MÉTODO DA VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS

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MÉTODO DA VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS 
 
Seja 
(1) 𝑦 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 𝑓(𝑡) 
Considere 
 (2) 𝑌 = 𝑢(𝑥)𝑌 (𝑥) + 𝑣(𝑥)𝑌 (𝑥) 
Onde 𝑌 e 𝑌 são soluções L.I. da equação homogênea 
𝑦 + 𝑏𝑦′ + 𝑐 = 0 
Derivando 𝑌 temos 
 (3) 𝑦′ = 𝑢 𝑌 + 𝑢𝑌 ′ + 𝑣 𝑌 + 𝑣𝑌 ′ 
 Impondo 𝑢 + 𝑣 𝑌 = 0 
Temos 
 (4) 𝑌′′ = 𝑢 𝑌 ′ + 𝑢𝑦 + 𝑣 𝑌 ′ + 𝑣𝑦 
Substituindo (2), (3) e (4) em (1), obtemos 
 𝑢′𝑦 ′ + 𝑣′𝑦 ′ = 𝑓(𝑡) 
Então a solução particular 
𝑌 = 𝑢(𝑥)𝑌 (𝑥) + 𝑣(𝑥)𝑌 (𝑥) 
Implica que 
(*)
𝑢′𝑦 + 𝑣′𝑦 = 0
𝑢′𝑦 ′ + 𝑣′𝑦 ′ = 𝑓(𝑡)
 
 
EXEMPLO: 
𝑦 − 3𝑦 + 2𝑦 = 𝑒 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑌 : Eq. Característica 
𝑟 − 3𝑟 + 2 = 0 𝑟 = 1, 𝑟 = 2 
𝑌 = 𝐶 𝑒 + 𝐶 𝑒 
 
 𝑌 𝑌 
 𝑌 (variação de parâmetros) 
𝑌 = 𝑢𝑒 + 𝑣𝑒 
(*)
𝑢′𝑒 + 𝑣′𝑒 = 0 𝑎)
𝑢′𝑒 + 2𝑣′𝑒 = 𝑒 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑏)
 
𝑏) − 𝑎)  𝑣′𝑒 = 𝑒 𝑠𝑒𝑛(𝑥), 
Logo 𝑣 = 𝑒 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑐) 
Substituindo c) em b), encontramos 
 𝑢 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Integrando, recebemos 𝑢 = cos (𝑥) e 
𝑣 =
−𝑒
2
(𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥)) 
Ou seja, 
𝑌 = cos(𝑥) ∙ 𝑒 +
−𝑒
2
(𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos(𝑥)) ∙ 𝑒 
𝑌 =
𝑒
2
(cos(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)) 
Solução geral: 
𝑌 = 𝑌 + 𝑌 
Ou seja, Y=𝐶 𝑒 + 𝐶 𝑒 + (cos(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥))