Aula-Gráficos de Equações em Coordenadas Polares

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GRÁFICOS DE EQUAÇÕES EM COORDENADAS POLARES 
 
 
 Seja a equação 
€ 
r = f (θ), segue abaixo os procedimentos para auxiliar no 
esboço do gráfico. 
 
1- Calcular os pontos de máximos e/ou mínimos; 
 
2- Encontrar os valores de 
€ 
θ para os quais a curva passa pelo pólo; 
 
3- Verificar simetrias. Se a equação não se altera quando: 
- Substituirmos r por –r, existe simetria em relação `a origem; 
- Substituirmos 
€ 
θ por 
€ 
−θ existe simetria em relação ao eixo polar 
(ou ao eixo dos x) ; 
- Substituirmos 
€ 
θ por 
€ 
π −θ , existe simetria em relação ao eixo 
€ 
θ =
π
2
 
(ou ao eixo dos y) 
Ex: esboçar a curva 
€ 
r = 2(1− cosθ ) 
 
 Ao substituirmos 
€ 
θ por 
€ 
−θ a equação não se altera: 
€ 
r = 2(1− cosθ ) = 2(1− cos(−θ )), portanto existe simetria em relação ao eixo polar 
(ou ao eixo dos x) e basta analisar valores de 
€ 
θ tais que 
€ 
0 ≤θ ≤ π . 
 
€ 
θ r 
 0 0 
€ 
π
3
 1 
€ 
π
2
 2 
€ 
2π
3
 3 
€ 
π 4 
Se b = a então o gráfico tem o formato de um coração, por isso é conhecido como
cardioide
(d) Rosáceas r = a cosn� ou r = a sinn�, onde a � R e n � N sao rosáceas:
Se n é par temos uma rosácea de 2n pétalas
 
(a) Cardioide (b) Limaçon oval
5. Tangentes a curvas polares ((10.3)Pag 611)
Seja r = f(�), ⇥ x = r cos � = f(�) cos �, x = rsen� = f(�)sen�
dy
dx
=
dy
d�
dx
d�
=
dr
d� sen� + rsen�
dr
d� cos � � rsen�
Ex.12
• a) Para a cardioide r = 1 + sen� do exemplo 10 calcule a inclinação da reta
tangente quando � = ⇥3
• b) Encontre os pontos na cardioide onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
6. Resumo dos gráficos mais usados de equações polares
(Estes gráficos foram extraidos do livro Cálculo A de Diva Maŕılia Flemming e Mı́rian
Buss Gonçalves, MAKRON Books, 5a edição).
(a) Equações de retas a) � = �0 ou � = �0 ± n⇥, n ⇤ Z é uma reta que passa pelo
polo e faz um ângulo de �0 ou �0 ± n⇥ radianos com o eixo polar.
b) rsen� = a e r cos � = b, a, b ⇤ R, são retas paralelas aos eixos polar e ⇥2 ,
respectivamente.
 
 
 
 
 
(b) Circunferências
• a) r = c, c � R é uma circunferência centrada no polo e raio | c |
• b) r = 2a cos � é uma circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo
� = �2 : Se a > 0, o gráfico está a direita do polo;
Se a < 0, o gráfico está a esquerda do polo.
• c) r = 2b sin � é uma circunferência de centro no eixo �2 e que tangencia o
eixo polar: Se b > 0, o gráfico está acima do polo;
Se b < 0, o gráfico está abaixo do pólo
(c) Limaçons r = a± b cos � ou r = a± b sin �, onde a, b � R são limaçons.
Temos,
Se b > a, então o gráfico tem um laço
 
 
 
(b) Circunferências
• a) r = c, c � R é uma circunferência centrada no polo e raio | c |
• b) r = 2a cos � é uma circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo
� = �2 : Se a > 0, o gráfico está a direita do polo;
Se a < 0, o gráfico está a esquerda do polo.
• c) r = 2b sin � é uma circunferência de centro no eixo �2 e que tangencia o
eixo polar: Se b > 0, o gráfico está acima do polo;
Se b < 0, o gráfico está abaixo do pólo
(c) Limaçons r = a± b cos � ou r = a± b sin �, onde a, b � R são limaçons.
Temos,
Se b > a, então o gráfico tem um laço
 
 
(b) Circunferências
• a) r = c, c � R é uma circunferência centrada no polo e raio | c |
• b) r = 2a cos � é uma circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo
� = �2 : Se a > 0, o gráfico está a direita do polo;
Se a < 0, o gráfico está a esquerda do polo.
• c) r = 2b sin � é uma circunferência de centro no eixo �2 e que tangencia o
eixo polar: Se b > 0, o gráfico está acima do polo;
Se b < 0, o gráfico está abaixo do pólo
(c) Limaçons r = a± b cos � ou r = a± b sin �, onde a, b � R são limaçons.
Temos,
Se b > a, então o gráfico tem um laço
 
