Trabalho de Matemática Financeira referente ao exercício 16 da lista 4

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Trabalho de Matemática Financeira referente ao exercício 16 da lista 4
Aluno: Cristiano Martins Beserra
 Número USP: 7600882
Professor: Fernando Antonio Slaibe Postali
“16. Com um investimento inicial de $25 uma jazida mineral pode ser explorada de modo a fornecer um rendimento de v(t) = $10/ano durante 5 anos. Se a taxa de juros é igual a 10% ao ano, verifique se o investimento é viável nas seguintes situações: a) se o recurso é acumulado e vendido somente no final de cada ano; b) se o minério é extraído e vendido continuamente. Calcule a taxa interna de retorno de ambas as possibilidades. [Dica: construa um procedimento interativo baseado no algoritmo de Newton].” 
a) Nesse caso, e também no “b” a análise da viabilidade do investimento pode ser feita utilizando o valor de dois conceitos:
1-TIR (Taxa Interna de Retorno): esta mede o retorno do investimento; taxa que iguala receitas a valor atual e despesas a valor atual.
2-VPL (Valor Presente Líquido): mede o lucro econômico; receitas a valor atual descontadas pela taxas de juros menos despesas a valor atual.
Um investimento será viável quando:
VPL>0 e TIR > i (taxa de juros do mercado).
Vamos construir os cálculos para tirarmos uma conclusão. 
Dados: I=$25; V(t)=$10/ano; t=5 anos; i=10% a.a.
Analisaremos aqui o fluxo em um tempo discreto.
No fluxo de caixa vemos que temos uma saída inicial de $25, e entradas de 10 a cada ano, sendo a taxa igual a 10%, encontraremos o VPL:
VPL= - I + 
VPL= - 25 +
VPL= - 25 + + + + + 12.908
Resolvendo encontrando a TIR teríamos:
P( Sendo a TIR, temos:
-25 + + + + + = 0
=28.649%
Concluímos assim que o investimento é viável, pois o VPL > 0, e como já se esperava, a TIR é maior que a taxa de juros.
*Observação: os cálculos acima poderiam ser feitos usando a função “Cashflow” da HP-12C
b) Agora a extração e vendas são feitas em tempo contínuo, e as entradas dos fluxos formam um fluxo uniforme.
Se o fluxo é uniforme, P(V(t)/= 
Aplicando na situação analisada, temos que:
VPL= - I + ; Como , temos que , portanto , e então:
VPL= - 25 + =14,773
Resolvendo pela TIR, teremos que lembrar que a TIR (
E assim, encontramos a seguinte equação:
-25+=0
-25 + 10 – 10 =0
Temos, portanto a seguinte função:
F(t)= – 10 – 25 + 10
Utilizando o algoritmo de Newton, fórmula de recorrência encontrada pelo Método de Newton-Raphson, em que trata-se de encontrar
as raízes da equação f(x) = 0, pois elas representam aqueles
pontos em que o gráfico da função y = f(x) corta o eixo dos x.
Nesse ponto, onde y = 0, encontra-se o valor da taxa que zera
o Valor Presente Líquido. Em outras palavras, é a taxa que
corresponde à TIR.
Basta agora encontra a derivada, e utilizar o Excel (ver planilha) ou HP 12 C para encontrarmos a taxa procurada.
F’()= - 50 – 25
Fórmula de recorrência: 
x1 = x0 – f(x0)/f’(x0)
Encontraremos que o .
Portanto, o investimento é viável em tempo contínuo, já que o VPL=14,773 >0, e a TIR= 31,87> i.