Aula_Semana 13 (24-28_5) 4T

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA 
CURSO: ENGENHARIA AGRONÔMICA 
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
PROF.: Dr. JOAQUIM J. CARVALHO 
 
 
Aula – Semana 13 (24-28/5) 
 
Tema 1: Técnicas de Diferenciação 
 
 A operação de encontrar a derivada de uma função é chamada diferenciação, a qual 
pode ser efetuada aplicando-se a definição de derivada, visto na aula anterior. Contudo, como 
esse processo é usualmente demorado, precisamos de alguns teoremas que nos possibilitem 
encontrar a derivada de certas funções mais facilmente. Esses teoremas são provados 
aplicando-se a definição de derivada. 
 O primeiro teorema dá a derivada de uma função constante. Suponha 
 𝑓(𝑥) = 𝑐 
onde c é uma constante. Então 
 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
𝑐−𝑐
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
0 = 0 
Assim, a derivada de uma constante é zero. Este fato concorda com a interpretação 
geométrica de derivada, pois o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑐 é uma reta horizontal tendo inclinação 
zero. O resultado está enunciado formalmente como um teorema. 
 
A derivada de uma constante 
Exemplos: 
Determine a derivada das seguintes funções: 
1o) Se 𝑓(𝑥) = 5 
Sol.: 
Como a função f é constante, logo: 𝑓′(𝑥) = 0 
 
2o) Se 𝑔(𝑥) = −𝜋 
Sol.: 
Como a função g é constante, logo: 𝑔′(𝑥) = 0 
 
 
 
Teorema 1.1 Se c é uma constante, e se 𝑓(𝑥) = 𝑐 para todo x, então 
 𝑓′(𝑥) = 0 → 
A derivada de uma constante é zero. 
𝐷𝑥(𝑐) = 0
= 0 
 A derivada de uma função potência. Considere uma função potência onde n é qualquer 
inteiro positivo, isto é 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 
Então 
 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
(𝑥+∆𝑥)𝑛−𝑥𝑛
∆𝑥
 
Aplicando o teorema binomial a (𝑥 + ∆𝑥)𝑛 temos 
 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
[𝑥𝑛+𝑛𝑥𝑛−1∆𝑥+
𝑛(𝑛−1)
2!
𝑥𝑛−2(∆𝑥)2+⋯+𝑛𝑥(∆𝑥)𝑛−1+(∆𝑥)𝑛]−𝑥𝑛
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
𝑛𝑥𝑛−1∆𝑥+
𝑛(𝑛−1)
2!
𝑥𝑛−2(∆𝑥)2+⋯+𝑛𝑥(∆𝑥)𝑛−1+(∆𝑥)𝑛
∆𝑥
 
Dividindo o numerador e o denominador por Δx temos 
 𝑓′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
[𝑛𝑥𝑛−1 +
𝑛(𝑛−1)
2!
𝑥𝑛−2(∆𝑥) + ⋯+ 𝑛𝑥(∆𝑥)𝑛−2 + (∆𝑥)𝑛−1] 
Todo termo, exceto o primeiro, tem um fator de Δx; então todo termo, exceto o primeiro, 
aproxima-se de zero. Assim obtemos 
 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 
 
A derivada de uma função potência 
 
Exemplos: 
Determine a derivada das seguintes funções: 
1o) Se 𝑓(𝑥) = 𝑥8 
Sol.: 
Como a função f é uma potência, utilizando-se: 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1, temos que 
𝑓′(𝑥) = 8𝑥7 
 
2o) Se 𝑓(𝑥) = 𝑥 
Sol.: 
𝑓′(𝑥) = 1 ∙ 𝑥0 → 𝑓′(𝑥) = 1 ∙ 1 → 𝑓′(𝑥) = 1 
 
3o) Se 𝑓(𝑥) = √𝑥 
Sol.: 
Então: 𝑓(𝑥) = √𝑥 = 𝑥1 2⁄ 
𝑓′(𝑥) =
1
2
∙ 𝑥−1 2⁄ → 𝑓′(𝑥) =
1
2√𝑥
 
 
 
 
Teorema 1.2 Se n é qualquer número real, e se 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, então 
 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1 → 𝐷𝑥(𝑥
𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1
= 0 = 0 
O próximo teorema envolve a derivada de uma constante vezes uma função. Se 
𝑔(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑓(𝑥) 
onde c é uma constante, então 
 𝑔′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑔(𝑥)
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
𝑐𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑐𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
𝑐 ∙ [
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
] 
 = 𝑐 ∙ lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
 = 𝑐𝑓′(𝑥) 
 Provamos o seguinte teorema: 
 
A derivada de uma constante vezes uma função 
 
 Combinando os Teoremas 1.2 e 1.3 obtemos o seguinte resultado. 
 
