4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - Massa e Quant Movim (V 2 - 2020)

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V
DINÂMICA DOS FLUIDOS
Equações Diferencais de Balanço de
Massa e Quantidade de Movimento no VC
Prof. Ricardo Cruz (rcruz@uea.edu.br)
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO BALANÇO MASSA CARTESIANA (EDBM)
• A EBDM é deduzida para volumes de controle infinitesimais fixos (Euler) ou mó-
veis (Lagrange), relativos a um sistema cartesiano fixo (figura abaixo);
• A literatura deduz a equação diferencial para uma
propriedade extensiva 𝑷 , pelo princípio geral:
Taxa de
variação
de 𝑷
dentro
do VC
+
Fluxo
líquido
de 𝑷
através
do 𝑽𝑪
=
Taxa de
geração de 𝑷
dentro
do 𝑽𝑪
+
Taxa de
geração de 𝑷
na face
externa do 𝑽𝑪
+
Taxa de
difusão de 𝑷
de fora para
dentro do VC
(Este princípio é o mesmo formulado no slide 13 do CAP. 3B. Pergunta-se: onde estão os pontos de convergência?)
• Porém, é mais rápido obter a EDBM para VCI fixos pelo Teorema da Divergência
de Gauss (TDG) para uma função de ponto ෠F, aplicando-o à parcela advectiva do
Teorema do Transporte de Reynolds (TTR). O TDG é dado como:
න
𝑆𝐶
෠F ∙ ො𝑛 𝑑𝐴 = න
𝑉𝐶
𝛁 ∙ ෠F 𝑑𝑉
2
Aqui, são todos nulos para a massa
(o porquê transcende o escopo deste curso)
Em resumo, o TDG transforma uma integra-
ção de área numa integração de volume
Tranferências de massa
(local + advectiva)
• VC infinitesimais fixos (CAP.3B): aplica-se o Teorema de Leibniz (TL) e o TDG na
parcela advectiva do EIBMFF (CAP. 4A), associando-se ෠F a 𝝆෡V:
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶𝐼
𝜌𝑑𝑉 + න
𝑆𝐶𝐼
𝜌෡V ∙ ො𝑛 𝑑𝐴 ⟺ න
𝑉𝐶𝐼
𝜕
𝜕𝑡
𝜌 𝑑𝑉 +න
𝑉𝐶𝐼
𝛁 ∙ 𝜌෡V 𝑑𝑉 = 0
∴ න
𝑉𝐶𝐼
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝜌෡V 𝑑𝑉 = 0
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝜌෡V = 0 (1)
• A eq. (1) é escalar e vale para fluidos compressíveis e incompressíveis (FCI),
transitando por VCI fixos. Ela pode ser escrita, ainda, desenvolvendo-se a
parcela do produto 𝛁∙ 𝝆෡V =𝛁∙𝝆 𝒖, 𝒗,𝒘 𝑻, na forma seguinte:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕
𝜕𝑥
𝜌𝑢 +
𝜕
𝜕𝑦
𝜌𝑣 +
𝜕
𝜕𝑧
𝜌𝑤 = 0 (2)
3
Esta é a EDBM Transiente, para aplicação
em VCI fixos. É também chamada de Equa
ção da Continuidade Transiente
Advectiva do EIBMFF (VCFF) 
• VC infinitesimais móveis (CAP.3B): é obtida desenvolvendo-se “distributiva-
mente” o produto escalar 𝛁∙ 𝝆෡V , na eq. (1):
𝛁 ∙ 𝜌෠V ≡ 𝜌 𝛁 ∙ ෠V + ෠V ∙ 𝛁𝜌
∴
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝜌 𝛁 ∙ ෠V + ෠V ∙ 𝛁𝜌 ⟹
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ෠V ∙ 𝛁𝜌 + 𝜌 𝛁 ∙ ෠V = 0
∴∴
1
𝜌
𝐷𝜌
𝐷𝑡
+ 𝛁 ∙ ෠V = 0 (3)
• As formas estacionárias da EBDM para VCI fixos e móveis são obtidas fazen-
do Τ𝝏𝝆 𝝏𝒕= Τ𝑫𝝆 𝑫𝒕= 𝟎, nas eq. (1) e (3). Note-se que não importa se o fluido
é compressível ou incompressível, porque, estacionariamente, se escreve:
𝛁 ∙ ෠V ≡ 𝑑𝑖𝑣 ෠V = 0 (4)
4
𝑫𝝆
𝑫𝒕
⟹ Derivada Material (CAP. 3A)
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE BALANÇO MASSA CILÍNDRICA (EDBM)
• As equações (1), (3) e (4) independem do sistema de coordenadas –
afinal, são escritas em termos de operadores vetoriais que são, por
definição, invariantes. Por outro lado, a eq. (2) é cartesiana;
• Para obter a eq. (1) em coordenadas cilíndricas, útil no escoamento
em tubos cilíndricos e máquinas rotativas, deve-se transformar as co-
ordenadas, como segue (figura ao lado):
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦², 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sen 𝜃 , 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐tg
𝑦
𝑥
• Após os devidos algebrismos, é obtido:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝜌𝑟𝑢𝑟 +
𝜕
𝜕𝜃
𝜌𝑢𝜃 +
𝜕
𝜕𝑧
𝜌𝑢𝑧 = 0 (6)
Onde: 𝒓 é o módulo do raio vetor no plano 𝑦𝑥; e 𝒖𝒓, 𝒖𝜽, 𝒖𝒛 são os componentes cilíndricos do
vetor velocidade ෡V, cujos unitários são ො𝒆𝒓, ො𝒆𝜽 e ො𝒆𝒛. Estes elementos aparecem na figura acima.
