tautologia é sempre uma contradição. 
 A negação de uma contradição é sempre uma tautologia. 
 
 
Contingência 
 
Uma proposição composta é uma contingência se ela for verdadeira e falsa independentemente dos valores 
lógicos das proposições que a compõem. 
 
A ( ) 
V F 
F V 
 
 
Exercício 
8. Assinale a opção que corresponde a uma tautologia. 
a) 
 qpp 
 
b) 
 qpp  
c) 
qp 
 
d) 
qp ~ 
e) 
pp ~ 
 
Equivalência Lógica 
 
Na lógica, as asserções p e q são ditas logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes, se e (leia: se p 
acarreta q e q acarreta p). Em termos intuitivos, duas sentenças são logicamente equivalentes se possuem o 
mesmo "conteúdo lógico". 
 
 Equivalências da Condicional: 
 
 
  BABA 
 
 
)( tivaContraposiABBA 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
9. Dizer que “Beto é paulista ou Paulo não é carioca” é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: 
a) Se Beto é paulista, então Paulo não é carioca 
b) Se Beto não é paulista, então Paulo é carioca 
c) Se Paulo não é carioca, então Beto é paulista 
d) Se Paulo é carioca, então Beto é paulista 
e) Se Beto é paulista, então Paulo não é carioca 
 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica
 
 
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10. (AOCP-2012) Considere a sentença: “Se Ana é professora, então Camila é médica.” A proposição equivalente a 
esta sentença é 
(A) Ana não é professora ou Camila é médica. 
(B) Se Ana é médica, então Camila é professora. 
(C) Se Camila é médica, então Ana é professora. 
(D) Se Ana é professora, então Camila não é médica. 
(E) Se Ana não é professora, então Camila não é médica. 
 
11. (AOCP-2012) Considere a sentença “Se João é vendedor de roupas, então Maurício é vendedor de joias.” 
Considere também, as informações a seguir: 
 
I. Se Maurício não é vendedor de joias, então João não é vendedor de roupas. 
II. João não é vendedor de roupas ou Maurício é vendedor de joias. 
III. Se Maurício é vendedor de joias, então João é vendedor de roupas. 
 
 A(s) afirmação(ões) equivalente(s) à sentença inicial é(são): 
(A) Apenas I. 
(B) Apenas II. 
(C) Apenas I e II. 
(D) Apenas I e III. 
(E) Apenas II e III. 
 
GABARITO 
 
1. B 
2. C 
3. C 
4. A 
5. A 
6. E 
7. C 
8. B 
9. D 
10. A 
11. C