A derivada de uma constante vezes a função potência 
 
Exemplos: 
Determine a derivada das seguintes funções: 
1o) Se 𝑓(𝑥) = 5𝑥7 
Sol.: 
Utilizando-se: 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑛𝑥𝑛−1, temos que 
𝑓′(𝑥) = 5 · 7𝑥7−1 → 𝑓′(𝑥) = 35𝑥6 
 
2o) Se 𝑓(𝑥) = 9𝑥2 3⁄ 
Sol.: 
𝑓′(𝑥) = 9 ∙
2
3
𝑥
2
3
−1
 → 𝑓′(𝑥) = 6𝑥−1 3⁄ → 𝑓′(𝑥) = 6
1
𝑥1 3⁄
 → 𝑓′(𝑥) =
6
√𝑥
3 
Teorema 1.3 Se f é uma função, c é uma constante, e g é a função definida por 
𝑔(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑓(𝑥) 
então se 𝑓′(𝑥) existe, 
 𝑔′(𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑓′(𝑥) → 
 
 A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da 
função se a derivada existe. 
𝐷𝑥[𝑐 ∙ 𝑓(𝑥)] = 𝑐 ∙ 𝐷𝑥𝑓(𝑥) 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥𝑛, onde n é qualquer número real e c é uma constante, 
𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑛𝑥𝑛−1 → 𝐷𝑥(𝑐𝑥
𝑛) = 𝑐𝑛𝑥𝑛−1 
 Para obter a fórmula para a derivada da soma de duas funções, seja 
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 
onde 𝑓′(𝑥) e 𝑔′(𝑥) existem. Então 
 ℎ′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
ℎ(𝑥+∆𝑥)−ℎ(𝑥)
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
[𝑓(𝑥+∆𝑥)+𝑔(𝑥+∆𝑥)]−[𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)]
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
[𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)]+[𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑔(𝑥)]
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
+ lim
∆𝑥→0
𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑔(𝑥)
∆𝑥
 
 = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) 
 Assim a derivada da soma de duas funções diferenciáveis é a soma de suas derivadas, 
e temos o seguinte teorema: 
 
A derivada da soma de duas funções 
 
 O resultado do teorema anterior pode ser aplicado a um número qualquer finito de 
funções; isto é, a derivada da soma de um número finito de funções é igual à soma de suas 
derivadas, se estas derivadas existem. Portanto, a derivada de uma função polinomial pode 
ser encontrada, conforme exemplo a seguir. 
 
Exemplo: 
Dado 𝑓(𝑥) = 7𝑥4 − 2𝑥3 + 8𝑥 + 5, determine 𝑓′(𝑥). 
Sol.: 
𝑓′(𝑥) = 𝐷𝑥(7𝑥
4 − 2𝑥3 + 8𝑥 + 5) 
 = 𝐷𝑥(7𝑥
4) + 𝐷𝑥(−2𝑥
3) + 𝐷𝑥(8𝑥) + 𝐷𝑥5) 
 = 28𝑥3 − 6𝑥2 + 8 
 
 O próximo teorema dá uma fórmula para a derivada do produto de duas funções. Para 
obtê-la, seja 
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥) 
onde 𝑓′(𝑥) e 𝑔′(𝑥) existem. Então 
 ℎ′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
ℎ(𝑥+∆𝑥)−ℎ(𝑥)
∆𝑥
 
Teorema 1.4 Se f e g são funções e h é a função definida por ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 
então se 𝑓′(𝑥) e 𝑔′(𝑥) existem, 
 ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) → 
 
 A derivada da soma de duas funções é a soma de suas derivadas, se estas derivadas 
existem. 
𝐷𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝐷𝑥𝑓(𝑥) + 𝐷𝑥𝑔(𝑥) 
 = lim
∆𝑥→0
[𝑓(𝑥+∆𝑥)·𝑔(𝑥+∆𝑥)]−[𝑓(𝑥)·𝑔(𝑥)]
∆𝑥
 