5
(5)
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO (QM)
• A equação é usualmente formulada para volumes de controle infinitesimais fixos
(Euler) ou móveis (Lagrange), referidos a um referencial cartesiano (figura);
• Assim como para a massa, o balanço pode sair do princípio ge-
ral para uma propriedade extensiva vetorial ෡𝑷:
Taxa de
variação
de ෡𝑷
dentro
do VC
+
Fluxo
líquido
de ෡𝑷
através
do 𝑽𝑪
=
Taxa de
geração de ෡𝑷
dentro
do 𝑽𝑪
+
Taxa de
geração de ෡𝑷
na face
externa do 𝑽𝑪
+
Taxa de difusão de
෡𝑷 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒂/𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐
𝒐𝒖 dentro/fora do VC
(Este princípio é o mesmo formulado no slide 13 do CAP. 3B. Onde estão os pontos de convergência?)
• A equação diferencial de balanço de quantidade de movimento também é obti-
da aplicando o Teorema da Divergência de Gauss (TDG), escrito para uma fun-
ção tensorial de ponto genérica ധF:
න
𝑆𝐶
ധF ∙ ො𝑛 𝑑𝐴 = න
𝑉𝐶
𝛁 ∙ ധF 𝑑𝑉
6
Forças atuantes no
volume de controle
O TDG transforma integração de área em integração de volu-
me. O ente ധF é um tensor de 2ª ordem, com 9 componentes.
Os dois produtos internos (ധF ∙ ෝ𝒏 e 𝛁 ∙ ധF ) geram vetores
Termo aqui nulo
(além deste curso)
Tranferências de QM
(local + advectiva)
• Na classe forças de superfície, no CAP. 1 foram
dadas: a combinação da pressão com as tensões
normais e as tensões de cisalhamento (figura). A
combinação destes três agentes forma um arran
jo matricial que define o tensor das tensões de
Cauchy, ന𝝈 (figura). Os elementos de ന𝝈 são 𝝈𝒊𝒋,
onde 𝒊 e 𝒋 são as direções 𝒙, 𝒚 ou 𝒛. Se 𝒊 = 𝒋 a
tensão é normal; se não, a tensão é de cisalha-
mento ¹. O slide 15 descrimina ന𝝈mais amiúde.
• Para tanto, porém, é conveniente usar a eq. (5) do CAP. 4B, associando-a às de-
clarações do slide anterior, como segue:
Taxa de
variação
de ෡𝑷
dentro
do VC
+
Fluxo
líquido
de ෡𝑷
através
do 𝑽𝑪
≡෍෡F𝒆𝒙𝒕. ≡
Taxa de
geração de ෡𝑷
dentro
do 𝑽𝑪
+
Taxa de
geração de ෡𝑷
na face
externa do 𝑽𝑪
Declaração X: na eq. (5), são as transferências de QuantiMov local e advectiva.
Declaração Y: a força de campo é o peso do fluido.
Declaração Z: são forças de superfície das tensões fora do VCIF (sl. 17, CAP. 1; e sl. 9, CAP. 4B);
7
X = transferências de QM Y = força de campo Z = forças de tensões
¹ Consultar um muito bom texto sobre, em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Tensor_tens%C3%A3o_de_Cauchy
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tensor_tens%C3%A3o_de_Cauchy
• VC infinitesimais fixos (CAP.3B): face as declarações Y e Z, pode-se complemen-
tar a eq. (5) do CAP. 4B, do EIBQML, como segue:
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶𝐼𝐹
𝜌෡V𝑎𝑏𝑠.𝑑𝑉 +න
𝑆𝐶𝐹
𝜌෡V𝑎𝑏𝑠. ෡V𝑎𝑏𝑠. ∙ ො𝑛 𝑑𝐴 ≡
෍෡F𝑒𝑥𝑡. ≡ න
𝑉𝐶𝐼𝐹
𝜌 ො𝑔𝑑𝑉 + න
𝑆𝐶𝐹
ധ𝜎 ∙ ො𝑛 𝑑𝐴 5 𝑟𝑒𝑝.
• Então, aplica-se os teoremas TL e TDG às integrais de superfície da eq. (5) rep.
acima, no que se associam ധF a: 𝝆෡V𝑨𝑩𝑺෡V𝑨𝑩𝑺, onde o ente ෡V𝑨𝑩𝑺෡V𝑨𝑩𝑺 é chamado de
produto diádico²; e ന𝝈, o tensor de Cauchy. Disso se obtém:
𝑉𝐶𝐼𝐹׬
𝜕
𝜕𝑡
𝜌෡V𝑎𝑏𝑠. 𝑑𝑉 + 𝑉𝐶𝐼𝐹׬ 𝛁 ∙ 𝜌
෡V𝑎𝑏𝑠.෡V𝑎𝑏𝑠. 𝑑𝑉 = 𝑉𝐶𝐼𝐹׬ 𝜌 ො𝑔𝑑𝑉 + 𝑉𝐶𝐼𝐹׬ 𝛁 ∙ ധ𝜎 𝑑𝑉
∴ 𝑉𝐶𝐼𝐹׬
𝜕
𝜕𝑡
𝜌෡V𝑎𝑏𝑠. + 𝛁 ∙ 𝜌෡V𝑎𝑏𝑠.෡V𝑎𝑏𝑠. − 𝜌 ො𝑔 + 𝛁 ∙ ധ𝜎 𝑑𝑉 = 0
∴∴
𝜕
𝜕𝑡
𝜌෡V𝑎𝑏𝑠. + 𝛁 ∙ 𝜌෡V𝑎𝑏𝑠.෡V𝑎𝑏𝑠. = 𝜌 ො𝑔 + 𝛁 ∙ ധ𝜎 (7)
² Esta aplicação linear, de um vetor sobre si mesmo, é escrita: ෡V𝑨𝑩𝑺෡V𝑨𝑩𝑺 =
𝒖𝒖 𝒖𝒗 𝒖𝒘
𝒗𝒖 𝒗𝒗 𝒗𝒘
𝒘𝒖 𝒘𝒗 𝒘𝒘
.
8
Equação diferencial transiente
do balanço de QM (Equação
de Cauchy). Válida para fluido
compressível e incompressível
X = transferências de QM (local + advectiva) 
Y = força de campo Z = forças de tensões
• VC infinitesimais móveis (CAP.3B): parte-se dos seguintes rearranjos no
lado esquerdo da eq. (7):
𝜕
𝜕𝑡
𝜌෡V𝑎𝑏𝑠. = 𝜌
𝜕෡V𝑎𝑏𝑠.
