Artigo - Métodos Numéricos (2)

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ANÁLISE TEÓRICA UTILIZANDO o Método da Anulação dos Deslocamentos m.a.d. para Determinação das Forças de Protensão dos Cabos de Pontes ESTAIADAS
Cristian Bazzo [footnoteRef:1] [1: Universidade Estácio de Sá, Graduando em Engenharia Civil, bazzits@gmail.com.] 
Patrícia Augusta de Souza [footnoteRef:2] [2: Universidade Estácio de Sá, Graduando em Engenharia Civil, patriciasouzaengenharia@gmail.com] 
Ivan Otacílio da Rosa [footnoteRef:3] [3: Universidade Estácio de Sá, Graduando em Engenharia Civil, ivanotacilio@gmail.com.] 
Lucas Guerra Luciow [footnoteRef:4] [4: Universidade Estácio de Sá, Graduando em Engenharia Civil, lucas.luciow@yahoo.com.br] 
RESUMO
A tecnologia atual obteve grandes avanços em curtos espaços de tempo principalmente na área da Engenharia Civil tornando possível a construção de estruturas de grande porte, dentre elas estão as Pontes Estaiadas, estas evoluindo seus métodos construtivos e se tornando cada vez mais belas, com grande capacidade de flexibilidade e com vãos cada vez maiores. Porém estas características dependem diretamente de análises específicas gerando segurança e controle de material utilizado pelo seu grande consumo de aço e concreto. A partir desta necessidade utilizamos o algoritmo do método de anulação dos deslocamentos (M.A.D.) para obter a força de protensão dos cabos sendo eles distribuídos de forma não linear geometricamente sendo assim necessário executar o algoritmo através do método dos elementos finitos (M.E.F.). O método de anulação dos deslocamentos faz com quem os deslocamentos verticais, em pontos de fragilidade, se tornem nulos ou muito pequenos deixando a configuração deslocada muito próxima da configuração determinada no projeto arquitetônico, sendo que a configuração deslocada pode ser divergente da referência com base na ação do peso-próprio assim apresentamos uma comparação e diferenças no tabuleiro e nas forças axiais dos cabos de uma ponte estaiada. 
Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos; Esforços Axiais dos Cabos; Método da Anulação dos Deslocamentos; Pontes Estaiadas.
1. INTRODUÇÃO
Com o sucesso das pontes estaiadas, pela sua beleza e característica de redução de materiais utilizados, muitos projetos acabaram sendo mal desenvolvidos o que acabou resultando em acidentes e sendo visto com maus olhos desenvolver sua execução chegando ao ponto de sessar temporariamente a utilização como meio construtivo, com estudos e aprimoramentos foi possível melhorar seu desempenho estrutural podendo suportar passagem de ventos e o peso próprio (MAZARIM, 2011). A utilização das pontes estaiadas vem crescendo internacionalmente, no Brasil suas características foram implantadas a pouco mais de 10 anos e é possível contabilizar cerca de 45 obras prontas e em execução (BASTOS, 2014).
O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um recurso atualmente bastante difundido para se resolver os problemas de análise estrutural. Antes do aparecimento do MEF, a análise dos meios contínuos era, quando possível, efetuada por resolução direta dos sistemas de equações diferenciais parciais que regem o fenômeno, tendo em consideração as necessárias condições de contorno. 
O Método da anulação dos deslocamentos (MAD) traz para a engenharia estrutural uma opção de determinação das forças axiais e o deslocamento vertical no tabuleiro melhor dimensionada por ser utilizado vários pontos de referência, diferente do convencional que utiliza somente uma treliça para base dos cálculos.
As pontes possuem uma função de grande importância para a sociedade, auxiliar na transposição de obstáculos ou grandes distâncias, muitas vezes são consideradas pontos turísticos pela beleza e método construtivo utilizado, as pontes estaiadas cumprem bem esse papel e são conhecidos por alcançar grandes vãos com pouco material. Seus cabos possuem um efeito catenária onde são distribuídos de forma não linear geometricamente, necessitando modelar a estrutura como tal, seus cabos têm maior rigidez quando submetidos a tração sendo assim não oferecem resistência quando comprimidos, a análise da tração dos cabos de uma ponte estaiada é um dos principais estudos necessários para determinar o deslocamento da estrutura (MOREIRA, LAIER 2016).