 Se 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) é somado e subtraído no numerador, então 
 ℎ′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)∙𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥+∆𝑥)∙𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥+∆𝑥)∙𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)∙𝑔(𝑥)
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
[𝑓(𝑥 + ∆𝑥) ∙
𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑔(𝑥)
∆𝑥
+ 𝑔(𝑥) ∙
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
] 
 = lim
∆𝑥→0
[𝑓(𝑥 + ∆𝑥) ∙
𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑔(𝑥)
∆𝑥
] + lim
∆𝑥→0
[𝑔(𝑥) ∙
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
] 
 = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) ∙ lim
∆𝑥→0
𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑔(𝑥)
∆𝑥
+ lim
∆𝑥→0
𝑔(𝑥) ∙ lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
Como f é diferencial em x, logo é contínua em x; então lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 𝑓(𝑥). Também, 
 lim
∆𝑥→→0
𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑔(𝑥)
∆𝑥
= 𝑔′(𝑥) e lim
∆𝑥→→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
= 𝑓′(𝑥) 
e 
 lim
∆𝑥→0
𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
dando assim 
 ℎ′(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) 
 Estivemos provando o seguinte teorema: 
 
A derivada do produto de duas funções 
 
Exemplo: 
Dada ℎ(𝑥) = (2𝑥3 − 4𝑥2)(3𝑥5 + 𝑥2), determine ℎ′(𝑥). 
Sol.: 
ℎ′(𝑥) = (2𝑥3 − 4𝑥2) ∙ 𝐷𝑥(3𝑥
5 + 𝑥2) + (3𝑥5 + 𝑥2) ∙ 𝐷𝑥(2𝑥
3 − 4𝑥2) 
 = (2𝑥3 − 4𝑥2)(15𝑥4 + 2𝑥) + (3𝑥5 + 𝑥2)(6𝑥2 − 8𝑥) 
 = (30𝑥7 + 4𝑥4 − 60𝑥6 − 8𝑥3) + (18𝑥7 − 24𝑥6 + 6𝑥4 − 8𝑥3) 
 = 48𝑥7 − 84𝑥6 + 10𝑥4 − 16𝑥³ 
Note que se multiplicarmos primeiro e então diferenciarmos, o resultado será o mesmo. 
Fazendo isso, temos 
Teorema 1.5 Se f e g são funções, e se h é a função definida por ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 
então se 𝑓′(𝑥) e 𝑔′(𝑥) existem, 
 ℎ′(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) 
 
 
 
 A derivada do produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da 
segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função, se estas 
derivadas existem. 
𝐷𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥) ∙ 𝐷𝑥𝑑(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∙ 𝐷𝑥𝑓(𝑥) 
ℎ(𝑥) = (2𝑥3 − 4𝑥2)(3𝑥5 + 𝑥2) = 6𝑥8 − 12𝑥7 + 2𝑥5 − 4𝑥4 
Então 
ℎ′(𝑥) = 48𝑥7 − 84𝑥6 + 10𝑥4 − 16𝑥3 
 Para obter a fórmula para a derivada do quociente de duas funções seja 
 ℎ(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 𝑔(𝑥) ≠ 0 
onde 𝑓′(𝑥) e 𝑔′(𝑥) existem. Então 
 ℎ′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
ℎ(𝑥+∆𝑥)−ℎ(𝑥)
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)
𝑔(𝑥+∆𝑥)
−
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
∆𝑥
 
 = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)∙𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)∙𝑔(𝑥+∆𝑥)
∆𝑥
 
Subtraindo e somando 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) nonumerador obtemos 
 ℎ′(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)∙𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)∙𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)∙𝑔(𝑥+∆𝑥)+𝑓(𝑥)∙𝑔(𝑥)
∆𝑥∙𝑔(𝑥)∙𝑔(𝑥+∆𝑥)
 
 = lim
∆𝑥→0
[𝑔(𝑥)∙
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
]−[𝑓(𝑥)∙
𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑔(𝑥)
∆𝑥
]
𝑔(𝑥)∙𝑔(𝑥+∆𝑥)
 
 =
lim
∆𝑥→0
𝑔(𝑥)∙ lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
− lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥)∙ lim
∆𝑥→0
𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑔(𝑥)
∆𝑥
lim
∆𝑥→0
𝑔(𝑥)∙ lim
∆𝑥→0
𝑔(𝑥+∆𝑥)
 
 =
𝑔(𝑥)∙𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)∙𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥)∙𝑔(𝑥)
 
 =
𝑔(𝑥)∙𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)∙𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
 Assim, provamos o seguinte teorema: 
 
A derivada do quociente de duas funções 
 
 
Teorema 1.6 Se f e g são funções, e se h é a função definida por ℎ(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 𝑔(𝑥) ≠ 0 
então se 𝑓′(𝑥) e 𝑔′(𝑥) existem, 
 ℎ′(𝑥) =
𝑔(𝑥)∙𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)∙𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
 
 
 