𝜕𝑡
+ ෡V𝑎𝑏𝑠.
𝜕𝜌
𝜕𝑡
[A]
𝛁 ∙ 𝜌෡V𝑎𝑏𝑠.෡V𝑎𝑏𝑠. = 𝜌 ෡V𝑎𝑏𝑠. ∙ 𝛁 ෡V𝑎𝑏𝑠. + ෡V𝑎𝑏𝑠. 𝛁 ∙ 𝜌෡V𝑎𝑏𝑠. [B]
Tal que, igualando [A] + [B] ao lado direito da eq. (59):
𝜌
𝜕෡V𝑎𝑏𝑠.
𝜕𝑡
+ ෡V𝑎𝑏𝑠.
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝜌 ෡V𝑎𝑏𝑠. ∙ 𝛁 ෡V𝑎𝑏𝑠. + ෡V𝑎𝑏𝑠. 𝛁 ∙ 𝜌෡V𝑎𝑏𝑠. = 𝜌 ො𝑔 + 𝛁 ∙ ധ𝜎
𝜌
𝜕෡V𝑎𝑏𝑠.
𝜕𝑡
+ ෡V𝑎𝑏𝑠. ∙ 𝛁 ෡V𝑎𝑏𝑠. + ෡V𝑎𝑏𝑠.
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝛁 ∙ 𝜌෡V𝑎𝑏𝑠. = 𝜌 ො𝑔 + 𝛁 ∙ ധ𝜎
∴ 𝜌
𝐷෡V𝑎𝑏𝑠.
𝐷𝑡
= 𝜌 ො𝑔 + 𝛁 ∙ ധ𝜎 (8)
9
= 𝟎 (conservação da massa, eq. 1)
= 
𝑫
𝑫𝒕
෡V𝒂𝒃𝒔. (deriv. subst., eq. 8, CAP. 3A)
Escrever a equação de Cauchy pela derivada substantiva
significa que a transferência de QM infinitesimal, indepen-
de se o VCI é fixo (VCIF) ou móvel (VCIM).
A eq. (8) exige saber como as tensões variam com p, , T,
etc. Isso foi resolvidopor Navier e Stokes
• Em coordenadas cartesianas, escrevem-se os componentes da Equação de
Cauchy, no modo da eq. (7) ou (8), nas formas:
Componentes 𝒙, 𝒚 e 𝒛 para VC infinitesimais fixos:
𝜕
𝜕𝑡
𝜌𝑢 + 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝑢ොV = 𝜌𝑔𝑥 +
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜎𝑧𝑥
𝜕𝑧
(7𝑎)
𝜕
𝜕𝑡
𝜌𝑣 + 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝑣ොV = 𝜌𝑔𝑦 +
𝜕𝜎𝑥𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑦𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜎𝑧𝑦
𝜕𝑧
(7𝑏)
𝜕
𝜕𝑡
𝜌𝑤 + 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝑤ොV = 𝜌𝑔𝑧 +
𝜕𝜎𝑥𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑦𝑧
𝜕𝑦
+
𝜕𝜎𝑧𝑧
𝜕𝑧
(7𝑐)
Componentes 𝒙, 𝒚 e 𝒛 para VC infinitesimais móveis:
𝜌
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔𝑥 +
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑦𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝜎𝑧𝑥
𝜕𝑧
(8𝑎)
𝜌
𝐷𝑣
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔𝑦 +
𝜕𝜎𝑥𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑦𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝜎𝑧𝑦
𝜕𝑧
(8𝑏)
𝜌
𝐷𝑤
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔𝑧 +
𝜕𝜎𝑥𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎𝑦𝑧
𝜕𝑦
+
𝜕𝜎𝑧𝑧
𝜕𝑧
(8𝑐)
Estas equações confirmam o 1° parágrafo da nota da eq. (8) do slide anterior.
10
AS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES PARA FLUIDOS INCOMPRESSÍVEIS –
FORMA CARTESIANA
• A equação de Cauchy se aplica ao escoamento de fluidos compressíveis (gases)
e in- compressíveis (líquidos);
• Escoamento compressível é caso mais geral de uso da Equação de Cauchy. Neste
ca-so, contabilizam-se as incógnitas presentes como segue:
i. O tensor ന𝝈 tem 9 componentes, das quais as desconhecidas geralmente são as 3 tem-
sões normais (𝝈𝒙𝒙, 𝝈𝒚𝒚 e 𝝈𝒛𝒛) e as 3 de cisalhamento (𝝈𝒙𝒚, 𝝈𝒙𝒛 e 𝝈𝒚𝒛, iguais em
módulo às tensões recíprocas 𝝈𝒚𝒙, 𝝈𝒛𝒙 e 𝝈𝒛𝒚). Disso totalizam-se 6 incógnitas;
ii. Há 4 incógnitas de campo: 𝝆, 𝒖, 𝒗,𝒘; e
iii. Nos gases, a massa específica é função de mais 2 incógnitas, 𝑻 e 𝒑.
Portanto, são 6 + 4 + 2 = 12 incógnitas. Tem-se 1 EDP da massa, 3 EDP de
Cauchy (𝒙, 𝒚 e 𝒛) e 1 equação de estado complementar, totalizando 5 equações.
Para obter soluções unívocas, são necessárias mais 12 – 5 = 7 equações. Uma é
a EDP do Balanço de Energia, que está além do escopo deste curso (aqui não se
trata esse escoamento), mas reduz o número de equações adicionais a 6;
• Pensando numa solução para as 6 incógnitas restantes, Louis Navier, no séc.