(b) Circunferências
• a) r = c, c � R é uma circunferência centrada no polo e raio | c |
• b) r = 2a cos � é uma circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo
� = �2 : Se a > 0, o gráfico está a direita do polo;
Se a < 0, o gráfico está a esquerda do polo.
• c) r = 2b sin � é uma circunferência de centro no eixo �2 e que tangencia o
eixo polar: Se b > 0, o gráfico está acima do polo;
Se b < 0, o gráfico está abaixo do pólo
(c) Limaçons r = a± b cos � ou r = a± b sin �, onde a, b � R são limaçons.
Temos,
Se b > a, então o gráfico tem um laço
 
(b) Circunferências
• a) r = c, c � R é uma circunferência centrada no polo e raio | c |
• b) r = 2a cos � é uma circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo
� = �2 : Se a > 0, o gráfico está a direita do polo;
Se a < 0, o gráfico está a esquerda do polo.
• c) r = 2b sin � é uma circunferência de centro no eixo �2 e que tangencia o
eixo polar: Se b > 0, o gráfico está acima do polo;
Se b < 0, o gráfico está abaixo do pólo
(c) Limaçons r = a± b cos � ou r = a± b sin �, onde a, b � R são limaçons.
Temos,
Se b > a, então o gráfico tem um laço
 
 
(b) Circunferências
• a) r = c, c � R é uma circunferência centrada no polo e raio | c |
• b) r = 2a cos � é uma circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo
� = �2 : Se a > 0, o gráfico está a direita do polo;
Se a < 0, o gráfico está a esquerda do polo.
• c) r = 2b sin � é uma circunferência de centro no eixo �2 e que tangencia o
eixo polar: Se b > 0, o gráfico está acima do polo;
Se b < 0, o gráfico está abaixo do pólo
(c) Limaçons r = a± b cos � ou r = a± b sin �, onde a, b � R são limaçons.
Temos,
Se b > a, então o gráfico tem um laço
 
 
(b) Circunferências
• a) r = c, c � R é uma circunferência centrada no polo e raio | c |
• b) r = 2a cos � é uma circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo
� = �2 : Se a > 0, o gráfico está a direita do polo;
Se a < 0, o gráfico está a esquerda do polo.
• c) r = 2b sin � é uma circunferência de centro no eixo �2 e que tangencia o
eixo polar: Se b > 0, o gráfico está acima do polo;
Se b < 0, o gráfico está abaixo do pólo
(c) Limaçons r = a± b cos � ou r = a± b sin �, onde a, b � R são limaçons.
Temos,
Se b > a, então o gráfico tem um laço
 
 
(b) Circunferências
• a) r = c, c � R é uma circunferência centrada no polo e raio | c |
• b) r = 2a cos � é uma circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo
� = �2 : Se a > 0, o gráfico está a direita do polo;
Se a < 0, o gráfico está a esquerda do polo.
• c) r = 2b sin � é uma circunferência de centro no eixo �2 e que tangencia o
eixo polar: Se b > 0, o gráfico está acima do polo;
Se b < 0, o gráfico está abaixo do pólo
(c) Limaçons r = a± b cos � ou r = a± b sin �, onde a, b � R são limaçons.
Temos,
Se b > a, então o gráfico tem um laço
 
Se b = a então o gráfico tem o formato de um coração, por isso é conhecido como
cardioide
(d) Rosáceas r = a cosn� ou r = a sinn�, onde a � R e n � N sao rosáceas:
Se n é par temos uma rosácea de 2n pétalas
 
 
 
Se b = a então o gráfico tem o formato de um coração, por isso é conhecido como
cardioide
(d) Rosáceas r = a cosn� ou r = a sinn�, onde a � R e n � N sao rosáceas:
Se n é par temos uma rosácea de 2n pétalas
 
Se b = a então o gráfico tem o formato de um coração, por isso é conhecido como
cardioide
(d) Rosáceas r = a cosn� ou r = a sinn�, onde a � R e n � N sao rosáceas:
Se n é par temos uma rosácea de 2n pétalas
 
 
Se b = a então o gráfico tem o formato de um coração, por isso é conhecido como
cardioide
(d) Rosáceas r = a cosn� ou r = a sinn�, onde a � R e n � N sao rosáceas:
Se n é par temos uma rosácea de 2n pétalas
 
 
 
 
 
 
 