 
 A derivada do quociente de duas funções é a fração tendo como denominador o 
quadrado do denominador original, e como numerador o denominador vezes a derivada 
do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, se as derivadas 
existem. 
𝐷𝑥 [
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
𝑔(𝑥) ∙ 𝐷𝑥𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝐷𝑥𝑔(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
Exemplos: 
1o) Dada ℎ(𝑥) =
2𝑥3+4
𝑥2−4𝑥+1
, determine ℎ′(𝑥). 
Sol.: 
ℎ′(𝑥) =
(𝑥2−4𝑥+1)(6𝑥2)−(2𝑥3+4)(2𝑥−4)
(𝑥2−4𝑥+1)²
 
 =
6𝑥4−24𝑥3+6𝑥2−4𝑥4+8𝑥3−8𝑥+16
(𝑥2−4𝑥+1)²
 
 =
2𝑥4−16𝑥3+6𝑥2−8𝑥+16
(𝑥2−4𝑥+1)²
 
 
2o) Dada 𝑓(𝑥) =
3
𝑥5
+ 4√𝑥3
4
, determine 𝑓′(𝑥). 
Sol.: 
𝑓(𝑥) = 3𝑥−5 + 4𝑥3 4⁄ 
𝑓′(𝑥) = 3(−5𝑥−6) + 4 (
3
4
𝑥−1 4⁄ ) 
 = −15𝑥−6 + 3𝑥−1 4⁄ 
 = −
15
𝑥6
+
3
√𝑥
4 
 
Tema 2: A regra da cadeia 
 
 Suponha que em uma certa indústria C seja o custo total de produção de s unidades, 
e 
 𝐶 = 𝑓(𝑠) (1) 
 Além disso, suponha que s unidades sejam produzidas durante as t horas desde o 
início da produção e 
 𝑠 = 𝑔(𝑡) (2) 
Se conhecemos 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
, a taxa de variação do número de unidades produzidas em t horas, 
é evidente que poderíamos determinar 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
, a taxa de variação do custo total de produção 
naquele intervalo de tempo. Este cálculo pode ser feito aplicando-se um teorema muito 
importante em cálculo, chamado regra da cadeia. Discutiremos agora a regra da cadeia: 
 
A regra da cadeia 
 
 Observe de (3) a forma conveniente para lembrar-se da regra da cadeia. O enunciado 
formal sugere uma “divisão” simbólica de du no numerador e denominador do lado direito. 
Teorema 1.1 Se y é uma função de u e 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
 existe, e se u é uma função de x e 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 existe, 
então y é uma função de x e 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 existe e é dado por 
 
 (3) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
Exemplo: 
Numa certa agroindústria, se C é o custo total da produção de s unidades, então 
 𝐶 =
1
4
𝑠2 + 2𝑠 + 1.000 (4) 
Além disso, se s unidades são produzidas durante t horas desde o início da produção, então 
 𝑠 = 3𝑡2 + 50𝑡 (5) 
Determine a taxa de variação do custo total em relação ao tempo, 2 duas horas após o início 
da produção. 
Sol.: 
Desejamos encontrar 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
 quando t = 2. Da regra da cadeia, 
 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
=
𝑑𝐶
𝑑𝑠
∙
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 (6) 
De 𝐶 =
1
4
𝑠2 + 2𝑠 + 1.000, 
 
𝑑𝐶
𝑑𝑠
=
1
2
𝑠 + 2 (7) 
De 𝑠 = 3𝑡2 + 50𝑡 
 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 6𝑡 + 50 (8) 
Substituindo (7) e (8) em (6), temos 
 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
= (
1
2
𝑠 + 2) (6𝑡 + 50) (9) 
De (5), quando t = 2, 
 𝑠 = 3(2)2 + 50 ∙ 2 = 112 
Então, de (9) 
 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
]
𝑡=2
= [
1
2
(112) + 2] [6(2) + 50] 
 = (58)(62) 
 = 3.596 
Assim, 2 horas após o início da produção, o custo total está aumentando a uma taxa de $ 
3.596 por hora. 
 