XVIII, e George Stokes, no séc. XIX, propuseram um modelo que fizesse isso;
11
• A melhor estratégia para lidar com a incógnita massa específica  é considerá-la
constante, como ocorre nos líquidos (e nos gases a baixas pressões). Isso implica
𝑻 const. Assim, buscam-se soluções incompressíveis e isotérmicas;
• O tensor ന𝝈 foi modelado por Navier e Stokes assumindo-o a soma da pressão
(igual em todas as direções, pela lei de Pascal, e voltadas para dentro do VCIF)
com as tensões viscosas (que podem deformar o VCI por rotação, translação e va
riação de volume), como segue:
ധ𝜎 ≡
𝝈𝒙𝒙 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧
𝜎𝑦𝑥 𝝈𝒚𝒚 𝜎𝑦𝑧
𝜎𝑧𝑥 𝜎𝑧𝑦 𝝈𝒛𝒛
=
−𝒑 0 0
0 −𝒑 0
0 0 −𝒑
+
𝝉𝒙𝒙 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥 𝝉𝒚𝒚 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝝉𝒛𝒛
= Ӗ𝑝 + Ӗ𝜏 (9)
12
Pressão 𝒑 escrita como um
tensor. Se gás, é termodi-
nâmica. Se líquido, é mecâ
nica. O sinal (-) indica que
entra no VCI
Tensor tensão viscosa ധ𝝉.
Em gases e líquidos, é fun
ção da viscosidade e das
deformações do VCI
Observar que o VCI tem como agentes as
pressões 𝒑 e as tensões fluido-mecâni
cas 𝝉𝒊𝒋, como é mostrado nesta figura
As tensões 𝝉𝒊𝒊 são
normais e têm na-
tureza viscosa (for
ça viscosa puxa a
matéria). E as 𝝉𝒊𝒋
(=𝝉𝒋𝒊 ) geram cisa-
lhamento. São am
bas funções de de-
formações (𝝉𝒊𝒊 line
ares e 𝝉𝒊𝒋 angula-
res). As Deforma-
ções são funções
dum gradiente de
velocidade. Ocorre
que 𝝉𝒊𝒊 ≪ 𝝉𝒊𝒋
• Para obter as Equações de Navier-Stokes (ENS) restritas aos fluidos incompressí-
veis isotérmicos, cuja consequência simplificadora é que a massa específica 𝝆 e a
viscosidade 𝝁 se mantêm constantes em todo o campo de escoamento, a litera-
tura de MecFlu (Çengel e Cimbala, 2015; White, 2006) dispõe do modelo:
ധ𝜎 ≡ Ӗ𝑝 + 2𝜇 Ӗ𝜀 =
−𝑝 0 0
0 −𝑝 0
0 0 −𝑝
+
𝟐𝝁
𝝏𝒖
𝝏𝒙
𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝟐𝝁
𝝏𝒗
𝝏𝒚
𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝟐𝝁
𝝏𝒘
𝝏𝒛
(10)
13
ധ𝝉
• O tensor tensão viscosa ധ𝝉 é direta-
mente proporcional ao tensor defor
mação ധ𝜺 do VCI (o que é coerente
com o modelo de Newton). Nos lí-
quidos, ധ𝜺 deriva do efeito conjunto
translação-rotação do VCI (figura
2D ao lado). Em gases, além desses
dois efeitos, ocorre também varia-
ção volumétrica por compressão;
Notar: 𝝉𝒊𝒋 = 𝝉𝒋𝒊
• Na eq. (10), cada elemento da matriz ന𝝈 é escrito
como:
ധ𝜎
𝜎𝑥𝑥 = −𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
൞
𝜎𝑥𝑦 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜎𝑥𝑧 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
(10a)
𝜎𝑦𝑦 = −𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑦
൞
𝜎𝑦𝑥 = 𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜎𝑦𝑧 = 𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
(10b)
𝜎𝑧𝑧 = −𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑧
൞
𝜎𝑧𝑥 = 𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜎𝑧𝑦 = 𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
(10c)
• Então, levam-se as eq. (10a) a (10c) às Equações
de Cauchy para VCI móveis, (8a) a (8c), por sim-
plicidade [justificado pelas razões da nota da eq.
(8), slide 12] como se mostra no slide a seguir.
14
OBSERVAÇÕES:
• Cada termo de ധ𝝉 é o produto da viscosidade pe-
lo tensor deformação ധ𝜺, escrito considerando
apenas deformações lineares e angular;
• Notar que se somadas as três tensões normais,
𝝈𝒙𝒙, 𝝈𝒚𝒚 e 𝝈𝒛𝒛 de (10a) a (10c), ao lado, se tem:
𝒑 = −𝟏
𝟑
𝝈𝒙𝒙 + 𝝈𝒚𝒚 + 𝝈𝒛𝒛 (10d)
que é o modelo de pressão mecânica dos FII.
• Nos gases, uma ∆𝒑 demora para estabilizar no
valor dado pela eq. (10d). E também, a pressão
depende da temperatura. Por tudo isso, a pres-
são é classificada como uma propriedade exten
siva termodinâmica;
• No modelo de Stokes para os gases, só as ten-
sões viscosas normais são diferentes. São escri-
tas com uma parcela adicional (em negrito):
𝝉𝒊𝒊 = 𝟐𝝁
𝝏V𝒊
𝝏𝒊
+ 𝝀 𝒅𝒊𝒗෡V (10e)
Nesta equação, 𝝀 é o segundo coeficiente de vis
cosidade (é muito usado, mas não tem consen-
so experimental) e 𝒊 = 𝒙, 𝒚 ou 𝒛.