2. NÃO LINEARIDADE DO CABO
Nas pontes estaiadas os cabos são o principal componente que deve ser submetido a uma análise estrutural, eles são responsáveis pela estabilidade global da estrutura e também suporte ao tabuleiro, por possuir uma distribuição não linear não possuem força de tração ao ser comprimido, porém a força de tração torna sua catenária menor aumentando o rigor do cabo. Em simulações de catenárias é muito corriqueira a modelagem dos cabos para treliças interligadas, mas este recurso demanda algumas equações a mais que métodos diferentes, que utilizam somente uma treliça de referência, para isso se faz necessário à equação do módulo de elasticidade de Dischinger que obtém o efeito catenária dos cabos (PEIROT, GOULOIS 1979). Segue a equação do módulo de elasticidade: 
Então para obtermos o módulo de elasticidade do cabo (Eeq) necessitamos do módulo de elasticidade do aço (E), o peso por unidade de tamanho do cabo (w), o comprimento horizontal do cabo (Lh), a área da sessão transversal do cabo (A) e a força de tração no cabo (T). Assim é possível observar a variação entre a elasticidade equivalente e a elasticidade real dada o comprimento horizontal do cabo. Sendo que a tensão de ruptura do cabo varia entre 0,05 e 0,5 podemos notar na planilha abaixo que em grandes distâncias horizontais o esforço de tração é muito grande, mas reduz o deslocamento vertical no tabuleiro (Walther et al, 1998). 
Figura 1 – (Walther et al., 1988)
2.1 DETERMINAÇÃO DAS FORÇAS DE PROTENSÃO PELO M.A.D.
Na utilização do método da anulação dos deslocamentos podemos correlacionar a configuração referência (projeto arquitetônico) e a configuração deslocada, assim, sendo escolhidos nós (pontos de interseção entre o cabo e o tabuleiro) e aplicado os testes de convergência (Wang, Tseng e Yang, 1993).
O M.A.D. fornece dados de cada nó demonstrando quais forças de protensão agem no cabo sendo essas forças responsáveis por um deslocamento vertical pequeno, ou seja, menor que uma tolerância ().
Utilizando o módulo de elasticidade de Dischinger se obtém a não linearidade da catenária do cabo assim podemos configurar o deslocamento inicial utilizando o peso próprio dos elementos estruturais, assim é necessário um ponto inicial, um valor estimado de força de tração no cabo para que a equação de Dischinger não tenha o divisor tendendo ao infinito e a resistência equivalente do cabo a zero. É sugerido que para adotar a força inicial se utilize 80% da razão entre Eeq/E (Wang, Tseng e Yang, 1993). Assim obtemos a seguindo equação: 
Figura 2 – Gráfica da força do cabo em função do comprimento em projeção horizontal do cabo para uma relação Eeq/E de 80%
Obtendo a força de tração para o ponto inicial deve ser utilizado o método de Newton-Raphson (equações de equilíbrio iterativamente) assim resultando nas forças internas dos elementos. Mesmo a estrutura estando em equilíbrio ela não atende os requisitos para a configuração de referência assim sendo necessário realizar o ciclo de iteração até se aproximar da configuração de referência. 
As forças axiais dos cabos e viga/coluna são as forças iniciais de protensão que a estrutura é exigida então adotamos a equação abaixo para o vetor de força externa: 
Pi é o vetor de forças externas, F0 é o vetor da força externa inicial e é a força de protensão que atua na estrutura. Gerando este novo vetor de forças externas se inicia um novo ciclo de equilíbrio até convergência dos métodos. Nota-se que as forças de protensão aumentando, o vetor de força externa diminui, resultando em menores valores de deslocamento vertical no tabuleiro e tornando muito próxima da configuração de referência. Em anexos está o fluxograma do método de anulação dos deslocamentos.
2.2 EXEMPLO NUMÉRICO 
Neste exemplo explicará a diferença no deslocamentovertical do tabuleiro quando os cabos sofrem ou não uma protensão inicial. O exemplo consiste de uma ponte estaiada com extensão de 609,60m, 2 torres, 12 cabos em leque, vão laterais 137,16m e o vão principal com 335,28m este exemplo pode ser obtido no trabalho de (Wang, Tseng e Yang, 1993).
A ponte foi distribuída em 20 elementos finitos (pórticos), sendo de 1 a 14 os nós (pontos de controle) de 15 a 20 elementos da torre, os pontos observados foram os 5, 6, e 7. As propriedades de cada material estão na tabela abaixo.
