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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro APX1 - Métodos Determinísticos II (2021-1) Profª. Fernanda Mendonça e Prof. Rafael Lobosco Código da disciplina EAD06077 GABARITO Questão 1 [1,5 pts]: Seja a função f :R→R tal que lim x→4 f (x) = 2. Classifique os itens a seguir em verdadeiro (V) ou falso (F) : a) [0,5 pts] Podemos afirmar que f (4) = 2. b) [0,5 pts] Podemos afirmar que lim x→4− f (x) = limx→4+ f (x) = 2. c) [0,5 pts] Existe algum número real x0, no domínio da função, tal que f (x0) esteja entre 1,99 e 2,2. Solução: a) O valor do limite depende dos valores que a função assume quando x está próximo ao 4, mas não depende do falor específico de x = 4. (F) b) Podemos afirmar que lim x→4− f (x) = limx→4+ f (x) = 2. (V) c) Quando escrevemos lim x→4 f (x) = 2 estamos efetivamente afirmando que sempre conseguiremos va- lores de x próximos de 4 tal que f(x) esteja tão próximo de 2 quanto precisemos. Assim sendo, ob- servando que para f (x) bem próximo de 2 estaremos no inervalo entre 1,99 e 2,2, a afirmativa é verdadeira. (V) Questão 2 [2,0 pts]: Calcule os limites abaixo: a) [1,0 pts] lim x→−4 x2 −16 x2 −x −20 . b) [1,0 pts] lim x→2 2−xp 2−px . Solução: a) lim x→−4 x2 −16 x2 −x −20 = limx→−4 (x −4)(x +4) (x +4)(x −5) = limx→−4 x −4 x −5 = −4−4 −4−5 = −8 −9 . b) lim x→2 2−xp 2−px = limx→2 ( p 2+px)(p2−px)p 2−px = limx→2 p 2+px 1 = 2p2. Questão 3 [3,0 pts]: Considere a função f (x) = 3xp x2 −9 e faça os seguintes itens: a) [1,0 pts] Determine as assíntotas verticais. b) [1,0 pts] Determine as assíntotas horizontais. c) [1,0 pts] Esboce o gráfico da função. Solução: a) Para determinar as candidatas a assíntotas verticais do gráfico de f(x), precisamos encontrar números b tais que os limites lim x→b+ f (x) ou lim x→b− f (x) sejam iguais a +∞ ou −∞. Para que isso ocorra, buscamos primeiramente que o número b torne o denominador de f (x) nulo ( tais valores não estarão no domínio de f (x)). No caso da função f (x) = 3xp x2−9 , precisamos que p x2 −9 = 0. Logo, x =±3. Esses dois valores de x = 3 e x =−3 são apenas candidatos. Precisamos calcular os limites lim x→3+ f (x), lim x→3− f (x), limx→−3+ f (x) e lim x→−3− f (x). Para facilitar o entendimento, observe o gráfico da função g (x) = x2 −9. 2 Observamos que x2 −9 → 0+, quando x → 3+. Portanto, o denominador √ x2 −9 → 0+ e também o numerador 3x → 9 quando x → 3+. Donde concluímos que o primeiro limite lim x→3+ 3xp x2 −9 =+∞. Analogamente, lim x→−3− 3xp x2 −9 =−∞. Ainda precisamos calcular lim x→3− 3xp x2 −9 e lim x→−3+ 3xp x2 −9 , mas ambos limites não estão definidos, pois o intervalo [−3,3] não está no domínio da função, visto que não existe p x2 −9, quando x2 −9 é nega- tivo. De todo exposto acima, concluímos que as retas x = 3 e x =−3 são as assíntotas verticais. b) Para encontrar as assíntotas horizontais, precisamos calcular os limites lim x→+∞ f (x) e limx→−∞ f (x). Observe que lim x→+∞ 3xp x2 −9 = lim x→+∞ 3x√ x2(1− 9x2 ) = lim x→+∞ 3xp x2 = lim x→+∞ 3x |x| = limx→+∞ 3x x = 3. Na última igualdade usamos que |x| = x quando x →+∞, pois x > 0. Por outro lado, lim x→−∞ 3xp x2 −9 = lim x→+∞ 3x |x| = limx→+∞ 3x −x =−3. Na última igualdade usamos que |x| = −x quando x →−∞, pois x < 0. Logo, as retas y = 3 e y =−3 são as assíntotas horizontais do gráfico da função f . 3 c) O gráfico da função é Questão 4 [3,5 pts]: Considere a função f (x) = { |x +1|−2, x ≤ 2 x +1, x > 2. e resolva os itens a seguir. a) [1,0 pts] Esboce o gráfico. b) [0,5 pts] Determine f(2). c) [1,0 pts] Determine lim x→2+ f (x). d) [1,0 pts] A função é contínua em x = 2? Justifique. Solução: a) O gráfico da função é 4 b) Temos, pela lei de formação da função, que f(2)=|2+1|-2=1. c) Temos lim x→2+ f (x) = lim x→2+ x +1 = 2+1 = 3. d) Para ser contínua em x = 2, precisamos que lim x→2 f (x) = f (2). Analisando os limites laterais limx→2+ f (x) = 3 e lim x→2− f (x) = 1, observamos que limx→2 f (x) não existe. Portanto, a função não é contínua em x = 2. 5
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