• Por didatismo, a inserção é feita com a equação 𝒙. Em 𝒚 e em 𝒛 é similar:
𝜌
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔𝑥 +
𝜕
𝜕𝑥
−𝑝 + 2𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑦
𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑧
𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
=
= 𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 2𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑦𝜕𝑥
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑧𝜕𝑥
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
=
= 𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦𝜕𝑥
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧𝜕𝑥
=
= 𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇 𝛁2𝑢 +
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦𝜕𝑥
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧𝜕𝑥
=
= 𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇 𝛁2𝑢 +
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑧
=
= 𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇 𝛁2𝑢 +
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
=
= 𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇 𝛁2𝑢 +
𝜕
𝜕𝑥
𝛁 ∙ V =
∴ 𝜌
𝐷𝑢
𝐷𝑡
= 𝜌𝑔𝑥 + 𝜇 𝛁
2𝑢 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
(11) − Componente 𝒙 das Equações de N&S
15
= 𝟎 (eq. 4)
• Agrupam-se então as ENS para VCI móveis e fixos:
𝜌
𝐷𝑢
𝐷𝑡
≡ 𝜌
𝜕
𝜕𝑡
𝑢 + 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝑢෡V = 𝜌𝑔𝑥 + 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
−
𝜕𝑝
𝜕𝑥
∴ 𝜌
𝐷𝑢
𝐷𝑡
≡ 𝜌
𝜕
𝜕𝑡
𝑢 + 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝑢෡V = 𝜌𝑔𝑥 + 𝜇 𝑙𝑎𝑝 𝑢 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝜌
𝐷𝑣
𝐷𝑡
≡ 𝜌
𝜕
𝜕𝑡
𝑣 + 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝑣෡V = 𝜌𝑔𝑦 + 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
−
𝜕𝑝
𝜕𝑦
∴ 𝜌
𝐷𝑣
𝐷𝑡
≡ 𝜌
𝜕
𝜕𝑡
𝑣 + 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝑣෡V = 𝜌𝑔𝑦 + 𝜇 𝑙𝑎𝑝 𝑣 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝜌
𝐷𝑤
𝐷𝑡
≡ 𝜌
𝜕
𝜕𝑡
𝑤 + 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝑤෡V = 𝜌𝑔𝑧+𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
−
𝜕𝑝
𝜕𝑧
∴ 𝜌
𝐷𝑤
𝐷𝑡
≡ 𝜌
𝜕
𝜕𝑡
𝑤 + 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝑤෡V = 𝜌𝑔𝑧 + 𝜇 𝑙𝑎𝑝 𝑤 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
• Estas 3 equações mais 1 equação do balanço diferencial de massa, para FII,
permitem resolver problemas hidrodinâmicos com até 4 incógnitas.
16
(11a)
(11b)
(11c)
• Em linguagem vetorial sintética, as equações (11a) a (11c) se resumem a:
𝜌
𝐷෡V
𝐷𝑡
≡
𝜕
𝜕𝑡
𝜌෡V + 𝑑𝑖𝑣 𝜌෡V෡V = 𝜌 ො𝑔 + 𝜇𝛁2෡V− 𝛁𝑝 (12)
• A leitura da ENS nesta forma compacta vetorial é:
“A taxa de variação da QM por unidade de volume do VCI cresce com o peso do 
fluido no VCI e com as tensões viscosas; e diminui com o gradientede pressão”
• A parcela do gradiente de pressão, 𝛁𝒑, é o termo que retarda o escoamento, ou
seja, é a perda de carga do escoamento;
• Estas EDP são não-lineares no termo advectivo, 𝒅𝒊𝒗 𝝆෡𝐕෡𝐕 ;
• Hoje só são possíveis algumas soluções exatas das ENS, nas quais as eq. (11a) a
(11c) são utilizadas sob várias simplificações de ordem espacial e/ou temporal (o
mais comum é adotar o regime estacionário). Atualmente, os casos mais difíceis
(senão matematicamente impossíveis) têm sido resolvidos por técnicas de Fluido-
dinâmica Computacional (FDC).
17
AS ENS PARA FLUIDOS INCOMPRESSÍVEIS – FORMA CILÍNDRICA
• A ENS em coordenadas cilíndricas é, tal e qual a Equação do Balanço de Massa,
eq. (1), importante em análises diferenciais com sistemas tubulares e máquinas
rotodinâmicas de fluxo;
• Após manipulações algébricas nas eq. (11a) a (11c), se obtém as ENS cilíndricas:
EM 𝒓: 𝜌
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑟
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑟
+
𝑢𝜃
𝑟
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝜃
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑧
−
𝑢𝜃
2
𝑟
=
= 𝜌𝑔𝑟 + 𝜇
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑢𝑟
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕2𝑢𝑟
𝜕𝜃2
+
𝜕2𝑢𝑟
𝜕𝑧2
−
𝑢𝑟
𝑟2
−
2
𝑟2
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
−
𝜕𝑝
𝜕𝑟
(13a)
EM 𝜽: 𝜌
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑟
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑟
+
𝑢𝜃
𝑟
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑧
+
𝑢𝑟𝑢𝜃
𝑟
=
= 𝜌𝑔𝜃 + 𝜇
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕2𝑢𝜃
𝜕𝜃2
+
𝜕2𝑢𝜃
𝜕𝑧2
+
2
𝑟2
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
−
𝑢𝜃
𝑟2
−
𝜕𝑝
𝜕𝜃
(13b)
EM 𝒛: 𝜌
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑟
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑟
+
𝑢𝜃
𝑟
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝜃
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
=
= 𝜌𝑔𝑧 + 𝜇
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕2𝑢𝑧
𝜕𝜃2
+
𝜕2𝑢𝑧
𝜕𝑧2
−
𝜕𝑝
𝜕𝑧
(13c)
18
A ENS ADIMENSIONALIZADA
• A ENS escrita como a eq. (12) é independente do sistema de coordenadas parti-
cular no qual se quer expressá-la. Nesse sentido, sua forma adimensionalizada é
ainda mais útil, porque, além de reduzi-la, acrescenta ainda mais informação;
• A adimensionalização (ADM) duma equação retira as dimensões físicas das vari-
áveis, as quia se expressam em um sistema de unidades. Para distinguir uma
variável dimensional duma adimensional, escreve-se a adi com um asterístico
junto do seu símbolo (e.g. V Τ𝒎 𝒔 ⟹ V∗[𝟏]; ሶE 𝒘𝒂𝒕𝒕 ⟹ E∗[𝟏]; etc.);
• Para tornar uma variável ADM basta dividi-la ou multiplicá-la por uma valor de
referência (VRF) dela. A escolha dos VRF é subjetiva, pois há vários em MecFlu;
• Apresenta-se inicialmente a ENS ADM para o escoamento de fluidos incompres-
síveis ( const.), obtida usando-se as seguintes variáveis ADM:
෡V∗ ≡
෡V
V𝑟𝑒𝑓.