	Elemento Estrutural
	E (Mpa)
	W (KN/m)
	Área (m²)
	I (cm4)
	(MPa)
	E1 – E14
	206800
	87,563
	0,32
	1,131 x 108
	-
	E15 e E18
	206800
	-
	0,269
	4,315 x 107
	-
	E16 e E19
	206800
	-
	0,228
	3,452 x 107
	-
	E17 e E20
	206800
	-
	0,203
	2,106 x 107
	-
	C1, C2, C3 e C7
	206800
	3,225
	0,042
	-
	1700
	C2-C5 e C8 – C11
	206800
	1,24
	0,016
	-
	1700
Tabela 1 – Propriedades dos materiais e valores geométricos
Figura 3 – Lançamento dos pontos chave distribuídos de acordo com a geometria da ponte estaiada em harpa e eixo simétrico
Aplicando as configurações de análise não linear com as forças de protensão pelo M.A.D. podemos observar a diferença causada pelo esforço vertical em função da distância do vão desenvolvido no projeto arquitetônico.
Figura 4 - Lançamento da configuração da estrutura (acima) e lançamento da configuração da estrutura com M.A.D. (abaixo)
Assim podemos observar graficamente como as forçar de protensão obtidas pelo método M.A.D. demonstrando como os cabos podem minimizar os deslocamentos verticais do tabuleiro.
Figura 5 – Forças de protensão nos cabos (M.A.D.)
Graficamente também podemos observar e comparar os valores de deslocamento verticais bem como a porcentagem de redução do deslocamento com e sem a aplicação do método M.A.D. 
Figura 6 – Deslocamento vertical dos nós do tabuleiro (esquerda),
Redução percentual dos deslocamentos do tabuleiro (direita).
Podemos agora avaliar os valores finais atuando nos cabos obtendo um aumento de 20% nas forças axiais, mesmo que os cabos C1, C6, C7 e C12 tiveram uma redução das forças, mas o restante dos cabos obteve um aumento expressivo comparado aos pequenos valores reduzidos.
Figura 7 – Forças axiais nos cabos sem/com aplicação do método M.A.D.
3. CONCLUSÃO
As pesquisas e avanços no conhecimento referente a estruturas de grande porte proporcionam a utilização de diversos métodos que resultam na força de protensão dos cabos em pontes estaiadas alguns métodos mais simples, outros de alto nível de sofisticação tecnológicas. 
A utilização do Métodos da Anulação dos Deslocamento sugerido por Wang, Tseng e Tang (1993) gera expressivas reduções no deslocamento vertical do tabuleiro e de fácil lançamento computacional, assim ele se mostra uma boa opção na redução dos deslocamentos verticais sendo capaz de reduzir até 85% no vão principal e o que surpreende é a o aumento das forças axiais nos cabos só necessitaram um aumento de 20%.
4. AGRADECIMENTOS
Gostaríamos de agradecer a instituição Universidade Estácio de Sá por proporcionar um estudo prático e direcional ao estudo aplicado de estruturas na Engenharia Civil, agradecer ao professor Vinícius G. Uliano que nos coordenou e orientou nesta etapa importante do curso e aos colegas que se dedicaram na produção de um artigo qualificado.
REFERÊNCIAS
ASSAN, A. E. Método dos elementos finitos: primeiros passos. 2ª. ed. Campinas, SP: Editora Unicamp, p. 298, 2003.
FLEMING, J. F. Nonlinear static analysis of cablestayed bridge structures. Computers & Structures, v. 10, p. 621-635,1979.
NEVES, F. A. Vibrações de estruturas aporticadas espaciais estaiadas. 1990. 168p. Tese (Mestrado) – COPPEUFRJ, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 1990.
REDDY, J. N. An introduction to nonlinear finite element analysis. Oxford University Press, p. 488, 2004.
WALTHER, R. et al. Cable stayed bridges. London: Thomas Telford Publishing, p. 225, 1998.
WANG, P. H.; LIN, H. T.; TANG, T. Y. (2002). Study on nonlinear analysis of a highly redundant cablestayed bridge. Computers & Structures, v. 80, p. 165- 182, 2002.
WANG, P. H.; TSENG, T. C.; YANG, C. G. (1993). Initial shape of cable-stayed bridges. Computers & Structures, v. 47, p. 111-123, 1993.
ZIENKIEWICZ, O. C.; TAYLOR, R. L. (2000). The finite element method, 5ª edição, Oxford: Butterworth- Heinemann, Vol I, 2000.
MOREIRA FILHO, LAIER. Aplicação do Método da Anulação dos Deslocamentos via M.E.F. para Determinação das Forças de Protensão dos Cabos de Pontes estaiadas. –Universidade de São Paulo, Campus de São Carlos, São Paulo, 2014.
ANEXOS
Anexo 1 – Fluxograma método M.A.D.