AV3-4 Geometria Analitica

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1.
	Em um sistema linear homogêneo seu conjunto solução (conjunto verdade) será sempre possível, ou seja, ao estudarmos um sistema homogêneo encontraremos sempre um sistema possível determinado ou possível indeterminado. O sistema linear será considerado possível, pois obterá pelo menos um conjunto solução o (0, 0, 0, ... , 0), esse conjunto é chamado de solução trivial, nula ou imprópria do sistema. Baseado nisso, determine o valor de k, para que o sistema homogênea seguir tenha apenas solução trivial.
	
	Resposta Esperada:
.
	2.
	A hipérbole é uma figura geométrica com algumas características no que se refere à simetria com relação ao ponto de excentricidade. Neste contexto, calcule o ponto de excentricidade da hipérbole de equação.
	
	Resposta Esperada:
.
	1) Uma companhia de telefonia móvel decide ampliar seu sinal para pequenas cidades do interior do estado. Para o projeto piloto, determinou três cidades: A, B e C. No entanto, para fins de economia de custos, implantará apenas uma torre de sinal para suprir o sinal das três localidades, que são as cidades situadas conforme a imagem representativa a seguir. Sobre o ponto equidistante de A, B e C para o posicionamento ideal da torre de sinal, assinale a alternativa CORRETA:
	
	
	a) (50,30).
	
	b) (60,20).
	
	c) (60,30).
	
	d) (50,20).
	 
	 
	2.
	A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar.
(    ) Os espaços vetoriais de podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares.
(    ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço.
(    ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	a) V - V - F - F.
	
	b) F - V - V - F.
	
	c) V - F - V - F.
	
	d) V - V - V - F.
	3.
	Determinante é um tipo de matriz com o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas, ou seja, uma matriz quadrada. Nele não aplicamos as quatro operações, mas há outras propriedades, como achar o valor numérico de um determinante. Baseado nisso, analise as sentenças sobre o determinante associado à matriz a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	
	
	a) Somente a opção III está correta.
	
	b) Somente a opção I está correta.
	
	c) Somente a opção IV está correta.
	
	d) Somente a opção II está correta.
	4.
	Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços vetoriais, só que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) O conjunto dos números irracionais é um subespaço dos números reais.
(    ) Um plano é um subespaço de R²
(    ) Um ponto é um subespaço de R.
(    ) Uma reta que passa na origem é um subespaço de R².
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	a) V - V - F - F.
	
	b) F - V - V - F.
	
	c) V - F - F - V.
	
	d) F - F - V - V.
	5.
	Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito das transformações lineares, analise as opções a seguir:
I- T(x,y) = (x² , y²).
II- T (x,y) = (2x, - x + y).
III- T (x,y) = (- x + y, x - 1).
IV- T (x,y) = (x, x - y).
Assinale a alternativa CORRETA:
	
	a) Somente a opção IV está correta.
	
	b) As opções II e IV estão corretas.
	
	c) As opções I e III estão corretas.
	
	d) As opções III e IV estão corretas.
	6.
	No estudo das matrizes, verificamos que podemos realizar uma série de operações entre elas. No entanto, os procedimentos a serem realizados não são tão simples assim e alguns critérios devem ser verificados antes de realizar os procedimentos de cálculo. Por exemplo, é muito importante na multiplicação entre matrizes saber realizar a analise da ordem das matrizes a serem operadas para verificar a viabilidade da realização do cálculo e prever a ordem da matriz resposta. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:
I- O produto das matrizes A(4 x 2) . B(2 x 1) é uma matriz 4 x 1.
II- O produto das matrizes A(4 x 4) . B(4 x 2) é uma matriz 4 x 2.
III- O produto das matrizes A(2 x 3) . B(1 x 2) é uma matriz quadrada 2 x 2.
Assinale a alternativa CORRETA:
	
	a) As sentenças II e III estão corretas.
	
	b) As sentenças I e II estão corretas.
	
	c) As sentenças I e III estão corretas.
	
	d) Somente a sentença I está correta.
	7.
	Uma das aplicações do processo de análise vetorial em Geometria Analítica é o comportamento de figuras espaciais. Com base na figura a seguir, determine a equação paramétrica da reta que passa por A e B e assinale a alternativa CORRETA:
	
	
	a) Somente a opção I está correta.
	
	b) Somente a opção IV está correta.
	
	c) Somente a opção III está correta.
	
	d) Somente a opção II está correta.
	8.
	Ao realizar a análise vetorial de um plano, para conhecer sua equação característica, devemos conhecer um ponto que pertence a ele e um vetor normal a sua representação geométrica (vetor que forma 90° com o plano). A respeito da equação do plano que passa pelo ponto P(2,1,-1) e é normal ao vetor v = (1,-2,3), classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Sua equação é x - 2y + 3z + 3 = 0.
(    ) É paralelo ao vetor u = (2,0,1).
(    ) O ponto A (0,0,0) pertence ao plano.
(    ) Intercepta o eixo X no ponto x = -3.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	a) F - F - F - V.
	
	b) V - F - F - F.
	
	c) F - V - V - F.
	
	d) V - F - F - V.
	9.
	Em uma cidade planejada, construída apenas com ruas perpendiculares umas às outras, com quadras do mesmo tamanho, o engenheiro chefe posicionou um bairro hipoteticamente no segundo quadrante de um plano cartesiano, com as distâncias dadas em quilômetros.
A reta x + y = 4 foi desenvolvida como projeto-chave para a construção de um metrô subterrâneo que passará por este bairro. Entretanto, no ponto (-5,5) existe um hospital que não pode ser atingido com vibrações de tal metrô. Desta forma, o comitê de planejamento da cidade exige que o hospital fique em uma distância mínima de 5km da linha do metrô. Sobre o ponto que atenderá minimamente à determinação do comitê, assinale a alternativa CORRETA:
	
	a) (-5,0).
	
	b) (2,6).
	
	c) (0,4).
	
	d) (-3,1).
	10.
	Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. No entanto, podemos realizar esta análise, verificando os coeficientes numéricos das incógnitas e os termos independentes de cada sistema. Assim, dado o sistema a seguir, determine quais são os valores de a e b para que os sistemas sejam equivalentes:
	
	
	a) a = 2 e b = 4.
	
	b) a = 4 e b = -2.
	
	c) a = 4 e b = 2.
	
	d) a = 2 e b = -2.
	11.
	(ENADE, 2005) A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e a quantidade de água a
ser retirada, o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m3/s.
Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional.
Considere que o projeto prevêa retirada de x m3/s de água.
Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares AX = B, em que:
	
	
	a) Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais.
	
	b) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
	
	c) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 0.
	
	d) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
	12.
	(ENADE, 2008) Considere o sistema de equações a seguir:
	
	
	a) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
	
	b) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
	
	c) As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
	
	d) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.