, 𝑝∗ ≡
𝑝
𝜌V𝑟𝑒𝑓.
2 , 𝑡
∗ ≡
𝑡V𝑟𝑒𝑓.
𝐿𝑟𝑒𝑓.
, ∇𝑆
∗ ≡ ∇𝑆𝐿𝑟𝑒𝑓. , 𝑔
∗ ≡
𝑔𝐿𝑟𝑒𝑓.
V𝑟𝑒𝑓.
2 (14)
Onde: V𝒓𝒆𝒇. Τ𝒎 𝒔 e 𝒑𝒓𝒆𝒇. 𝑷𝒂 são a velocidade e a pressão numa posição arbitrária; e 𝑳𝒓𝒆𝒇. [𝒎] é uma
dimensão linear apropriada (e.g., o diâmetro dum tubo, uma corda aerodinâmica, etc.). O símbolo 𝛁𝑺
significa que nabla incide num espaço geométrico 𝑺 3D qualquer.
19
• Assim, substituindo-se as variáveis ADM na eq. (12), na qual se tem  const.; e
realizando sucessivas operações algébricas; resulta a ENS ADM seguinte, própria
para o escoamento de fluidos incompressíveis (líquidos):
𝐷෡V∗
𝐷𝑡∗
≡
𝜕
𝜕𝑡∗
෡V∗ + 𝑑𝑖𝑣 ෡V∗෡V∗ = ො𝑔∗ +
1
𝑹𝒆𝒓𝒆𝒇.
𝛁∗ 2෡V∗ − 𝛁∗𝑝∗ (15)
Onde: o Número de Reynolds foi apresentado no CAP. 1, para o diâmetro de tubos, 𝑫, representando
a dimensão de referência. Este parâmetro se generaliza aqui como 𝑹𝒆𝒓𝒆𝒇. ≡
𝝆V𝒓𝒆𝒇.L𝒓𝒆𝒇.
𝝁
=
V𝒓𝒆𝒇.L𝒓𝒆𝒇.
𝝂
, onde
𝝁 Τ𝒌𝒈 𝒎. 𝒔 é a viscosidade dinâmica e 𝝂 Τ𝒎² 𝒔 é a viscosidade cinemática do fluido.
• Como anteposto no CAP. 3A, o Número de Reynolds da eq. (15) delimita a natu-
reza do escoamento segundo os seguintes intervalos qualitativos:
REGIME LAMINAR
Escoamento a baixas velocidades. O fluido segue uma trajetória retilínea.
Limite: 𝑹𝒆 ≲ 𝟐, 𝟓∙𝟏𝟎𝟑;
REGIME DE TRANSIÇÃO
Escoamento a médias velocidades. O escoamento tem ondulações.
Limites: 𝟐, 𝟓∙𝟏𝟎𝟑 < 𝑹𝒆 ≲ 𝟏𝟎𝟒;
REGIME TURBULENTO
Escoamento a altas velocidades. O escoamento é totalmente misturado.
Limite: 𝑹𝒆 > 𝟏𝟎𝟒.
20
• Para o escoamento de fluidos compressíveis ( var.), os gases, há a ENS ADM a-
baixo, aqui dada sem o detalhamento da eq. (15) (vide Çengel & Cimbala, pg.
294 e 519). Nesta equação aparecem outros grupos adimensionais da MecFlu:
𝑺𝒕𝒓𝒆𝒇.
𝜕෡V∗
𝜕𝑡∗
+ ෡V∗ ∙ 𝛁∗ ෡V∗ =
ො𝑔∗
𝑭𝒓𝒓𝒆𝒇.
𝟐 +
1
𝑹𝒆𝒓𝒆𝒇.
𝛁∗ 2෡V∗ − 𝑬𝒖𝒓𝒆𝒇.𝛁
∗𝑝∗ (16)
Os grupos adimensionais desta eq. (16) são:
𝑺𝒕𝒓𝒆𝒇. − Número de Strouhal, definido como a razão entre a frequência dos vór-
tices gerados num escoamento obstacularizado e o tempo médio que o escoa-
mento leva para percorrer 1 m;
𝑭𝒓𝒓𝒆𝒇. − Número de Froude, definido como a razão entre as forças inerciais e a
força gravitacional que agem num escoamento;
𝑹𝒆𝒓𝒆𝒇. − Número de Reynolds, definido como a razão entre as forças inerciais e a
força viscosa (o slide anterior apresenta esta relação em termos de variáveis pró
prias) que agem num escoamento; e
𝑬𝒖𝒓𝒆𝒇. − Número de Euler, definido como a razão entre o gradiente de pressão
(ou diferença de pressão antes/após) e a pressão dinâmica do escoamento.
21
EXEMPLO. Equação de Hagen-Poiseuille
Deseja-se obter uma equação para o escoamento por ação de gradiente de pres-
são constante axial, de fluidos viscosos newtonianos em tubo cilíndrico de raio 𝑹,
horizontal de comprimento infinito, em regime permanente laminar .
Solução
Dada a geometria cilíndrica do escoamento, a solução aplica a eq. (6), do balanço de
massa, e (13c) de Navier-Stokes em 𝒛, ambas cilíndricas. O comprimento infinito do
tubo é uma hipótese simplificadora que visa eliminar os efeitos de entrada no tubo,
os quais distorcem o perfil de velocidade do escoamento. Com isso, se tem um perfil
plenamente desenvolvido que será determinado nesta solução.
Desse modo, na eq. (6) se tem as simplificações seguintes:
• Escoamento estacionário: Τ𝝏𝝆 𝝏𝒕 = 𝟎
• Fluxo somente no eixo 𝒛: 𝒖𝒓 = 𝒖𝜽 = 𝟎
∴
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑥
𝜌𝑟𝑢𝑟 +
𝜕
𝜕𝑦
𝜌𝑢𝜃 +
𝜕
𝜕𝑧
𝜌𝑢𝑧 = 0 ⟹
𝜕
𝜕𝑧
𝜌𝑢𝑧 = 0
Ou seja, 𝒖𝒛 não varia em 𝒛. A velocidade axial 𝒖𝒛 no tubo é constante.
