28-Cascas cilindricas

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Cálculo Diferencial e Integral I
Aula 28: Volumes por cascas ciĺındricas
Turma Online - Prof. Rogério Mol
Universidade Federal de Minas Gerais
1o semestre /2020
Volumes
I Considere um sólido S no espaço tridimensional, formado pela
rotação em torno do eixo y , da região abaixo do gráfico da função
cont́ınua f (x) (com f > 0) entre x = a e x = b, onde 0 < a < b.
Volumes
Volumes
I Como antes, tomamos uma partição
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xk−1 < xk < · · · < xn−1 < xn = b
do intervalo [a, b] em n subintervalos iguais de comprimento
∆x = (b − a)/n e escolhemos como pontos intermediários os pontos
médios x̄k ∈ [xk−1, xk ]. Ou seja:
x̄k =
xk−1 + xk
2
.
I Sobre o k-ésimo intervalo, produzimos o retângulo que tem como
base o intervalo [xk−1, xk ] e altura f (x̄k). Giramos esse retângulo em
torno do eixo y . O sólido resultante é uma “casca ciĺındrica” Sk , de
raio interno xk−1, raio externo xk e altura f (x̄k).
Volumes
I Como antes, tomamos uma partição
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xk−1 < xk < · · · < xn−1 < xn = b
do intervalo [a, b] em n subintervalos iguais de comprimento
∆x = (b − a)/n e escolhemos como pontos intermediários os pontos
médios x̄k ∈ [xk−1, xk ]. Ou seja:
x̄k =
xk−1 + xk
2
.
I Sobre o k-ésimo intervalo, produzimos o retângulo que tem como
base o intervalo [xk−1, xk ] e altura f (x̄k). Giramos esse retângulo em
torno do eixo y . O sólido resultante é uma “casca ciĺındrica” Sk , de
raio interno xk−1, raio externo xk e altura f (x̄k).
Volumes
Volumes
I O volume dessa “casca ciĺındrica” é:
V (Sk) = πx
2
k f (x̄k)− πx2k−1f (x̄k)
= π
(
x2k − x2k−1
)
f (x̄k)
= 2π
xk + xk−1
2︸ ︷︷ ︸
x̄k
(xk − xk−1)︸ ︷︷ ︸
∆x
f (x̄k)
= 2πx̄k f (x̄k)∆x
I O volume do sólido S é aproximado pelo volume da união dessas
cascas ciĺındricas:
V (S) ≈
n∑
k=1
V (Sk) =
n∑
k=1
2πx̄k f (x̄k)∆x︸ ︷︷ ︸
soma de Riemman
.
Observe que a última expressão é a soma de Riemann da função
2πxf (x) associada à escolha da partição e de pontos intermediários.
Volumes
I O volume dessa “casca ciĺındrica” é:
V (Sk) = πx
2
k f (x̄k)− πx2k−1f (x̄k)
= π
(
x2k − x2k−1
)
f (x̄k)
= 2π
xk + xk−1
2︸ ︷︷ ︸
x̄k
(xk − xk−1)︸ ︷︷ ︸
∆x
f (x̄k)
= 2πx̄k f (x̄k)∆x
I O volume do sólido S é aproximado pelo volume da união dessas
cascas ciĺındricas:
V (S) ≈
n∑
k=1
V (Sk) =
n∑
k=1
2πx̄k f (x̄k)∆x︸ ︷︷ ︸
soma de Riemman
.
Observe que a última expressão é a soma de Riemann da função
2πxf (x) associada à escolha da partição e de pontos intermediários.
Volumes
I Assim, o volume do sólido S é obtido como
V (S) = lim
n→∞
n∑
k=1
2πx̄k f (x̄k)∆x︸ ︷︷ ︸
soma de Riemman
=
∫ b
a
2πxf (x)dx
I Ou seja:
V (S) =
∫ b
a
2πxf (x)dx
Volumes
I Exemplo. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno
do eixo y da região limitada por y = 2x2 − x3 e y = 0.
Solução. A região considerada está entre x = 0 e x = 2. A casca
ciĺındrica tem raio r = x e altura h = 2x2 − x3 (veja figura).
Portanto
V =
∫ 2
0
(2πx)(2x2 − x3)dx = 2π
∫ 2
0
(2x3 − x4)dx
= 2π
[
1
2
x4 − 1
5
x5
]2
0
= 2π
(
8− 32
5
)
=
16
5
π.