 
Se b = a então o gráfico tem o formato de um coração, por isso é conhecido como
cardioide
(d) Rosáceas r = a cosn� ou r = a sinn�, onde a � R e n � N sao rosáceas:
Se n é par temos uma rosácea de 2n pétalas
 
 
Se b = a então o gráfico tem o formato de um coração, por issoé conhecido como
cardioide
(d) Rosáceas r = a cosn� ou r = a sinn�, onde a � R e n � N sao rosáceas:
Se n é par temos uma rosácea de 2n pétalas
 
 
Se b = a então o gráfico tem o formato de um coração, por isso é conhecido como
cardioide
(d) Rosáceas r = a cosn� ou r = a sinn�, onde a � R e n � N sao rosáceas:
Se n é par temos uma rosácea de 2n pétalas
 
 
 
 
 
Se n é ı́mpar temos uma rosácea de n pétalas
(e) Lemniscatas
r = ±a2 cos 2� ou r2 = ±a2 sin 2�, onde a � R são lemniscatas
(f) Espirais
As equações seguintes representam algumas espirais :
• a) r� = a, a > 0 ...... espiral hiperbólica;
• b) r = a�, a > 0 ...... espiral de Arquimedes;
• c) r = ea� ......... espiral logaŕıtmica;
• d) r2 = � .......... espiral parabólica.
As seguintes figuras ilustram estas espirais.
 
Se n é ı́mpar temos uma rosácea de n pétalas
(e) Lemniscatas
r = ±a2 cos 2� ou r2 = ±a2 sin 2�, onde a � R são lemniscatas
(f) Espirais
As equações seguintes representam algumas espirais :
• a) r� = a, a > 0 ...... espiral hiperbólica;
• b) r = a�, a > 0 ...... espiral de Arquimedes;
• c) r = ea� ......... espiral logaŕıtmica;
• d) r2 = � .......... espiral parabólica.
As seguintes figuras ilustram estas espirais.
 
 
 
Se n é ı́mpar temos uma rosácea de n pétalas
(e) Lemniscatas
r = ±a2 cos 2� ou r2 = ±a2 sin 2�, onde a � R são lemniscatas
(f) Espirais
As equações seguintes representam algumas espirais :
• a) r� = a, a > 0 ...... espiral hiperbólica;
• b) r = a�, a > 0 ...... espiral de Arquimedes;
• c) r = ea� ......... espiral logaŕıtmica;
• d) r2 = � .......... espiral parabólica.
As seguintes figuras ilustram estas espirais.
 
 
Se n é ı́mpar temos uma rosácea de n pétalas
(e) Lemniscatas
r = ±a2 cos 2� ou r2 = ±a2 sin 2�, onde a � R são lemniscatas
(f) Espirais
As equações seguintes representam algumas espirais :
• a) r� = a, a > 0 ...... espiral hiperbólica;
• b) r = a�, a > 0 ...... espiral de Arquimedes;
• c) r = ea� ......... espiral logaŕıtmica;
• d) r2 = � .......... espiral parabólica.
As seguintes figuras ilustram estas espirais.
 
Se n é ı́mpar temos uma rosácea de n pétalas
(e) Lemniscatas
r = ±a2 cos 2� ou r2 = ±a2 sin 2�, onde a � R são lemniscatas
(f) Espirais
As equações seguintes representam algumas espirais :
• a) r� = a, a > 0 ...... espiral hiperbólica;
• b) r = a�, a > 0 ...... espiral de Arquimedes;
• c) r = ea� ......... espiral logaŕıtmica;
• d) r2 = � .......... espiral parabólica.
As seguintes figuras ilustram estas espirais.
 
 
Se n é ı́mpar temos uma rosácea de n pétalas
(e) Lemniscatas
r = ±a2 cos 2� ou r2 = ±a2 sin 2�, onde a � R são lemniscatas
(f) Espirais
As equações seguintes representam algumas espirais :
• a) r� = a, a > 0 ...... espiral hiperbólica;
• b) r = a�, a > 0 ...... espiral de Arquimedes;
• c) r = ea� ......... espiral logaŕıtmica;
• d) r2 = � .......... espiral parabólica.
As seguintes figuras ilustram estas espirais.
 
 
OBS. Nesta aula foram feitas referências a páginas e seções do livro texto Cálculo, vol.2,
James Stewart, Cengage Learning, 6a edição.
 
OBS. Nesta aula foram feitas referências a páginas e seções do livro texto Cálculo, vol.2,
James Stewart, Cengage Learning, 6a edição.
 
OBS. Nesta aula foram feitas referências a páginas e seções do livro texto Cálculo, vol.2,
James Stewart, Cengage Learning, 6a edição.
 
 
Erica Melo