22
𝟎 𝟎 𝟎
(ou estacionário sob 𝑹𝒆 ≲ 𝟐 𝟓𝟎𝟎)
Na eq. (13c), além das hipóteses simplificadoras da eq. (6), se tem a hipótese efeito
gravitacional nulo (tubo horizontal), tal que:
∴ 𝜌
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑟
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑟
+
𝑢𝜃
𝑟
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝜃
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
≡ 0 ≡
≡ 𝜌𝑔𝑧 + 𝜇
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝜕2𝑢𝑧
𝜕𝜃2
+
𝜕2𝑢𝑧
𝜕𝑧2
−
𝜕𝑝
𝜕𝑧
∴∴
𝑑𝑝
𝑑𝑧
−
𝜇
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
𝑟
𝑑𝑢𝑧
𝑑𝑟
= 0 ⟹ 𝑮−
𝜇
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
𝑫 = 0 × 𝒓
𝑟𝑮 − 𝜇
𝑑
𝑑𝑟
𝑫 = 0 × 𝒅𝒓 ⟹ 𝑮න𝑟 𝑑𝑟 − 𝜇න 𝑑𝑫 = 0
𝑮
𝑟²
2
− 𝜇𝑫 + 𝐶1 = 0 ÷ 𝒓 × 𝒅𝒓 ⟹
𝑮
2
න𝑟 𝑑𝑟 − 𝜇න𝑑𝑢𝑧 + 𝐶1න
𝑑𝑟
𝑟
= 0
∴ 𝑢𝑧 =
𝑟²
4𝜇
𝑮 +
+ 𝐶1 ln 𝑟 + 𝐶2
[A]
Condição de contorno 1: 𝒓 = 𝑹, 𝒖𝒛 = 𝟎 (não escorregamento)
∴ 𝑪𝟐 = −
𝑅²
4𝜇
𝑮
Condição de contorno 2: 𝒓 = 𝟎, Τ𝒅𝒖𝒛 𝒅𝒓 = 𝟎 (eixo central)
∴ 𝑪𝟏 = 0
23
𝟎 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
𝑮 𝑫
𝟎
𝒓
𝒅𝒖𝒛
𝒅𝒓
𝟎
Alocando as constantes 𝑪𝟏 e 𝑪𝟐 no resultado [A]:
𝑢𝑧 =
1
4𝜇
𝑮 𝑟2 − 𝑅2 [B]
Esta é a Equação de Hagen-Poiseuille do escoamento laminar (𝑹𝒆 ≲ 𝟐 𝟓𝟎𝟎). Ela indica
que a curva de variação da velocidade axial 𝒖𝒛 (perfil de velocidade) é parabólica em
torno do eixo central de simetria do tubo. E como o tubo tem geometria cilíndrica,
significa que no R³ o perfil de velocidade é um paraboloide de revolução.
O valor máximo da velocidade acon-
tece no eixo central do tubo, i.e., on-
de 𝒓 = 𝟎 (figura ao lado). Ou seja:
𝑢𝑧,𝑚á𝑥. = −
𝑅2
4𝜇
𝑮 [C]
O sinal negativo apenas indica que 𝒖𝒛,𝒎á𝒙. se reduz conforme 𝑹 cresce.
24
O valor da velocidade média – aquela que substitui a velocidade variável no raio do
tubo – é dada pelo teorema do valor médio para integrais (média sobre a área):
𝑢𝑧,𝑚é𝑑. =
1
𝐴𝑐í𝑟𝑐.
න𝑢𝑧 𝑟 𝑑𝐴 =
1
4𝜇𝜋𝑅²
𝑮න
0
𝑅
𝑟2 − 𝑅2 2𝜋𝑟𝑑𝑟 =
=
1
2𝜇𝑅2
𝑮 න
0
𝑅
𝑟3𝑑𝑟 − 𝑅2න
0
𝑅
𝑟𝑑𝑟 =
1
2𝜇𝑅2
𝑮
𝑅4
4
−
𝑅4
2
= −
𝑅2
8𝜇
𝑮
∴ 𝑢𝑧,𝑚é𝑑. =
𝑢𝑧,𝑚á𝑥.2
[D]
A vazão volumétrica no tubo é obtida pelo
produto 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 × á𝑟𝑒𝑎 :
ሶ𝑉 = න𝑢𝑧 𝑟 𝑑𝐴 =
1
4𝜇
𝑮න
0
𝑅
𝑟2 − 𝑅2 2𝜋𝑟𝑑𝑟
∴ ሶ𝑉 =
𝜋𝑅4
8𝜇
𝑮 = 𝑢𝑧,𝑚é𝑑.𝑅
2 [E]
Esta 𝒖𝒛,𝒎é𝒅. do escoamento laminar é obtida medindo-se a 𝒖𝒛,𝒎á𝒙. no eixo do tubo.
25
A
A
Eq. [C]
EXEMPLO. Aplicação da Equação de Hagen-Poiseuille
400 litro/min de óleo SAE 30 a 25 C escoam estacionariamente num tubo com 73
mm de diâmetro e 250 m de comprimento. Determine:
A) A velocidade média do escoamento;
B) O número de Reynolds do escoamento;
C) Assumindo o gradiente de pressão como a medida da queda de pressão por
cada 1 [m] de tubo, Τ∆𝒑 𝟏 𝒎 , determine a queda de pressão total, ∆𝒑;
Solução (A)
Por definição:
ሶ𝑉 = 𝑢𝑧,𝑚é𝑑.𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐.
∴ 𝑢𝑧,𝑚é𝑑. =
ሶ𝑉
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐.