A regra da cadeia para potências 
 
Exemplos: 
1o) Dado 𝑓(𝑥) =
1
4𝑥3+5𝑥2−7𝑥+8
 determine 𝑓′(𝑥). 
Sol.: 
Escreva 𝑓(𝑥) = (4𝑥3 + 5𝑥2 − 7𝑥 + 8)−1 e aplique a regra da cadeia para potências de 
modo a obter 
 𝑓′(𝑥) = −1(4𝑥3 + 5𝑥2 − 7𝑥 + 8)−2(12𝑥2 + 10𝑥 − 7) 
 =
−12𝑥2−10𝑥+7
(4𝑥3+5𝑥2−7𝑥+8)2
 
 
2o) Dado ℎ(𝑥) = √2𝑥3 − 4𝑥 + 5 determine ℎ′(𝑥). 
Sol.: 
ℎ(𝑥) = (2𝑥3 − 4𝑥 + 5)1 2⁄ . Aplicando a regra da cadeia para potências, obtemos 
Teorema 1.2 Se f e g são funções tais que 𝑓(𝑥) = [𝑔(𝑥)]𝑛, onde n é qualquer número 
real, e se 𝑔′(𝑥) existe, então 
 𝑓′(𝑥) = 𝑛[𝑔(𝑥)]𝑛−1𝑔′(𝑥) 
 ℎ′(𝑥) =
1
2
(2𝑥3 − 4𝑥 + 5)−1 2⁄ (6𝑥2 − 4) 
 =
3𝑥2−2
√2𝑥3−4𝑥+5
 
 
3o) Dado 𝑓(𝑥) = (
2𝑥+1
3𝑥−1
)
4
 determine 𝑓′(𝑥). 
Sol.: 
Aplicando a regra da cadeia para potências, temos 
 𝑓′(𝑥) = 4 (
2𝑥+1
3𝑥−1
)
3 (3𝑥−1)(2)−(2𝑥+1)(3)
(3𝑥−1)2
 
 =
4(2𝑥+1)3(−5)
(3𝑥−1)5
 
 = −
20(2𝑥+1)3
(3𝑥−1)5
 
 
4o) Dado 𝑓(𝑥) = (3𝑥2 + 2)2(𝑥2 − 5𝑥)3 determine 𝑓′(𝑥). 
Sol.: 
Consideremos f como o produto de duas funções g e h, onde 
 𝑔(𝑥) = (3𝑥2 + 2)² e ℎ(𝑥) = (𝑥2 − 5𝑥)³ 
Do Teorema para a derivada do produto de duas funções (visto na semana passada), 
 𝑓′(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ′(𝑥) + ℎ(𝑥)𝑔′(𝑥) 
Encontramos ℎ′(𝑥) e 𝑔′(𝑥) pela regra da cadeia, obtendo 
 𝑓′(𝑥) = (3𝑥2 + 2)2[3(𝑥2 − 5𝑥)²(2𝑥 − 5)] + (𝑥2 − 5𝑥)³[2(3𝑥2 + 2)(6𝑥)] 
 = 3(3𝑥2 + 2)(𝑥2 − 5𝑥)²[(3𝑥2 + 2)(2𝑥 − 5) + 4𝑥(𝑥2 − 5𝑥)] 
 = 3(3𝑥2 + 2)(𝑥2 − 5𝑥)2[6𝑥3 − 15𝑥2 + 4𝑥 − 10 + 4𝑥3 − 20𝑥2] 
 = 3(3𝑥2 + 2)(𝑥2 − 5𝑥)²(10𝑥3 − 35𝑥2 + 4𝑥 − 10) 
 
 A regra da cadeia pode ser estendida à função composta envolvendo qualquer número 
finito de funções. O teorema que segue estende a regra da cadeia à função composta, 
envolvendo três funções. 
 
A regra da cadeia estendida 
 
 Observe como a notação de Leibniz para derivadas torna a Equação (10) de se lembrar 
e aplicar. 
 
Exemplo: 
Dado 𝑓(𝑥) = √2 + (𝑥2 − 3𝑥 + 2)³, determine 𝑓′(𝑥). 
Sol.: 
Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥). Além disso, seja 𝑦 = √𝑢 onde 𝑢 = 2 + 𝑣³ e 𝑣 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 
Então, pelo Teorema 1.3, 
Teorema 1.3 Se y é uma função de u, u é uma função de v e v uma função de x, e se 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
, 
𝑑𝑢
𝑑𝑣
 e 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 existem, então y é uma função de x e 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 existe, sendo dada por 
 
 (10) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑣
∙
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
 𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
 =
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑣
∙
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
 =
1
2
𝑢−1 2⁄ ∙ (3𝑣2) ∙ (2𝑥 − 3) 
 =
3(𝑥2−3𝑥+2)²(2𝑥−3)
2√2+(𝑥2−3𝑥+2)³
 
 
 
 
 
 
OBS: Em caso de dúvidas! 
Entre em contato conosco por: aplicativo Moodle ou E-mail: jjdecarvalho@ifto.edu.br