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Equações Diferenciais Ordinárias
Adriano A. Medeiros
1
e Milton de L. Oliveira
2
1Departamento de Matemática, Universidade Federal da Paraíba. E-mail:
adriano@mat.ufpb.br
2Departamento de Matemática, Universidade Federal da Paraíba. E-mail:
milton@mat.ufpb.br
Conteúdo
1 Equações Diferenciais 2
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Teoria das Equações Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Equação Homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem 5
2.1 Equações de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . 6
2.3 Equações Separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Equações Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.1 Fator Integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Equações não lineares de primeira ordem redutíveis a lineares . . . . 13
2.5.1 Equações de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.2 Equações de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Noções de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7.1 Crescimento Populacional - Verhulst . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7.2 Resfriamento de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8 Famílias de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8.1 Envoltória de uma família de curvas . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.8.2 Trajetórias Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Existência e Unicidade de Soluções de EDO 24
3.1 Teoremas de Existência e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem 32
4.1 Equações lineares de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Equações Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.1 Equações lineares com coe�cientes constantes . . . . . . . . . 36
4.3 Equações não homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.1 Método de Variação dos Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.2 Redução de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.3 Método dos coe�cientes a determinar . . . . . . . . . . . . . . 42
1
4.3.4 Equações de Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4.1 Queda Livre de Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4.2 Energia Cinética e Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4.3 O Oscilador Harmônico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4.4 Oscilador Harmônico Amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Sistemas de Equações Diferenciais 51
5.1 Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Cálculo com funções matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Equação diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4 O problema de calcular etA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4.1 Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.2 O método de Putzer para calcular etA . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4.3 Outros métodos para calcular etA . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4.4 Casos 3× 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5 Sistemas Lineares com coe�cientes constantes . . . . . . . . . . . . . 66
5.6 Sistema linear geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.7 Resolução por séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.8 Método das aproximações sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.9 Aproximações sucessivas para sistemas não lineares . . . . . . . . . . 75
6 Sistemas Autônomos 78
6.1 Trajetórias e o Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Pontos de Equilíbrio ou Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2.1 O Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2.2 O Sistema Não Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3 Retrato de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4 Fluxo Tubular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7 Estabilidade em EDO 97
7.1 Estabilidade para Sistemas de EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2 Estabilidade de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3 Estabilidade para sistemas não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.1 Sistemas quase lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3.2 Critério de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.4 Construção de funções de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8 O Teorema de Poincaré-Bendixson 111
8.1 Conjuntos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.2 Os Teoremas de Poincaré e Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2.1 Aplicações do Teorema de Poincaré-Bendixson . . . . . . . . . 117
2
A Preliminares 122
A.1 Linguagem básica da topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.1.1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.1.2 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.1.3 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.1.4 Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
A.2 Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
A.2.1 Espaços Métricos Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.3 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1
Capítulo 1
Equações Diferenciais
1.1 Introdução
Uma equação da forma
F (t, x,
dx
dt
, · · · , d
nx
dtn
) = 0
onde x é a incógnita e função de uma variável, chama-se equação diferencial
ordinária.
Aplica-se tais equações às leis gerais da Física, Biologia, Economia. Também
inúmeras questões da própria Matemática são formuladas por equações diferenciais
ordinárias, como por exemplo, questões de Topologia, Geometria Diferencial e
Cálculo Variacional.
O estudo das equações diferenciais ordinárias iniciou-se com os métodos do
Cálculo Diferencial e Integral, desenvolvidos por Newton e Leibniz no �nal do século
XVII. Esses métodos conduziram à consolidação das Equações Diferenciais como um
novo ramo da Matemática, que se transformou em disciplina independente no início
do século XVIII.
No �m do século XVIII a Teoria das Equações Diferenciais se transformou
numa das disciplinas matemáticas mais importantes e o método mais efetivo para
a pesquisa cientí�ca. As contribuições de Euler, Lagrange, Laplace e outros
expandiram de maneira notável o conhecimento dentro dos cálculos das Variações,
Mecânica Celeste, Teoria das Oscilações, Elasticidade, Dinâmica dos Fluídos, etc.
No século XIX passou-se a considerar como questão prévia em cada problema
a existência e unicidade de soluções satisfazendo dados iniciais. Este é conhecido
como o Problema de Cauchy.
Em 1881, Poincaré publica um trabalho em que são lançadas as bases da Teoria
Qualitativa das Equações Diferenciais. Esse trabalho dá a base para o estudo da
Estabilidade das soluções de um sistema de EDO.
2
1.2 Teoria das Equações Diferenciais Lineares
Uma equação diferencial linear de ordem n é uma equação da forma
P0(x)
dny
dxn
+ P1(x)
dn−1y
dxn−1
+ · · ·+ Pn−1 (x)
dy
dx
+ Pn(x)y = G(x). (1.1)
Podemos admitir, por simplicidade, que as funções P0, · · · , Pn e G sejam funções
reais e contínuas num intervalo I : α < x < β, e que P0 não tenha nenhum zero
neste intervalo. Então podemos reescrever a equação (1.1) do seguinte modo
dny
dxn
+ p1 (x)
dn−1y
dxn−1
+ · · ·+ pn−1 (x)
dy
dx
+ pn (x) y =