=
ሶ𝑉
1
4𝜋𝐷²
=
400 Τ𝑙 𝑚𝑖𝑛
1 000 Τ𝑙 𝑚³ ∙ 60 Τ𝑠 𝑚𝑖𝑛
1
4
𝜋
73 𝑚𝑚
1 000 Τ𝑚𝑚 𝑚
2 = 1,593 Τ𝑚 𝑠
26
Solução (B)
O 𝑹𝒆 é dado pela razão a seguir, e são necessários os dados:
𝜌𝑆𝐴𝐸30 25 𝐶 = 885,2 Τ𝑘𝑔 𝑚³ (EES
)
𝜇𝑆𝐴𝐸30 25 𝐶 = 0,5809 Τ𝑘𝑔 𝑚. 𝑠 (EES
)
∴ 𝑅𝑒 =
𝜌𝑆𝐴𝐸30 𝑢𝑧,𝑚é𝑑. 𝐷
𝜇𝑆𝐴𝐸30
=
885,2 Τ𝑘𝑔 𝑚³ ∙ 1,593 Τ𝑚 𝑠 ∙
73 𝑚𝑚
1 000 Τ𝑚𝑚 𝑚
0,580 9 Τ𝑘𝑔 𝑚. 𝑠
= 177
O escoamento é laminar, por que está abaixo do limite, 𝑹𝒆 ≲ 𝟐 𝟓𝟎𝟎.
Solução (C)
A resposta sai da eq. [E]:
∴ 𝑮 =
8𝜇 ሶ𝑉
𝜋𝑅4
=
8 ∙ 0,580 9 Τ𝑘𝑔 𝑚. 𝑠 ∙
400 Τ𝑙 𝑚𝑖𝑛
1 000 Τ𝑙 𝑚3 ∙ 60 Τ𝑠 𝑚𝑖𝑛
𝜋
73 𝑚𝑚
2 ∙ 1 000 Τ𝑚𝑚 𝑚
4 = 5 556,3 Τ𝑃𝑎 𝑚
∴ ∆𝑝 = 𝑮𝐿 = 5 556,3 Τ𝑃𝑎 𝑚 ∙ 250 𝑚 = 1 389 068 𝑃𝑎 1 389,07 𝑘𝑃𝑎 ≡ 13,89 𝑏𝑎𝑟
27
EQUAÇÕES DE EULER CARTESIANAS
• A Equação de Euler (EU) é anterior à de Navier-Stokes. Leonhard Euler, no séc.
XVIII, deduziu a primeira equação teórica do escoamento, aplicando a Segunda
Lei de Newton a um fluido invíscido (viscosidade nula). Com a EU, Euler demons-
trou com rigor a equação de Bernoulli (EB). A EU separa a velha Hidráulica Empí-
rica (dos greco-romanos) e a Hidráulica Matemática, 1° nome da MecFlu;
• Porém, é fácil obter a EU a partir da EN. Para isso, basta zerar a parcela das ten-
sões viscosas na eq. (12): 𝝁𝛁2෡V = 𝟎. Disso resta:
𝜌
𝐷෡V
𝐷𝑡
≡
𝜕
𝜕𝑡
𝜌෡V + 𝑑𝑖𝑣 𝜌෡V෡V = 𝜌 ො𝑔 − 𝛁𝑝 (17)
Em coordenadas cartesianas:
𝜌
𝐷𝑢
𝐷𝑡
≡ 𝜌
𝜕
𝜕𝑡
𝑢 + 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝑢෡V = 𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
(17a)
𝜌
𝐷𝑣
𝐷𝑡
≡ 𝜌
𝜕
𝜕𝑡
𝑢 + 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝑢෡V = 𝜌𝑔𝑦 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
(17b)
𝜌
𝐷𝑤
𝐷𝑡
≡ 𝜌
𝜕
𝜕𝑡
𝑢 + 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝑢෡V = 𝜌𝑔𝑧 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
(17c)
28
Não foi só a EB que a EU “pôs em
ordem”. A EU foi usada pelo próprio
Euler para obter a primeira equação
aplicável às “máquinas impulsoras
de água” (bombas), hoje denomina-
da, também em sua honra, de Equa-
ção de Euler das Turbomáquinas. Es-
sa equação atualmente tem uma ver
são mecânica (aplicada às máquinas
“frias” – ou hidráulicas) e uma ver-
são termodinâmica (aplicada às má-
quinas “quentes” – ou térmicas)
• Apesar da EU ter como restrição o desprezo pelos efeitos viscosos, isso não ne-
cessariamente exige que o fluido seja invíscido (𝝁 = 𝟎). Fluido invíscido é a con-
dição que caracteriza a hipótese do fluido perfeito (HFP) na MecFlu;
• A HFP induz que os efeitos das forças viscosas são desprezíveis nalgumas regiões
do escoamento; e.g. no escoamento não-confinado (asas, cascos, etc.), isso ocor
re além da camada limite. Observe-se que na ENS da eq. (15) ou (16) a parcela
dissipativa 𝑹𝒆𝒓𝒆𝒇.
−𝟏
𝛁∗𝟐෡V∗ tem o inverso do Número de Reynolds: ela é mais
“forte” no escoamento laminar (𝑹𝒆 ≲ 𝟐, 𝟓∙𝟏𝟎𝟑) que no turbulento (𝑹𝒆 > 𝟏𝟎𝟒);
• Forças viscosas “fracas” implicam movimento irrotacional (IRROT), onde o fluido
não forma regiões com vórtices (vide: Çengel & Cimbala, pg. 526/529; White,
pg. 271; Young, Munson & Okiishi, pg. 188; Fox, McDonald & Pritchard, pg. 232/
238). Em geral, o escoamento laminar é IRROT e o turbulento é ROT;
• A EU modela o escoamento idealmente ao assumir a HFP, mas é ótima para ob-
ter uma boa aproximação. A EU é 100% linear, o que facilita a solução, inclusive,
quando forma com a EDP da massa (100% linear) e a EDP da energia sem dis-
sipação (100% linear) um sistema linear (Sistema de EU na FDC). Os termos dis-
sipativos da ENS e da EDP da energia as tornam não-lineares, o que complica.
29