Volumes
I Exemplo. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno
do eixo y da região limitada por y = 2x2 − x3 e y = 0.
Solução. A região considerada está entre x = 0 e x = 2. A casca
ciĺındrica tem raio r = x e altura h = 2x2 − x3 (veja figura).
Portanto
V =
∫ 2
0
(2πx)(2x2 − x3)dx = 2π
∫ 2
0
(2x3 − x4)dx
= 2π
[
1
2
x4 − 1
5
x5
]2
0
= 2π
(
8− 32
5
)
=
16
5
π.
Volumes
Solução (continuação).
Volumes
I Exemplo. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno
do eixo y da região limitada entre y = x e y = x2.
Solução. Buscamos os pontos de interseção das duas curvas:
x = x2 ⇐⇒ x2 − x = x(x − 1) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x = 1.
A casca ciĺındrica tem raio r = x e altura h = x − x2 (veja figura).
Portanto
V =
∫ 1
0
(2πx)(x − x2)dx = 2π
∫ 1
0
(x2 − x3)dx
= 2π
[
1
3
x3 − 1
4
x4
]1
0
= 2π
(
13− 1
4
)
=
1
6
π.
Volumes
I Exemplo. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno
do eixo y da região limitada entre y = x e y = x2.
Solução. Buscamos os pontos de interseção das duas curvas:
x = x2 ⇐⇒ x2 − x = x(x − 1) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x = 1.
A casca ciĺındrica tem raio r = x e altura h = x − x2 (veja figura).
Portanto
V =
∫ 1
0
(2πx)(x − x2)dx = 2π
∫ 1
0
(x2 − x3)dx
= 2π
[
1
3
x3 − 1
4
x4
]1
0
= 2π
(
13− 1
4
)
=
1
6
π.
Volumes
Solução (continuação).
Volumes
I Exemplo. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno
do eixo x da região sob a curva y =
√
x entre x = 0 e x = 1.
Solução. O método das cascas ciĺındricas pode ser usado tomando
a variável y como referência. A região em questão está entre as
curvas x = y2 (que corresponde a y =
√
x) e x = 1 (veja figura). A
casca ciĺındrica tem raio r = y e altura h = 1− y2 . Portanto
V =
∫ 1
0
(2πy)(1− y2)dy = 2π
∫ 1
0
(y − y3)dy
= 2π
[
1
2
y2 − 1
4
y4
]1
0
= 2π
(
12− 1
4
)
=
1
2
π.
Volumes
I Exemplo. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno
do eixo x da região sob a curva y =
√
x entre x = 0 e x = 1.
Solução. O método das cascas ciĺındricas pode ser usado tomando
a variável y como referência. A região em questão está entre as
curvas x = y2 (que corresponde a y =
√
x) e x = 1 (veja figura). A
casca ciĺındrica tem raio r = y e altura h = 1− y2 . Portanto
V =
∫ 1
0
(2πy)(1− y2)dy = 2π
∫ 1
0
(y − y3)dy
= 2π
[
1
2
y2 − 1
4
y4
]1
0
= 2π
(
12− 1
4
)
=
1
2
π.
Volumes
Solução (continuação).
Volumes
I Exemplo. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno
da reta x = 2 da região delimitada por y = x − x2 e y = 0.
Solução. Nesse caso, a casca ciĺındrica tem raio r = 2− x e altura
h = x − x2 (veja figura). Portanto
V =
∫ 1
0
2π(2− x)(x − x2)dx = 2π
∫ 1
0
(x3 − 3x2 + 2x)dx
= 2π
[
1
4
x4 − 3 1
3
x3 + 2
1
2
x2
]1
0
= 2π
(
1
4
− 1 + +1
)
=
1
2
π.
Volumes
I Exemplo. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno
da reta x = 2 da região delimitada por y = x − x2 e y = 0.
Solução. Nesse caso, a casca ciĺındrica tem raio r = 2− x e altura
h = x − x2 (veja figura). Portanto
V =
∫ 1
0
2π(2− x)(x − x2)dx = 2π
∫ 1
0
(x3 − 3x2 + 2x)dx
= 2π
[
1
4
x4 − 3 1
3
x3 + 2
1
2
x2
]1
0
= 2π
(
1
4
− 1 + +1
)
=
1
2
π.
Volumes
Solução (continuação).